2026版《金版教程》高考一轮复习数学第八章 考点测试48 离散型随机变量的分布列及数字特征

高考总复习首选用卷数学考点测试48离散型随机变量的分布列及数字特征基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号12345678难度★★★★★★★★对点求离散型随机变量的方差求离散型随机变量的方差；分布列的性质求离散型随机变量的均值求离散型随机变量的均值求离散型随机变量的均值分布列的性质；互斥事件的概率分布列的性质；离散型随机变量的均值的最值求离散型随机变量的均值题号91011121314151617难度★★★★★★★★★★★★对点求离散型随机变量的方差；分布列的性质求离散型随机变量的均值、方差；分布列的性质分布列的性质求离散型随机变量的均值；排列组合的应用求离散型随机变量的分布列、均值求离散型随机变量的分布列、均值求离散型随机变量的概率；排列组合的应用求离散型随机变量的均值、方差求离散型随机变量的均值、方差；分布列的性质题号1819202122232425难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★对点分布列的性质；比较概率的大小；离散型随机变量的均值的单调性求离散型随机变量的均值；条件概率求离散型随机变量的分布列、均值求离散型随机变量的分布列、均值求离散型随机变量的均值；决策问题古典概型；求离散型随机变量的均值求离散型随机变量的分布列、均值求离散型随机变量的概率、均值、方差高考概览高考在本考点的常考题型为解答题，近两年难度有所增大考点研读1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念3.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题1．(2025·四川成都高三模拟)若随机变量X的可能取值为1，2，3，4，且P(X＝k)＝λk(k＝1，2，3，4)，则D(X)＝()A．1 B．2C．3 D．4答案：A解析：由题意得λ＋2λ＋3λ＋4λ＝1，解得λ＝eq\f(1,10)，故E(X)＝1×eq\f(1,10)＋2×eq\f(2,10)＋3×eq\f(3,10)＋4×eq\f(4,10)＝3，D(X)＝(1－3)2×eq\f(1,10)＋(2－3)2×eq\f(2,10)＋(3－3)2×eq\f(3,10)＋(4－3)2×eq\f(4,10)＝1.故选A.2．已知随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝eq\f(1,3)，则D(X)＝()X－201Paeq\f(1,3)bA.eq\f(49,81) B.eq\f(8,9)C.eq\f(23,27) D.eq\f(23,81)答案：B解析：因为E(X)＝eq\f(1,3)，且各概率之和为1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2a＋0×\f(1,3)＋b＝\f(1,3)，,a＋\f(1,3)＋b＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,9)，,b＝\f(5,9)，))所以D(X)＝eq\f(1,9)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2－\f(1,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(5,9)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,9).故选B.3．现在有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机无放回地抽取3张奖券，则此人得奖金额的数学期望为()A．6 B.eq\f(39,5)C.eq\f(41,5) D．9答案：B解析：记此人得奖金额为随机变量X，则X的所有可能取值为6，9，12，且P(X＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(3,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝9)＝eq\f(Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝12)＝eq\f(Ceq\o\al(1,8)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,15)，则E(X)＝6×eq\f(7,15)＋9×eq\f(7,15)＋12×eq\f(1,15)＝eq\f(39,5).故选B.4．一个袋子中共有8个大小相同的球，其中3个红球，5个白球，从中随机摸出2个球，则取到红球的个数X的期望为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(4,5)C.eq\f(5,4) D.eq\f(4,3)答案：A解析：由题意知，取到红球的个数X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(5,14)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(15,28)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(3,28)，E(X)＝0×eq\f(5,14)＋1×eq\f(15,28)＋2×eq\f(3,28)＝eq\f(3,4).故选A.5．已知盒中装有1个黑球与2个白球，每次从盒子中随机摸出1个球，并换入1个黑球．设三次摸球后盒子中所剩黑球的个数为X，则E(X)＝()A.eq\f(40,27) B．2C.eq\f(55,27) D.eq\f(65,27)答案：D解析：由题意知，X的所有可能取值为1，2，3，P(X＝1)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)＋eq\f(4,27)＋eq\f(2,27)＝eq\f(14,27)，P(X＝3)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(12,27)，E(X)＝eq\f(1,27)×1＋eq\f(14,27)×2＋eq\f(12,27)×3＝eq\f(1＋28＋36,27)＝eq\f(65,27).故选D.6．设随机变量X的分布列如表，则P(|X－1|≤1)＝()X－1012Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)答案：C解析：由分布列的性质可得eq\f(1,3)＋m＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝1，则m＝eq\f(1,4)，P(|X－1|≤1)＝P(0≤X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).