2026版《金版教程》高考一轮复习数学第八章 考点测试51 成对数据的统计分析

高考总复习首选用卷数学考点测试51成对数据的统计分析基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号12345678难度★★★★★★★★对点由散点图判断正负相关；相关系数的意义一元线性回归模型成对数据的相关性相关系数的意义；残差分析独立性检验的概念及辨析一元线性回归模型；残差分析判断正负相关；一元线性回归模型；残差分析完善列联表；独立性检验解决实际问题题号910111213141516难度★★★★★★★★★★★★对点判断正负相关；一元线性回归模型；残差分析由散点图判断正负相关；一元线性回归模型；非线性回归模型；残差分析一元线性回归模型独立性检验求参数计算相关系数；一元线性回归模型完善列联表；独立性检验解决实际问题；分层随机抽样；超几何分布的分布列、均值一元线性回归模型独立性检验求参数题号1718192021222324难度★★★★★★★★★★★★★★★对点判断正负相关；一元线性回归模型；残差分析列联表分析；独立性检验解决实际问题非线性回归模型计算相关系数；一元线性回归模型完善列联表；列联表分析；独立性检验解决实际问题；离散型随机变量的分布列、均值独立性检验求参数利用散点图选择回归模型；非线性回归模型计算相关系数；一元线性回归模型；完善列联表；独立性检验解决实际问题高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题、解答题，中、低等难度考点研读1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的经验回归方程系数公式建立经验回归方程3.了解独立性检验的基本思想、方法及其简单应用4.了解一元线性回归模型的基本思想、方法及其简单应用1．(2024·江西南昌高三三模)对两组数据x，y和v，u分别进行回归分析，得到散点图如图，并求得经验回归方程分别是y＝b1x＋a1和u＝b2v＋a2，并对变量x，y进行线性相关检验，得到相关系数r1，对变量v，u进行线性相关检验，得到相关系数r2，则下列判断正确的是()A．b1>0 B．b2<0C．|r1|<|r2| D．r1＋r2<0答案：D解析：由散点图可知，x与y负相关，v与u正相关，则b1<0，b2>0，故A，B错误；因为图形中点(x，y)比(v，u)更加集中在一条直线附近，所以|r1|>|r2|，又r1<0，r2>0，所以r1＋r2<0，故C错误，D正确．故选D.2．(2025·河北邢台高三模拟)某地区为研究居民用电量y(单位：度)与气温x(单位：℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天的气温，并得到了如下数据：气温x/℃36912用电量y/度24201410由表中数据得到的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，若eq\o(b,\s\up6(^))＝－1.6，则eq\o(a,\s\up6(^))的值为()A．27B．29C．34D．36答案：B解析：由已知，得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(3＋6＋9＋12,4)＝7.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(24＋20＋14＋10,4)＝17，所以17＝－1.6×7.5＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝29.故选B.3．(2025·广东汕头高三上期末)我们研究成对数据(ai，bi)(i＝1，2，…，10)的相关关系，其中ai＝i(i＝1，2，…，10)，bi＝ai(i＝1，2，…，9)，b10＝a.在集合{8，11，12，13}中取一个元素作为a的值，使得这组成对数据的相关程度最强，则a＝()A．8 B．11C．12 D．13答案：B解析：由bi＝ai(i＝1，2，…，9)可知，前9个点在直线y＝x上．∵a10＝10，∴要使相关程度最强，b10应更接近10，四个选项中11最接近10.故选B.4．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103则试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性的是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁答案：D解析：r越大，m越小，线性相关性越强，丁同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性．故选D.5．(2024·山东枣庄高三一模)某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回地简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表如下：疗法疗效合计未治愈治愈甲155267乙66369合计21115136经计算得到χ2≈4.881，根据小概率值α＝0.005的独立性检验(已知χ2独立性检验中x0.005＝7.879)，则可以认为()A．两种疗法的效果存在差异B．两种疗法的效果存在差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005C．两种疗法的效果没有差异D．两种疗法的效果没有差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005答案：C解析：零假设为H0：疗法与疗效独立，即两种疗法的效果没有差异．因为χ2≈4.881<7.879＝x0.005，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为两种疗法的效果没有差异．故选C.6．(2025·安徽马鞍山高三模拟)某植物的生长高度y(单位：厘米)和栽培时间x(单位：周)的统计数据如下，采用最小二乘估计得到的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝5x＋eq\o(a,\s\up6(^))，若当x＝3时，残差y－eq\o(y,\s\up6(^))＝1，则n＝()x12345y916n2430A.21 B．