第03讲二次根式的运算(原卷版+解析)

第03讲二次根式的运算二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算模块一：二次根式的加减法二次根式的加法和减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式分别合并（化简合并）．计算： （1）； （2）．如图，长方形内有两个正方形，面积分别为4和2，求阴影部分的面积．设直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，周长为．（1）如果，求； （2）如果，求．（3）已知，求的值．模块二：二次根式的乘除法1、二次根式的乘法和除法（1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变；（2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变．计算： （1）； （2）； （3）； （4）．计算： （1）； （2）．如图所示，在面积为2a的正方形中，截得直角三角形的面积为，求的长．计算．（1）；（2）．一、单选题（2022秋·上海黄浦·八年级校联考阶段练习）下列各式运算正确的是（）A．B．C．D．（2022秋·上海闵行·八年级统考期中）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．（2022秋·上海宝山·八年级校考期中）小明作业本上有以下四道题：①；②；③；④，其中做错的题是（

）A．① B．② C．③ D．④（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）下列运算中，正确的是（

）A． B． C． D．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）等式成立的条件是（

）A． B． C．或 D．二、填空题（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）计算：______．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）计算：________．11．（2022秋·上海·八年级校考期中）计算：＝_____．（2022秋·上海·八年级校考期中）若等式：成立，则x的取值范围是_______．（2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）计算：______．三、解答题（2022秋·上海闵行·八年级统考期中）（1）计算：；（2）计算：（其中）．（2022秋·上海宝山·八年级校考期中）化简：．（2022秋·上海·八年级校考期中）计算：(1)；(2)．的一个有理化因式是（

）A． B． C． D．如果，那么的值为（

）A．1 B．-1 C． D．已知a<0，那么可化简为（

）A． B． C． D．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是______．设，，当t为___________时，代数式．化简（2022秋·上海·八年级校考期末）计算：第03讲二次根式的运算二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算模块一：二次根式的加减法二次根式的加法和减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式分别合并（化简合并）．计算： （1）； （2）．【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2）原式．【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．如图，长方形内有两个正方形，面积分别为4和2，求阴影部分的面积．【答案】．【解析】阴影部分的宽为，长为．【总结】本题主要考查利用二次根式的运算求几何图形的面积．设直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，周长为．（1）如果，求； （2）如果，求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，所以；（2）因为，所以．【总结】本题主要考查二次根式的化简以及加法运算在几何图形中的运用．已知，，求的值．【答案】2【解析】由题意可得：，，则，代入，，则原式．【总结】本题综合性较强，主要考查二次根式的化简以及加法运算，注意判定每一个因式的符号．模块二：二次根式的乘除法1、二次根式的乘法和除法（1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变；（2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变．计算： （1）； （2）； （3）； （4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）； （2）； （3）； （4）．【总结】本题主要考查二次根式的乘除运算，注意法则的准确运用．计算： （1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）；（2）．【总结】本题主要考查二次根式的乘除运算，注意法则的准确运用以及符号的准确判定．如图所示，在面积为2a的正方形中，截得直角三角形的面积为，求的长．【答案】．【解析】正方形的边长为，则，则．【总结】本题主要考查二次根式的运算在几何图形中的运用．计算．（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）．【总结】本题综合性较强，主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用以及符号的判定．一、单选题（2022秋·上海黄浦·八年级校联考阶段练习）下列各式运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据二次根式的相关运算法则进行计算作出判断即可．【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意；B．，故选项错误，不符合题意；C．，故选项正确，符合题意；D．，故选项错误，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了二次根式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．（2022秋·上海闵行·八年级统考期中）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分别根据二次根式的加法，乘法，除法法则以及利用平方差公式进行分母有理化逐一判断即可．【详解】解：A、与不是同类二次根式，所以不能合并，故本选项不合题意；B、，故本选项不合题意；C、，故本选项符合题意；D、，故本选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及分母有理化，掌握相关运算法则是解答本题的关键．（2022秋·上海宝山·八年级校考期中）小明作业本上有以下四道题：①；②；③；④，其中做错的题是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】根据二次根式的性质可判断①，根据二次根式的乘法运算可判断②，根据二次根式的性质和乘法可判断③，根据同类二次根式的定义可判断④．【详解】解：，所以①正确；，所以②正确；因为，则，所以③正确；与不是同类二次根式，不能合并，所以④不正确．故选D．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和运算，分别将各项化简是解题的关键．（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）下列运算中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据合并同类二次根式的法则、二次根式的性质、二次根式的除法法则，计算即可判定．【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；B、，故计算错误，不符合题意；C、，故计算正确，符合题意；D、，故计算错误，不符合题意．故选：C【点睛】本题考查了二次根式的相关运算，熟练掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）等式成立的条件是（

