2026版《金版教程》高考一轮复习数学第二章 考点测试10 指数与指数函数

高考总复习首选用卷数学考点测试10指数与指数函数基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567891011难度★★★★★★★★★★★对点指数幂的运算与化简解指数不等式根据图象求参数的取值范围比较大小已知复合函数的单调性求参数的取值范围解指数不等式比较大小；二次函数的单调性解不等式；函数的奇偶性、单调性指数幂的运算；单调性的应用；基本不等式新定义问题；函数的单调性；指数幂的运算与化简与指数函数有关的函数的图象与性质题号121314151617181920212223难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★对点指数幂的运算与化简根据函数的奇偶性求参数的值图象过定点；复合函数在指定区间上的值域函数的单调性；由函数值相等求参数的值解不等式；函数的奇偶性、单调性构造函数利用函数图象判断不等式函数性质的综合应用指数的实际应用已知函数的最值求参数的取值范围函数性质的综合应用函数的值域；函数值求和；解不等式抽象函数的求值与性质高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，中等难度考点研读1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算2．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点3．体会指数函数是一类重要的函数模型1．(2025·河南开封清华中学高三上开学考试)已知a＋a－1＝5，则aeq\s\up6(\f(1,2))－a－eq\s\up7(\f(1,2))＝()A.eq\r(3) B．－eq\r(3)C．±eq\r(3) D．±2答案：C解析：因为a＋a－1＝5，则(aeq\s\up6(\f(1,2))－a－eq\s\up7(\f(1,2)))2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，所以aeq\s\up6(\f(1,2))－a－eq\s\up7(\f(1,2))＝±eq\r(3).故选C.2．函数f(x)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)－8)的定义域为()A．(－∞，－3]B．[－3，＋∞)C．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D．[3，＋∞)答案：A解析：∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)≥8＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－3)，∴x≤－3，即所求函数的定义域为(－∞，－3]．3．函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0答案：D解析：由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝ax－b的图象是函数f(x)＝ax的图象向左平移得到的，所以b＜0.故选D.4．(2025·贵州黔东南苗族侗族自治州高三开学考试)已知a＝30.2，b＝2－a，c＝1－a，则()A．a<c<b B．b<c<aC．c<a<b D．c<b<a答案：D解析：由指数函数的性质易得a＝30.2>30＝1，所以0<2－a<20＝1，1－a<0，故c<b<a.故选D.5．(2025·浙江A9协作体高三返校联考)若函数y＝2x2－ax+1在[1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．(－∞，－2] D．[－2，＋∞)答案：A解析：因为函数y＝2x2－ax＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以y＝x2－ax＋1在[1，＋∞)上单调递增，则eq\f(a,2)≤1，即a≤2.故选A.6．(2024·内蒙古乌兰察布高三模拟)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(4a＋2)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(8－3a)，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(10,7))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,7)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,7)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)，＋∞))答案：D解析：因为函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(x)是减函数，且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(4a＋2)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(8－3a)，所以4a＋2>8－3a，解得a>eq\f(6,7)，即实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)，＋∞)).故选D.7．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是()A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)C．f(bx)>f(cx) D．