20C．19 D．18答案：A解析：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(9＋16＋n＋24＋30)＝eq\f(79＋n,5)，因为经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝5x＋eq\o(a,\s\up6(^))，所以eq\f(79＋n,5)＝15＋eq\o(a,\s\up6(^))，又当x＝3时，残差y－eq\o(y,\s\up6(^))＝1，所以n－15－eq\o(a,\s\up6(^))＝1，解得n＝21.故选A.7．5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：时间x12345销售量y/千只0.50.81.01.21.5若y与x线性相关，且经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.24x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则下列说法不正确的是()A．由题中数据可知，变量y与x正相关B．经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.24x＋eq\o(a,\s\up6(^))中eq\o(a,\s\up6(^))＝0.28C．可以预测当x＝6时，该商场5G手机销量约为1.72千只D．当x＝5时，残差为－0.02答案：D解析：对于A，从数据看y随x的增加而增加，所以变量y与x正相关，故A正确；对于B，由表中数据知，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(0.5＋0.8＋1＋1.2＋1.5,5)＝1，将(3，1)代入eq\o(y,\s\up6(^))＝0.24x＋eq\o(a,\s\up6(^))，得eq\o(a,\s\up6(^))＝1－3×0.24＝0.28，故B正确；对于C，当x＝6时，该商场5G手机销量约为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.24×6＋0.28＝1.72(千只)，故C正确；对于D，经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.24x＋0.28，所以eq\o(y,\s\up6(^))5＝0.24×5＋0.28＝1.48，又y5＝1.5，所以残差为1.5－1.48＝0.02，故D不正确．故选D.8．在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验．现随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验，得到如下2×2列联表(部分数据缺失)：疫苗病毒合计被感染未被感染注射1050未注射3050合计30100计算可知，根据小概率值α＝________的独立性检验，分析“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”．()参考公式：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.附表：α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.0.001 B．0.05C．0.01 D．0.005答案：B解析：完善2×2列联表如下：疫苗病毒合计被感染未被感染注射104050未注射203050合计3070100零假设为H0：“给基因编辑小鼠注射该种疫苗不能起到预防该病毒感染的效果”．因为χ2＝eq\f(100×（10×30－40×20）2,50×50×30×70)≈4.762，3.841<4.762<6.635，所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”．故选B.9．(2024·辽宁大连高三模拟)某公司研发新产品投入x(单位：百万元)与该产品的收益y(单位：百万元)的5组统计数据如下表所示．由表中数据求得投入金额x与收益y满足经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋2.6，则下列结论不正确的是()x568912y1620252836A.x与y有正相关关系B．经验回归直线经过点(8，25)C.eq\o(b,\s\up6(^))＝2.4D．当x＝9时，残差为0.2答案：C解析：对于A，由表格可知，x越大，y越大，所以x与y有正相关关系，故A正确；对于B，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(5＋6＋8＋9＋12,5)＝8，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(16＋20＋25＋28＋36,5)＝25，则样本点中心为(8，25)，所以经验回归直线经过点(8，25)，故B正确；对于C，将样本点中心代入经验回归方程，得25＝8eq\o(b,\s\up6(^))＋2.6，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝2.8，故C错误；对于D，eq\o(y,\s\up6(^))＝2.8x＋2.6，当x＝9时，eq\o(y,\s\up6(^))＝2.8×9＋2.6＝27.8，则残差为y－eq\o(y,\s\up6(^))＝28－27.8＝0.2，故D正确．故选C.10．(多选)自然环境中，大气压强受到各种因素的影响，如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压强发生相应的变化，其中以海拔的影响最为显著．如图是根据一组观测数据得到的海拔6～15km的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))1＝－4.0x＋68.5，决定系数为Req\o\al(2,1)＝0.99.根据非线性回归模型得到非线性经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))2＝132.9e－0.163x，决定系数为Req\o\al(2,2)＝0.99.