）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】根据二次根式的乘法法则成立的条件为且，即可确定答案．【详解】解：根据题意，可得，解不等式组，得，所以，等式成立的条件是．故选：A．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法法则和解一元一次不等式组，理解二次根式有意义的条件是解题关键．二、填空题（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）计算：______．【答案】【分析】先利用二次根式的性质进行化简，再进行减法运算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查二次根式的减法，解答的关键是熟练掌握二次根式的性质．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）计算：________．【答案】【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可．【详解】解：，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．11．（2022秋·上海·八年级校考期中）计算：＝_____．【答案】7【分析】原式两项化为最简二次根式，合并即可得到结果．【详解】解：原式＝．故答案为7．【点睛】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握法则是解本题的关键．（2022秋·上海·八年级校考期中）若等式：成立，则x的取值范围是_______．【答案】【分析】由成立，可得不等式组，再解不等式组可得答案.【详解】解：成立，解可得解可得x的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查的是商的算术平方根的化简公式的理解，掌握“”是解题的关键.（2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）计算：______．【答案】【分析】根据二次根式除法运算法则进行计算即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的除法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式除法运算法则．三、解答题（2022秋·上海闵行·八年级统考期中）（1）计算：；（2）计算：（其中）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用二次根式的性质及二次根式的加减混合运算计算即可；（2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可．【详解】解：（1）（2）【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质及加减乘除混合运算的法则是解题的关键.（2022秋·上海宝山·八年级校考期中）化简：．【答案】2y2【分析】根据二次根式有意义的条件和x的取值范围，确定y的取值范围，再根据二次根式的性质和乘除法的法则进行计算即可．【详解】解：∵x＞0，，有意义，∴y＞0，∴原式＝＝2y2．【点睛】本题考查的是二次根式有意义条件，二次根式的乘除混合运算，掌握二次根式的乘除混合运算的运算法则与运算顺序是解题的关键.（2022秋·上海·八年级校考期中）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则、分母有理化计算，再根据二次根式的加减运算法则计算即可；（2）根据二次根式的乘除法运算法则计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．的一个有理化因式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据有理化的定义以及二次根式的乘除法则解决此题．【详解】解：A．∵，∴就是的一个有理化因式，故A符合题意；B．∵，∴不是的一个有理化因式，故B不符合题意；C．∵，∴不是的一个有理化因式，故C不符合题意；D．∵，∴不是的一个有理化因式，故D不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查分母有理化，熟练掌握有理化的定义以及二次根式的乘除法则是解决本题的关键．如果，那么的值为（

）A．1 B．-1 C． D．【答案】D【分析】根据算术平方根具有双重非负性，它们相加为0，那个每一个算术平方根都为0，则被开方数都为0，列出二元一次方程组，解方程组求出x和y的值后，即可求解．【详解】解：由题意：．所以D正确.故选D．【点睛】本题考查了算术平方根的双重非负性、解二元一次方程组和二次根式的计算等问题，解题关键是要求考生能理解算术平方根的双重非负性并能进行实际的应用，同时能利用加减法解二元一次方程组和利用分母有理化来化简二次根式．已知a<0，那么可化简为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合已知条件、分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求出b的取值范围，然后根据二次根式的乘除法公式化简即可．【详解】解：由题意可知：解得：b＞0∴===故选D．【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是______．【答案】【分析】根据题意，先求出，然后求出，再根据二次根式比较大小的方法，即可．【详解】∵三角形的三边长为、、，记，面积，∴当三角形的三边长分别为，，时，，∴面积，∵，，∴，∴，∵介于整数和之间，∴．故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的知识，解题的关键是理解题意，求出，；掌握二次根式比较大小的方法．设，，当t为___________时，代数式．【答案】2【分析】根据x，y的表达式，可以观察出，，再将改写为含有与的形式，代入解出t即可．【详解】，，，解得（舍去），．故答案为：2【点睛】本题考查乘法公式的运用，熟练