故选C.7．(2025·浙江嘉兴高三期末)已知随机变量X的分布列如下，则E(X)的最大值是()X－10aPeq\f(1,4)eq\f(1,2)＋aeq\f(1,4)－bA.－eq\f(5,8) B．－eq\f(15,64)C．－eq\f(1,4) D．－eq\f(19,54)答案：B解析：由题意可知eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＋a＋eq\f(1,4)－b＝1，即a－b＝0，E(X)＝－eq\f(1,4)＋aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－b))＝－eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)b－b2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,8)))eq\s\up12(2)－eq\f(15,64)≤－eq\f(15,64).故选B.8．(2024·辽宁大连高三三模)小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4，1小时10分到达的概率为0.3，1小时20分到达的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励为200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元．设小林最后获得的奖励为X元，则E(X)＝()A．176 B．182C．184 D．186答案：B解析：依题意可得X的所有可能取值为200，180，160.P(X＝200)＝0.4，P(X＝180)＝0.3，P(X＝160)＝0.3，所以E(X)＝200×0.4＋(180＋160)×0.3＝182.故选B.9．(2025·江苏盐城高三模拟)随机变量Y的分布列如下表，且E(Y)＝3，则D(3Y－5)＝()Y02aPeq\f(1,6)meq\f(1,3)A.10 B．15C．40 D．45答案：D解析：由题意得eq\f(1,6)＋m＋eq\f(1,3)＝1，解得m＝eq\f(1,2)，所以E(Y)＝0×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)a＝3，解得a＝6，所以D(Y)＝(0－3)2×eq\f(1,6)＋(2－3)2×eq\f(1,2)＋(6－3)2×eq\f(1,3)＝5，所以D(3Y－5)＝32D(Y)＝9×5＝45.故选D.10．(多选)(2025·安徽阜阳高三模拟)设离散型随机变量X的分布列如表，若离散型随机变量Y满足Y＝2X－1，则()X01234P0.10.4x0.20.2A.x＝0.2B．E(X)＝2，D(X)＝1.8C．E(X)＝2，D(X)＝1.4D．E(Y)＝3，D(Y)＝7.2答案：BD解析：因为0.1＋0.4＋x＋0.2＋0.2＝1，所以x＝0.1，故A错误；由E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，故D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故B正确，C错误；又Y＝2X－1，所以E(Y)＝2E(X)－1＝3，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正确．故选BD.11．设X是一个离散型随机变量，其分布列为X－101Peq\f(1,2)1－2qq2则q＝________．答案：1－eq\f(\r(2),2)解析：依题意知，eq\f(1,2)＋1－2q＋q2＝1，即q2－2q＋eq\f(1,2)＝0，解得q＝1＋eq\f(\r(2),2)(舍去)或q＝1－eq\f(\r(2),2).12．已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为X，则E(X)＝________．答案：eq\f(8,3)解析：记检测次数为X，则X＝2，3，当X＝2时，检测的两件产品均为正品或均为次品，则P(X＝2)＝eq\f(Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(2,2),Aeq\o\al(2,4))＝eq\f(1,3)，当X＝3时，只需前两件产品中正品和次品各一件，第三件无论是正品还是次品，都能确定所有次品，则P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2),Aeq\o\al(2,4))＝eq\f(2,3)，所以E(X)＝＝2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3).13．(2025·江苏常州高三上期末)某校A，B两班举行数学知识竞赛，竞赛规则是：每轮比赛中每班派出一名代表答题，若都答对或者都没有答对则均得0分；若一个答对另一个没有答对，则答对的班级得1分，没有答对的班级得－1分．设每轮比赛中A班答对的概率为eq\f(2,3)，B班答对的概率为eq\f(1,2)，A，B两班答题相互独立且每轮比赛结果互不影响．(1)经过1轮比赛，设A班的得分为X，求X的分布列和数学期望；(2)求经过3轮比赛A班累计得分高于B班累计得分的概率．解：(1)由题意，知X的可能取值为－1，0，1，P(X＝－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，P(X＝0)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，P(X＝1)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,3)，所以X的分布列为X－101Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(1,3)E(X)＝－1×eq\f(1,6)＋0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).(2)经过3轮比赛A班累计得分高于B班累计得分的情况有：A班3轮比赛每一轮都得1分；A班有2轮比赛都得1分，另1轮比赛得0分或－1分；A班有1轮比赛得1分，另2轮比赛都得0分．所以所求概率P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)＋Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,3)＋Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(55,108).14．