与x有关，不确定答案：A解析：∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1，由此可得b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3，∴f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)．若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f(3x)＞f(2x)，∴f(3x)≥f(2x)．故选A.8．已知函数f(x)＝2x－2－x，则不等式f(2x)＋f(x2－x)＞0的解集为()A．(0，1)B．(－3，0)C．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D．(－∞，0)∪(3，＋∞)答案：C解析：因为函数f(x)＝2x－2－x的定义域为R，且f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，且是R上的增函数，f(2x)＋f(x2－x)＞0⇔f(x2－x)＞f(－2x)，于是得x2－x＞－2x，解得x＜－1或x＞0，所以所求不等式的解集是(－∞，－1)∪(0，＋∞)．9．(多选)设函数f(x)＝2x，对任意的x1，x2(x1≠x2)，下列结论正确的是()A．f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)B．f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)C.eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＜eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)答案：ACD解析：因为2x1·2x2＝2x1＋x2，故A正确；因为2x1＋2x2≠2x1x2，故B错误；函数f(x)＝2x在R上是增函数，若x1＞x2，则f(x1)＞f(x2)，则eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0，若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)，则eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0，故C正确；eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)＝eq\f(2x1＋2x2,2)≥eq\r(2x1·2x2)＝2eq\s\up6(\f(x1＋x2,2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))，又x1≠x2，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＜eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)，故D正确．故选ACD.10．(多选)(2025·八省联考)在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数sinhx＝eq\f(ex－e－x,2)，双曲余弦函数coshx＝eq\f(ex＋e－x,2)，双曲正切函数tanhx＝eq\f(sinhx,coshx)，则()A．双曲正弦函数是增函数B．双曲余弦函数是增函数C．双曲正切函数是增函数D．tanh(x＋y)＝eq\f(tanhx＋tanhy,1＋tanhxtanhy)答案：ACD解析：对于A，令f(x)＝sinhx＝eq\f(ex－e－x,2)，则f′(x)＝eq\f(ex＋e－x,2)>0恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确；对于B，令g(x)＝coshx＝eq\f(ex＋e－x,2)，则g′(x)＝eq\f(ex－e－x,2)，由A项分析可知，g′(x)为增函数，又g′(0)＝eq\f(e0－e0,2)＝0，故当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，故g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误；对于C，tanhx＝eq\f(sinhx,coshx)＝eq\f(\f(ex－e－x,2),\f(ex＋e－x,2))＝eq\f(ex－e－x,ex＋e－x)＝eq\f(e2x－1,e2x＋1)＝1－eq\f(2,e2x＋1)，由y＝e2x＋1在R上单调递增，且y＝e2x＋1>1，得tanhx＝1－eq\f(2,e2x＋1)是增函数，故C正确；对于D，由C项分析可知，tanhx＝eq\f(e2x－1,e2x＋1)，则tanh(x＋y)＝eq\f(e2x＋2y－1,e2x＋2y＋1)，eq\f(tanhx＋tanhy,1＋tanhxtanhy)＝eq\f(\f(e2x－1,e2x＋1)＋\f(e2y－1,e2y＋1),1＋\f(e2x－1,e2x＋1)·\f(e2y－1,e2y＋1))＝eq\f(（e2x－1）（e2y＋1）＋（e2y－1）（e2x＋1）,（e2x＋1）（e2y＋1）＋（e2x－1）（e2y－1）)＝eq\f(e2x＋2y＋e2x－e2y－1＋e2x＋2y－e2x＋e2y－1,e2x＋2y＋e2x＋e2y＋1＋e2x＋2y－e2x－e2y＋1)＝eq\f(2e2x＋2y－2,2e2x＋2y＋2)＝eq\f(e2x＋2y－1,e2x＋2y＋1)，故tanh(x＋y)＝eq\f(tanhx＋tanhy,1＋tanhxtanhy)，故D正确．故选ACD.11．(多选)(2024·山东青岛期末)已知函数f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(|x|)＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则()A．a＋b＝0B．f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(|x|)－1C．f(x)是偶函数D．