则下列说法正确的是()A．由散点图可知，大气压强与海拔负相关B．由方程eq\o(y,\s\up6(^))1＝－4.0x＋68.5可知，海拔每升高1km，大气压强必定降低4.0kPaC．由方程eq\o(y,\s\up6(^))1＝－4.0x＋68.5可知，样本点(11，22.6)的残差为－1.9D．对比两个回归模型，结合实际情况，方程eq\o(y,\s\up6(^))2＝132.9e－0.163x的预报效果更好答案：ACD解析：观察题中散点图，可知大气压强与海拔负相关，A正确；通过经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))1＝－4.0x＋68.5，可知海拔每升高1km，大气压强大约降低4.0kPa，B错误；当x＝11时，代入方程eq\o(y,\s\up6(^))1＝－4.0x＋68.5，计算可得预报值eq\o(y,\s\up6(^))1＝24.5，则残差为22.6－24.5＝－1.9，C正确；随着海拔的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数，因此方程eq\o(y,\s\up6(^))2＝132.9e－0.163x的预报效果更好，D正确．故选ACD.11．(2025·湖北十堰高三模拟)已知某种商品的广告费x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间的对应数据如下表：x13457y1418304246根据表中数据得到y关于x的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝6x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则当广告费为10万元时，销售额预测值为________万元．答案：66解析：由题意，知eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1＋3＋4＋5＋7,5)＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(14＋18＋30＋42＋46,5)＝30，将(4，30)代入eq\o(y,\s\up6(^))＝6x＋eq\o(a,\s\up6(^))，得30＝6×4＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝6，故eq\o(y,\s\up6(^))＝6x＋6，将x＝10代入eq\o(y,\s\up6(^))＝6x＋6，得eq\o(y,\s\up6(^))＝6×10＋6＝66.12．(2024·上海金山高三二模)为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：药物疾病合计未患病患病服用m50－m50未服用80－mm－3050合计8020100取小概率值α＝0.05，若本次考察结果支持“药物对疾病预防有显著效果”，则m(m≥40，m∈N)的最小值为________.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(参考公式：χ2＝\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d；参考值：P（χ2≥3.841）≈0.05))答案：44解析：由题意可知χ2＝eq\f(100[m（m－30）－（50－m）（80－m）]2,50×50×80×20)≥3．841，则(m－40)2≥4×3.841，而m≥40，m∈N，故m的最小值为44.13．(2024·西藏拉萨高三二模)小李和小张大学毕业后到西部创业，投入5千元(包括购买设备、房租、生活费等)建立了一个直播间，帮助山区人民售卖农产品．在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，集聚了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货．他们统计了第一周的带货数据如下：第x天1234567销售额y/万元1.51.822.53.244.6(1)求样本(xi，yi)(i＝1，2，…，7)的相关系数(精确到0.01)；(2)用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))(系数精确到0.01，并用精确后的eq\o(b,\s\up6(^))的值计算eq\o(a,\s\up6(^))的值)，并预测第8天的销售额(预测结果精确到0.01)．附：①相关系数r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))；②经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))；③参考数据：eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝14.9，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝8.26，eq\r(28×8.26)≈15.21.解：(1)由题意，得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7,7)＝4，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝(1－4)2＋(2－4)2＋(3－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2＋(7－4)2＝28，所以r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))＝eq\f(14.9,\r(28×8.26))≈eq\f(14.9,15.21)≈0.98，所以样本(xi，yi)(i＝1，2，…，7)的相关系数约为0.98.(2)因为eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝14.9，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝28，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(14.9,28)≈0.53.