(2025·广东广州高三模拟)小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了24元，然后发给朋友A，如果A猜中，A将获得红包里的所有金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，如果B猜中，A，B平分红包里的金额；如果B未猜中，B将当前的红包转发给朋友C，如果C猜中，A，B和C平分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户．设A，B，C猜中的概率分别为eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，且A，B，C是否猜中互不影响．(1)求A恰好获得8元的概率；(2)设A获得的金额为X元，求X的分布列及数学期望．解：(1)若A恰好获得8元，则结果为A未猜中，B未猜中，C猜中，故A恰好获得8元的概率为eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9).(2)X的所有可能取值为0，8，12，24，则P(X＝0)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，P(X＝8)＝eq\f(1,9)，P(X＝12)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，P(X＝24)＝eq\f(1,3)，所以X的分布列为X081224Peq\f(2,9)eq\f(1,9)eq\f(1,3)eq\f(1,3)数学期望E(X)＝0×eq\f(2,9)＋8×eq\f(1,9)＋12×eq\f(1,3)＋24×eq\f(1,3)＝eq\f(116,9).15．两对孪生兄弟共4人随机排成一排，设随机变量X表示孪生兄弟相邻的对数，则()A．P(X＝0)>P(X＝1)B．P(X＝0)＝P(X＝1)C．P(X＝0)<P(X＝1)D．P(X＝1)>P(X＝2)答案：B解析：4人排成一排共有Aeq\o\al(4,4)＝24种不同的排法，X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝eq\f(2Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2),24)＝eq\f(1,3)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2),24)＝eq\f(1,3)，P(X＝2)＝eq\f(Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2),24)＝eq\f(1,3)，所以P(X＝0)＝P(X＝1)＝P(X＝2)．故选B.16．(2024·浙江嘉兴高三模拟)已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下：时间/分钟10～2020～3030～4040～50甲的频率0.10.40.20.3乙的频率00.30.60.1某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用X表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则X的数学期望和方差分别是()A．E(X)＝1.5，D(X)＝0.36B．E(X)＝1.4，D(X)＝0.36C．E(X)＝1.5，D(X)＝0.34D．E(X)＝1.4，D(X)＝0.34答案：D解析：设事件A表示甲在规定的时间内到达，B表示乙在规定的时间内到达，P(A)＝0.5，P(B)＝0.9，A，B相互独立，∴P(X＝0)＝P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝(1－0.5)×(1－0.9)＝0.05，P(X＝1)＝P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B)＋P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝(1－0.5)×0.9＋0.5×(1－0.9)＝0.5，P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.9＝0.45，∴E(X)＝0×0.05＋1×0.5＋2×0.45＝1.4，D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝0.34.故选D.17．(多选)(2025·江苏南通高三模拟)已知随机变量X，Y，其中Y＝3X＋1，且X的分布列如下表：X12345Pmeq\f(1,10)eq\f(1,5)neq\f(3,10)若E(X)＝3，则()A．m＝eq\f(3,10) B．n＝eq\f(1,5)C．E(Y)＝10 D．D(Y)＝21答案：AC解析：由m＋eq\f(1,10)＋eq\f(1,5)＋n＋eq\f(3,10)＝1，得m＋n＝eq\f(2,5)①，E(X)＝m＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(1,5)＋4n＋5×eq\f(3,10)＝3，则m＋4n＝eq\f(7,10)②，由①②，解得m＝eq\f(3,10)，n＝eq\f(1,10)，故A正确，B错误；E(Y)＝E(3X＋1)＝3E(X)＋1＝10，故C正确；D(X)＝(1－3)2×eq\f(3,10)＋(2－3)2×eq\f(1,10)＋(3－3)2×eq\f(1,5)＋(4－3)2×eq\f(1,10)＋(5－3)2×eq\f(3,10)＝4×eq\f(3,10)＋1×eq\f(1,10)＋1×eq\f(1,10)＋4×eq\f(3,10)＝eq\f(13,5)，D(Y)＝D(3X＋1)＝9D(X)＝9×eq\f(13,5)＝eq\f(117,5)，故D错误．故选AC.18．(多选)(2024·湖南永州高三模拟)已知eq\f(1,4)<p<1，随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的是()X012Pp－p21－pp2A.P(X＝2)的值最大B．P(X＝0)<P(X＝1)C．E(X)随着p的增大而减小D．E(X)随着p的增大而增大答案：BD解析：由eq\f(1,4)<p<1，取p＝eq\f(1,2)，则P(X＝2)＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)>eq\f(1,4)，故A错误；因为eq\f(1,4)<p<1，所以p－p2＝p(1－p)<1－p，即P(X＝0)<P(X＝1)，故B正确；E(X)＝1－p＋2p2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(7,8)，因为eq\f(1,4)<p<1，所以E(X)随着p的增大而增大，故C错误，D正确．