f(x)在(－∞，0]上单调递增答案：AC解析：因为函数f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(|x|)＋b的图象过原点，所以aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(0)＋b＝0，即a＋b＝0，函数的图象无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，故y＝1是函数图象的一条渐近线，则b＝1，a＝－1，f(x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(|x|)＋1，A正确，B错误；函数f(x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(|x|)＋1，定义域为R，且f(－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(|－x|)＋1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(|x|)＋1＝f(x)，故f(x)是偶函数，C正确；当x∈(－∞，0]时，f(x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－x)＋1＝－3x＋1，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，D错误．故选AC.12．化简：2×(eq\r(3,2)×eq\r(3))6＋(eq\r(2\r(2)))eq\s\up6(\f(4,3))－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,9)))eq\s\up12(－\f(1,2))－eq\r(4,2)×80.25＋(－2024)0＝________．答案：214解析：原式＝2×(2eq\s\up6(\f(1,3))×3eq\s\up6(\f(1,2)))6＋(2eq\s\up6(\f(1,2))×2eq\s\up6(\f(1,4)))eq\s\up6(\f(4,3))－4×eq\f(3,4)－2eq\s\up6(\f(1,4))×2eq\s\up6(\f(3,4))＋1＝2×22×33＋2－3－2＋1＝214.13．(2025·湖南长沙明德中学阶段检测)已知函数f(x)＝2x－a·2－x是偶函数，则a＝________．答案：－1解析：∵函数f(x)＝2x－a·2－x，x∈R是偶函数，∴f(－1)＝f(1)，则eq\f(1,2)－2a＝2－eq\f(1,2)a，解得a＝－1.当a＝－1时，f(x)＝2x＋2－x，∴f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，故f(x)是偶函数．综上所述，a＝－1.14．若函数y＝ax＋1＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点P(m，n)，则函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋1在[m，n]上的最小值是________．答案：eq\f(3,4)解析：因为函数y＝ax＋1＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(－1，2)，所以m＝－1，n＝2，令t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，则eq\f(1,4)≤t≤2，故f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋1在[－1，2]上的最小值，即g(t)＝t2－t＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，2))上的最小值，当t＝eq\f(1,2)时，g(t)min＝eq\f(3,4)，则函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋1在[m，n]上的最小值是eq\f(3,4).15．(2024·四川成都三诊)已知函数f(x)＝ex－e2－x，若实数m，n满足f(m)＋f(n)＝0，则m＋n＝()A．1 B．2C．e D．4答案：B解析：因为函数f(x)＝ex－e2－x，所以f(2－m)＋f(m)＝e2－m－em＋(em－e2－m)＝0，而f(m)＋f(n)＝0，因此f(2－m)＝f(n)，又函数y＝ex，y＝－e2－x在R上均单调递增，则函数f(x)＝ex－e2－x在R上单调递增，于是2－m＝n，所以m＋n＝2.故选B.16．(2024·吉林通化高三三模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)单调递增，则不等式f(ex－1)＋f((1－e)x)<0的解集为()A．(－1，1) B．(0，1)C．(0，e) D．(1，e)答案：B解析：由函数f(x)是奇函数可知，f(ex－1)＋f((1－e)x)<0，即f(ex－1)<－f((1－e)x)，即f(ex－1)<f((e－1)x)，又f(x)单调递增，则ex－1<(e－1)x，画出曲线y＝ex－1与直线y＝(e－1)x，可以看出y＝ex－1与y＝(e－1)x的图象有两个交点，且x＝1与x＝0分别为两交点的横坐标，所以不等式f(ex－1)<f((e－1)x)的解集为(0，1)．故选B.17．(多选)(2024·广东高中毕业班第一次调研)若实数a，b满足2a＋3a＝3b＋2b，则下列关系式中可能成立的是()A．0＜a＜b＜1 B．b＜a＜0C．1＜a＜b D．a＝b答案：ABD解析：设f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x，则f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x都为增函数，作出两个函数的图象如图1，两个函数的图象有2个交点，分别为(0，1)，(1，5)．