又eq\o(x,\s\up6(－))＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1.5＋1.8＋2＋2.5＋3.2＋4＋4.6,7)＝2.8，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝2.8－0.53×4＝0.68，所以经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.53x＋0.68，当x＝8时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.53×8＋0.68＝4.92，所以预测第8天的销售额为4.92万元．14．(2024·陕西西安高三模拟)“民政送温暖，老人有饭吃”．近年来，各级政府重视提高老年人的生活质量，在医疗、餐饮等多方面，为老人提供了方便．单从用餐方面，各社区创建了“爱心食堂”“爱心午餐”“老人食堂”等等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题．“爱心食堂A”为了更好地服务老人，于3月28日12时，食堂管理层人员对这一时刻用餐的118人，对本食堂推出的15种菜品按性价比“满意”和“不满意”作问卷调查，其中，有13人来食堂用餐不足5次，另有儿童5人，他们对菜品不全了解，不予问卷统计，在被问卷的人员中男性比女性多20人．用餐者对15种菜品的性价比认为“满意”的菜品数记为x(0≤x≤15，x∈N)，当x≥12时，认为该用餐者对本食堂的菜品“满意”，否则，认为“不满意”．统计结果部分信息如下表：性别菜品合计满意不满意男40女20合计(1)①完成上面2×2列联表；②能有多大(百分比)的把握认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关？(2)用比例分配的分层随机抽样方法在对菜品的性价比“满意”的人群中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，用X表示抽取的3人中的男性人数，求X的分布列和期望．参考公式：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.附表：α0.100.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828解：(1)①由题意，问卷调查人数为118－(13＋5)＝100，其中男性60人，女性40人，得完整的2×2列联表如下：性别菜品合计满意不满意男402060女202040合计6040100②χ2＝eq\f(100×（40×20－20×20）2,60×40×60×40)≈2.778，而2.706<2.778<3.841.所以有90%的把握认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关．(2)由(1)知，对菜品的性价比“满意”的人群中有40名男性和20名女性，用比例分配的分层随机抽样方法分别抽取男性4人和女性2人，易知X的所有可能取值为1，2，3，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，所以X的分布列为X123Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)E(X)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,5)＝2.15．(2025·广西河池高三模拟)已知一组数据确定的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－x＋2且eq\o(y,\s\up6(－))＝4，通过残差分析，发现两个数据(－1.7，2.9)，(－2.3，5.1)误差较大，去除这两个数据后，重新求得经验回归直线的斜率为－1.5，则当x＝－4时，eq\o(y,\s\up6(^))＝()A．6 B．7C．8 D．13答案：B解析：由题意eq\o(x,\s\up6(－))＝2－eq\o(y,\s\up6(－))＝2－4＝－2，设原来有n个数据，则去除两个数据后还有n－2个数据，这n－2个数据的中心点记为(eq\o(x,\s\up6(－))′，eq\o(y,\s\up6(－))′)，则eq\o(x,\s\up6(－))′＝eq\f(－2n－（－1.7－2.3）,n－2)＝－2，eq\o(y,\s\up6(－))′＝eq\f(4n－（2.9＋5.1）,n－2)＝4，设新经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.5x＋m，则4＝－1.5×(－2)＋m，m＝1，即eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.5x＋1，故当x＝－4时，eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.5×(－4)＋1＝7.故选B.16．(2024·辽宁鞍山高三二模)某校数学兴趣社团对“学生性别与选学生物学是否有关”做了尝试性调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生选学生物学的人数占男生人数的eq\f(4,5)，女生选学生物学的人数占女生人数的eq\f(3,5).若有90%的把握认为选学生物学与性别有关，则被调查的学生中男生人数不可能为()参考公式：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.附表：α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.20 B．30C．35 D．40答案：A解析：设总人数为2n，则男生选学生物学的人数为eq\f(4,5)n，女生选学生物学的人数为eq\f(3,5)n，则χ2＝eq\f(2n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4n,5)×\f(2n,5)－\f(3n,5)×\f(n,5)))\s\up12(2),\f(7n,5)×\f(3n,5)×n×n)＝eq\f(2n,21)≥2.706，即n≥eq\f(2.706×21,2)＝28.413，又n为5的倍数，故男生最少有30人．