故选BD.19．(2024·天津河西高三一模)举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是eq\f(2,3)，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量X，则X的数学期望E(X)＝________；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是________．答案：eq\f(13,9)eq\f(3,13)解析：依题意，随机变量X的所有可能取值为1，2，3，则P(X＝1)＝eq\f(2,3)，P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，P(X＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,9)，所以随机变量X的分布列为X123Peq\f(2,3)eq\f(2,9)eq\f(1,9)数学期望E(X)＝1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(2,9)＋3×eq\f(1,9)＝eq\f(13,9).记“第i次举起该重量”为事件Ai，i＝1，2，3，“甲选手挑战成功”为事件B，则P(B)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－))1eq\o(A,\s\up6(－))2eq\o(A,\s\up6(－))3)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(26,27)，P(A2B)＝P(eq\o(A,\s\up6(－))1A2)＝P(eq\o(A,\s\up6(－))1)P(A2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，所以P(A2|B)＝eq\f(P（A2B）,P（B）)＝eq\f(3,13)，所以甲选手挑战成功，且是第二次举起该重量的概率是eq\f(3,13).20．(2025·内蒙古赤峰高三模拟)良好的用眼习惯能够从多方面保护眼睛的健康，降低近视发生的可能性，对于保护青少年的视力具有不可替代的重要作用．某班班主任为了让本班学生能够掌握良好的用眼习惯，开展了“爱眼护眼”有奖知识竞赛活动，班主任将竞赛题目分为A，B两组，规定每名学生从A，B两组题目中各随机抽取2道题作答．已知该班学生甲答对A组题的概率均为eq\f(2,3)，答对B组题的概率均为eq\f(1,2).假设学生甲每道题是否答对相互独立．(1)求学生甲恰好答对3道题的概率；(2)设学生甲共答对了X道题，求X的分布列及数学期望．解：(1)学生甲恰好答对3道题有以下两种情况：第一种情况是学生甲答对A组的2道题和B组的1道题，其概率P1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(2,9)；第二种情况是学生甲答对A组的1道题和B组的2道题，其概率P2＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,9).故学生甲恰好答对3道题的概率P＝P1＋P2＝eq\f(2,9)＋eq\f(1,9)＝eq\f(1,3).(2)由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4.P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,36)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,6)，P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋Ceq\o\al(1,2)×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(13,36)，P(X＝4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,9)，由(1)可知P(X＝3)＝eq\f(1,3)，则X的分布列为X01234Peq\f(1,36)eq\f(1,6)eq\f(13,36)eq\f(1,3)eq\f(1,9)数学期望E(X)＝0×eq\f(1,36)＋1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(13,36)＋3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,9)＝eq\f(7,3).21．(2024·湖南长沙高三三模)阳春三月，油菜花进入最佳观赏期，长沙县江背镇、望城光明村彭家老屋、浏阳达浒油菜花田、岳麓区含泰社区油菜花田都免费向市民、游客开放，长沙某三所高级中学A，B，C组织学生去这四个景区春游，已知A，B两所学校去每个景区春游的可能性都相同，C学校去岳麓区含泰社区春游的可能性为eq\f(1,2)，去其他三个景区春游的可能性相同．(1)求望城光明村彭家老屋迎来三所学校春游的概率；(2)求长沙县江背镇迎来学校所数X的分布列及数学期望．解：(1)依题意，A，B两所学校去每个景区春游的概率都是eq\f(1,4)，C学校去岳麓区含泰社区春游的概率为eq\f(1,2)，去其他三个景区春游的概率为eq\f(1,6).所以望城光明村彭家老屋迎来三所学校春游的概率为P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,96).(2)依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(5,6)＝eq\f(15,32)，P(X＝1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＋Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)×eq\f(5,6)＝eq\f(13,32)，P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(5,6)＋Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(11,96)，P(X＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,96)，所以X的分布列为X0123Peq\f(15,32)eq\f(13,32)eq\f(11,96)eq\f(1,96)数学期望E(X)＝0×eq\f(15,32)＋1×eq\f(13,32)＋2×eq\f(11,96)＋3×eq\f(1,96)＝eq\f(2,3).22．