对于A，如图2，作直线y＝m(1<m<5)分别与f(x)，g(x)的图象相交，交点的横坐标分别为a，b，且0<a<b<1，此时f(a)＝g(b)＝m，即2a＋3a＝3b＋2b能成立，故A正确；对于B，如图3，作直线y＝n(n<0)分别与f(x)，g(x)的图象相交，交点的横坐标分别为a，b，且b<a<0，此时f(a)＝g(b)＝n，即2a＋3a＝3b＋2b能成立，故B正确；对于C，由两个函数的图象可知，若1<a<b，则g(b)>f(b)>f(a)，所以此时2a＋3a＝3b＋2b不可能成立，故C不正确；对于D，当a＝b＝0或a＝b＝1时，2a＋3a＝3b＋2b成立，故D正确．故选ABD.18．(多选)(2025·河南周口高三期末)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x＋ax(a>0，且a≠1)，则()A．若f(0)＋f(－1)＝－4，则a＝4B．当a＝3时，f(x)在(－∞，0)上存在单调递减区间C.eq\f(f（－2）,a)的最大值为－4D．当a＝eq\f(1,2)时，f(x)在(－∞，0)上单调递增答案：CD解析：定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝2x＋ax(a>0，且a≠1)．对于A，由f(0)＋f(－1)＝－4，得－f(1)＝－4，则f(1)＝2＋a＝4，解得a＝2，A错误；对于B，当a＝3时，f(x)＝2x＋3x在(0，＋∞)上单调递增，则f(x)在(－∞，0)上单调递增，因此f(x)在(－∞，0)上不存在单调递减区间，B错误；对于C，eq\f(f（－2）,a)＝－eq\f(f（2）,a)＝－eq\f(4＋a2,a)≤－eq\f(2\r(4a2),a)＝－4，当且仅当a＝2时取等号，C正确；对于D，当a＝eq\f(1,2)，且x>0时，f(x)＝2x＋eq\f(1,2x)，令t＝2x∈(1，＋∞)，函数t＝2x在(0，＋∞)上单调递增，函数y＝t＋eq\f(1,t)在(1，＋∞)上单调递增，因此函数f(x)＝2x＋eq\f(1,2x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(x)在(－∞，0)上单调递增，D正确．故选CD.19．二维码是一种利用黑、白方块记录数据符号信息的平面图形．某公司计划使用一款由n2(n∈N*)个黑白方块构成的n×n二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成216个不重复的二维码，为确保一个n×n二维码在1分钟内被破译的概率不高于eq\f(1,215)，则n的最小值为________．答案：7解析：由题意可知，n×n的二维码共有2n2个，由eq\f(216×60,2n2)≤eq\f(1,215)，可得216×60×215≤2n2，即60≤2n2－31，故n2－31≥6⇒n2≥37，由于n∈N*，所以n≥7，即n的最小值为7.20．(2024·山东烟台高三模拟)设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－|x－a|，x≤1，,－\f(1,2)x＋1，x＞1，))若f(1)是函数f(x)的最大值，则实数a的取值范围为________．答案：[1，2]解析：因为f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－|x－a|，x≤1，,－\f(1,2)x＋1，x＞1，))当x＞1时，f(x)＝－eq\f(1,2)x＋1单调递减且f(x)＜eq\f(1,2)；当x≤1时，f(x)＝2－|x－a|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x－a|)，可得当x＞a时，函数f(x)单调递减，当x＜a时，函数f(x)单调递增，若a＜1，x≤1，则f(x)在x＝a处取得最大值，不符合题意；若a≥1，x≤1，则f(x)在x＝1处取得最大值，且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a－1)≥eq\f(1,2)，解得1≤a≤2.综上可得，实数a的取值范围是[1，2]．21．(多选)(2024·福建厦门第一中学高三模拟)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝2024x－sinx－25x，则下列说法正确的是()A．g(0)＝1B．g(x)在[0，1]上单调递减C．g(x－1102)的图象关于直线x＝1102对称D．g(x)的最小值为1答案：ACD解析：由题意，将－x代入f(x)＋g(x)＝2024x－sinx－25x得f(－x)＋g(－x)＝2024－x－sin(－x)－25(－x)，因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以可得－f(x)＋g(x)＝2024－x＋sinx＋25x，将该式与原式联立可得g(x)＝eq\f(2024x＋2024－x,2).对于A，g(0)＝eq\f(20240＋2024－0,2)＝1，故A正确；对于B，因为g(0)＝1，g(1)＝eq\f(20241＋2024－1,2)＞1，所以g(x)不可能在[0，1]上单调递减，故B错误；对于C，g(x)为偶函数，图象关于y轴对称，g(x－1102)的图象是由g(x)的图象向右平移1102个单位得到的，故g(x－1102)的图象关于直线x＝1102对称，故C正确；对于D，根据基本不等式，得g(x)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2024x＋\f(1,2024x)))≥1，当且仅当x＝0时取等号，故D正确．22．(2024·江西八所重点中学高三4月联考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1,2x＋2－x)－1－a))，a≥0，存在实数x1，x2，…，xn，使得eq\o(∑,\s\up8(n－1),\s\do8(i＝1))f(xi)＝f(xn)成立，若正整数n的最大值为8，则实数a的取值范围是