故选A.17．(多选)(2025·湖北武汉高三模拟)某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量如表所示，若y与x线性相关，且经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.6x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则()月份编号x12345下载量y/万次54.543.52.5A.y与x负相关B.eq\o(a,\s\up6(^))＝5.6C．预测第6个月的下载量是2.1万次D．残差绝对值的最大值为0.2答案：ACD解析：对于A，因为－0.6<0，所以变量y与x负相关，故A正确；对于B，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(5＋4.5＋4＋3.5＋2.5)＝3.9，eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.6x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则－0.6×3＋eq\o(a,\s\up6(^))＝3.9，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝5.7，故B错误；对于C，当x＝6时，eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.6×6＋5.7＝2.1，故可以预测第6个月的下载量约为2.1万次，故C正确；对于D，当x＝1时，eq\o(y,\s\up6(^))1＝－0.6×1＋5.7＝5.1，|y1－eq\o(y,\s\up6(^))1|＝0.1，当x＝2时，eq\o(y,\s\up6(^))2＝－0.6×2＋5.7＝4.5，|y2－eq\o(y,\s\up6(^))2|＝0，当x＝3时，eq\o(y,\s\up6(^))3＝－0.6×3＋5.7＝3.9，|y3－eq\o(y,\s\up6(^))3|＝0.1，当x＝4时，eq\o(y,\s\up6(^))4＝－0.6×4＋5.7＝3.3，|y4－eq\o(y,\s\up6(^))4|＝0.2，当x＝5时，eq\o(y,\s\up6(^))5＝－0.6×5＋5.7＝2.7，|y5－eq\o(y,\s\up6(^))5|＝0.2，故残差绝对值的最大值为0.2，故D正确．故选ACD.18．(多选)为了解中学生喜爱足球运动与性别是否有关，甲、乙两校的课题组分别随机抽取了本校部分学生进行调查，得到如下两个表格：性别足球运动合计喜爱不喜爱男15520女81220合计231740甲校样本性别足球运动合计喜爱不喜爱男7030100女4555100合计11585200乙校样本参考公式及数据：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.10.010.001xα2.7066.63510.828则下列判断中正确的是()A．样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例B．样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例高于乙校女学生喜爱足球运动的比例C．根据甲校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关D．根据乙校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关答案：AD解析：对于A，甲校男学生喜爱足球运动的比例为eq\f(15,20)＝eq\f(3,4)，乙校男学生喜爱足球运动的比例为eq\f(70,100)＝eq\f(7,10)<eq\f(3,4)，即甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例，故A正确；对于B，甲校女学生喜爱足球运动的比例为eq\f(8,20)＝eq\f(2,5)，乙校女学生喜爱足球运动的比例为eq\f(45,100)＝eq\f(9,20)>eq\f(2,5)，即甲校女学生喜爱足球运动的比例低于乙校女学生喜爱足球运动的比例，故B错误；对于C，甲校中χ2＝eq\f(40×（15×12－5×8）2,20×20×23×17)≈5.013<6.635，所以根据甲校样本没有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故C错误；对于D，乙校中χ2＝eq\f(200×（70×55－30×45）2,100×100×115×85)≈12.788>6.635，所以根据乙校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故D正确．故选AD.19．(2024·山东菏泽高三模拟)已知x，y之间的一组数据：x14916y12.985.017.01若y与eq\r(x)满足经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))eq\r(x)＋eq\o(a,\s\up6(^))，则此曲线必过点________．答案：(6.25，4)解析：依题意，eq\r(x)的平均数为eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝2.5，y的平均数为eq\f(1＋2.98＋5.01＋7.01,4)＝4，所以此曲线必过点(6.25，4)．20．随着科技的发展，网购成了人们购物的重要选择，并对实体经济产生了一定影响．为了解实体经济的现状，某研究机构统计了一个大商场2020～2024年的线下销售额如下：年份编号x12345年份20202021202220232024销售额y/万元1513146512021060860(1)由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合销售额y与年份编号x的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于x的经验回归方程，并预测2026年该商场的线下销售额．