某次知识竞赛共有两道不定项选择题，每小题有4个选项，并有多个选项符合题目要求，评分标准如下：全部选对的得10分，部分选对的得4分，有选错的得0分．由于准备不充分，小明在竞赛中只能随机选择，且每种选法是等可能的(包括一个也不选)．(1)若两题都设置了3个正确选项，求小明这两题合计得分为14分的概率；(2)若其中一题设置了2个正确选项，另一题设置了3个正确选项．小明准备从以下两个方案中选择一种进行答题．为使得得分的期望最大，小明应选择哪一种方案？说明理由．方案一：每道题都随机选1个选项；方案二：每道题都随机选2个选项．解：(1)合计得14分的情形为一题全部选对，一题部分选对，P＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,24)×eq\f(Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(2,3),24)＝eq\f(3,64).(2)若选方案一，小明得分X的所有可能取值为0，4，8，小明对有2个正确选项那题部分选对的概率为eq\f(1,2)，选错的概率为eq\f(1,2)，小明对有3个正确选项那题部分选对的概率为eq\f(3,4)，选错的概率为eq\f(1,4)，∴P(X＝0)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,8)，P(X＝4)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,2)，P(X＝8)＝eq\f(1,2)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,8)，∴得分X的期望为E(X)＝0×eq\f(1,8)＋4×eq\f(1,2)＋8×eq\f(3,8)＝5(分)．若选方案二，小明得分X′的所有可能取值为0，4，10，14，小明对有2个正确选项那题选错的概率为eq\f(5,6)，全都选对的概率为eq\f(1,6)，小明对有3个正确选项那题选错的概率为eq\f(1,2)，部分选对的概率为eq\f(1,2)，∴P(X′＝0)＝eq\f(5,6)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,12)，P(X′＝4)＝eq\f(5,6)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,12)，P(X′＝10)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12)，P(X′＝14)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12)，∴得分X′的期望为E(X′)＝0×eq\f(5,12)＋4×eq\f(5,12)＋10×eq\f(1,12)＋14×eq\f(1,12)＝eq\f(11,3)(分)，∵E(X′)<E(X)，∴小明应选择方案一．23．(2025·山东潍坊高三期中)将字母a，a，a，b，b，b，c，c，c放入3×3的表格中，每个格子各放一个字母．每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同的概率为________；若表格中一行字母完全相同的行数为X，则X的均值为________．答案：eq\f(1,140)eq\f(3,28)解析：当每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同时，第一列a，b，c三个字母全排列，有Aeq\o\al(3,3)种方法，第二列剩下的a，b，c三个字母的排列方法有Ceq\o\al(1,2)种，第三列剩下的a，b，c三个字母的排列方法有1种，所以共有Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,2)×1＝12种排列方法，9个字母在3×3的表格中进行排列，共有eq\f(Aeq\o\al(9,9),Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3))＝1680种排列方法，所以所求概率为eq\f(12,1680)＝eq\f(1,140).由题意知，行数X的所有可能取值为0，1，3，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Aeq\o\al(6,6),Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3))－2)),1680)＝eq\f(27,280)，P(X＝3)＝eq\f(Aeq\o\al(3,3),1680)＝eq\f(1,280)，P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝3)＝1－eq\f(27,280)－eq\f(1,280)＝eq\f(9,10)，所以行数X的均值为E(X)＝0×eq\f(9,10)＋1×eq\f(27,280)＋3×eq\f(1,280)＝eq\f(30,280)＝eq\f(3,28).24．(2025·陕西榆林高三模拟)某AI兴趣小组研究一款生活废品处理机器人，其工作程序依次分为三个步骤：分拣、归类、处理，每个步骤完成后进入下一个步骤．若分拣步骤成功完成，则该步骤得分为20分，否则得分为0分；若归类步骤成功完成，则该步骤得分为30分，否则得分为0分；若处理步骤成功完成，则该步骤得分为50分，否则得分为0分，在第三个步骤完成后，机器人停止工作．已知初始状态该款机器人成功完成各步骤的概率均为eq\f(1,2)，经过一轮深度学习后该款机器人成功完成各步骤的概率依次为eq\f(4,5)，eq\f(3,4)，eq\f(2,3).设该款机器人完成三个步骤后的总得分为X.(1)初始状态下，求随机变量X的数学期望；(2)经过一轮深度学习后，该款机器人是否达到合格水平(当数学期望E(X)≥60时，达到合格水平)?解：(1)易知X的所有可能取值为0，20，30，50，70，80，100.∴P(X＝k)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,8)(k＝0，20，30，70，80，100)，P(X＝50)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,4).∴X的分布列为X02030507080100Peq\f(1,8)eq\f(1,8)eq\f(1,8)eq\f(1,4)eq\f(1,8)eq\f(1,8)eq\f(1,8)∴E(X)＝0×eq\f(1,8)＋20×eq\f(1,8)＋30×eq\f(1,8)