参考公式及数据：r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\r(（\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2）（\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)－n\o(y,\s\up6(－))2）))，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))yi＝6100，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝16589，eq\r(（\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2）（\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)－5\o(y,\s\up6(－))2）)≈1736.解：(1)由已知数据，得eq\o(x,\s\up6(－))＝3，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))yi,5)＝eq\f(6100,5)＝1220，所以eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi－5eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝16589－5×3×1220＝－1711，所以r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\r(（\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2）（\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)－5\o(y,\s\up6(－))2）))≈eq\f(－1711,1736)≈－0.9856，因为|r|非常接近1，所以可用线性回归模型拟合销售额y与年份编号x的关系．(2)由已知数据，得eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝12＋22＋32＋42＋52＝55，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(16589－5×3×1220,55－5×32)＝－171.1，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝1220－(－171.1)×3＝1733.3，所以y关于x的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－171.1x＋1733.3.令x＝7，则eq\o(y,\s\up6(^))＝－171.1×7＋1733.3＝535.6(万元)．所以预测2026年该商场的线下销售额为535.6万元．21．体育强则中国强．站在“两个一百年”奋斗目标交汇的历史节点上，作为教育部直属重点大学附中，西南大学附中始终高度重视学校体育工作，构建德智体美劳全面培养的教育体系．现从该校随机抽取100名学生调查其运动习惯(称每周运动不少于3次的为运动达标，否则为运动不达标)，得到如下数据：性别运动合计达标不达标男2540女40合计(1)补全2×2列联表，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为运动达标与性别有关联？(2)用样本估计总体，将频率视为概率，现从该校所有男生中随机抽取1人进行调查，从该校所有女生中随机抽取2人进行调查，抽取的学生运动是否达标相互独立，设随机变量X表示这3人中运动达标的人数，求X的分布列与数学期望．附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.1000.0500.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解：(1)列联表补充填写如下：性别运动合计达标不达标男251540女204060合计4555100零假设为H0：运动达标与性别无关联．由表中数据可得，χ2＝eq\f(100×（25×40－15×20）2,40×60×45×55)＝eq\f(2450,297)≈8.249>7.879＝x0.005，故根据小概率值α＝0.005的独立性检验，推断H0不成立，能认为运动达标与性别有关联．(2)由题意可得，每名男生运动达标的概率为eq\f(25,40)＝eq\f(5,8)，每名女生运动达标的概率为eq\f(20,60)＝eq\f(1,3)，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝eq\f(3,8)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,6)，P(X＝1)＝eq\f(5,8)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,8)×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(4,9)，P(X＝2)＝eq\f(3,8)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(5,8)×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(23,72)，P(X＝3)＝eq\f(5,8)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,72)，故X的分布列为X0123Peq\f(1,6)eq\f(4,9)eq\f(23,72)eq\f(5,72)数学期望E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(23,72)＋3×eq\f(5,72)＝eq\f(31,24).22．(多选)(2025·广东江门高三模拟)某中学为更好地开展素质教育，现对外出研学课程是否与性别有关做了一项调查，其中被调查的男生和女生人数相同，且男生中选修外出研学课程的人数占男生总人数的eq\f(3,5)，女生中选修外出研学课程的人数占女生总人数的eq\f(1,2).若依据α＝0.05的独立性检验，可以认为“选修外出研学课程与性别有关”，则被调查的学生中男生可能有()参考公式：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.附表：α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.150人 B．225人C．300人 D．375人答案：BCD解析：设男生人数为5n(n∈N*)，根据题意可得2×2列联表如下：外出研学课程性别合计男生女生选修3neq\f(5n,2)eq\f(11n,2)不选修2neq\f(5n,2)eq\f(9n,2)合计5n5n10n则χ2＝eq\f(10n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3n×\f(5n,2)－\f(5n,2)×2n))\s\up12(2),\f(11n,2)×\f(9n,2)×5n×5n)＝eq\f(10n,99)，若依据α＝0.05的独立性检验，认为喜欢选修外出研学课程与性别有关，则eq\f(10n,99)>3.841，解得n>38.03，则5n>190.15.故选BCD.23．中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．某数学建模小组为了获得茶水温度y(单位：℃)关于时间x(单位：min)的回归模型，通过实验收集在25℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的数据，并对数据做初步处理得到如下所示散点图．eq\o(y,\s\up6(－))eq\o(ω,\s\up6(－))eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(ωi－eq\o(ω,\s\up6(－)))73.53.85－95－2.24表中：ωi＝ln(yi－25)，eq\o(ω,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))ωi.(1)根据散点图判断，①y＝a＋bx与②y＝d·cx＋25哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的经验回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立该茶水温度y关于时间x的经验回归方程；(3)已知该茶水温度降至60℃口感最佳，根据(2)中的经验回归方程，在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？附：①对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（ui－\o(u,\s\up6(－))）（vi－\o(v,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（ui－\o(u,\s\up6(－))）2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\o(v,\s\up6(－))－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(u,\s\up6(－))；②参考数据：e－0.08≈0.92，e4.09≈60，ln7≈1.9，ln3≈1.1，ln2≈0.7.解：(1)根据散点图判断，其变化趋势不是线性的，而是曲线的，因此②y＝d·cx＋25更适宜作为该茶水温度y关于时间x的经验回归方程类型．(2)由y＝d·cx＋25，有y－25＝d·cx，两边取自然对数，得ln(y－25)＝ln(d·cx)＝lnd＋xlnc，设ω＝ln(y－25)，a＝lnd，b＝lnc，则ω＝bx＋a，又eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(0＋1＋2＋3＋4＋5＋6,7)＝3，所以eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝28，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（ωi－\o(ω,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(－2.24,28)＝－0.08，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(ω,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝3.85＋0.08×3＝4.09，eq\o(c,\s\up6(^))＝e－0.08，所以eq\o(d,\s\up6(^))＝e4.09.所以经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝e4.09·e－0.08x＋25＝e4.09－0.08x＋25.(3)将eq\o(y,\s\up6(^))＝60代入经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝e4.09－0.08x＋25，得60＝e4.09－0.08x＋25，化简，得35＝e4.09－0.08x，即4.09－0.08x＝ln35，又e－0.08≈0.92，e4.09≈60，ln7≈1.9，ln3≈1.1，ln2≈0.7，所以ln60－0.08x≈ln35，即0.08x≈ln60－ln35＝lneq\f(12,7)＝ln12－ln7＝(2ln2＋ln3)－ln7≈2×0.7＋1.1－1.9＝0.6，所以x≈eq\f(0.6,0.08)＝7.5，所以大约需要放置7.5min才能达到最佳饮用口感．24．西藏隆子县玉麦乡位于喜马拉雅山脉南麓，地处边疆，山陡路险，交通闭塞．党的十八大以来，该地区政府部门大力开发旅游等产业，建设幸福家园，实现农旅融合，以创建国家全域旅游示范区为牵引，构建“农业＋文创＋旅游”发展模式，真正把农村建设成为“望得见山、看得见水、记得住乡愁”的美丽乡村，在新政策的影响下，游客越来越多．当地旅游局统计了玉麦乡景区2024年1月份到5月份的接待游客人数y(单位：万)，统计结果