小学数学五年级上册《火车行程追及应用题》教学设计

小学数学五年级上册《火车行程追及应用题》教学设计一、基本信息与课标定位【学段学科】小学五年级数学（人教版）【课题名称】火车行程中的追及问题专题讲练【课程类型】奥数思维拓展课/单元复习提升课【课时安排】2课时（90分钟）【核心素养】模型意识几何直观推理意识应用意识【课标依据】本设计基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数量关系”主题的要求，引导学生在实际情境中运用速度、时间、路程之间的数量关系，解决生活中的实际问题。通过对火车行程这一特殊模型的探究，帮助学生积累分析和解决问题的经验，形成模型意识和几何直观，发展推理能力【重要】。二、教学目标与重难点（一）教学目标1.【知识与技能】理解并掌握火车过桥、火车追及问题（含两车追及、车与人追及）的基本数量关系；能准确区分不同情境下的路程，正确运用公式“路程差=速度差×追及时间”进行解答【基础】。2.【过程与方法】通过动态演示、画线段图等方法，经历分析题意、建构模型的过程，体会数形结合思想在解决复杂行程问题中的重要作用，提高作图分析能力和逻辑推理能力【核心】。3.【情感态度与价值观】在解决挑战性问题的过程中，感受数学的严谨性与趣味性，培养克服困难的意志品质和合作探究的精神。（二）教学重难点1.【教学重点】掌握火车追及问题中“追及路程”的确定方法，即两车车身长度之和（或车长与人行距离的关系）【高频考点】。2.【教学难点】理解“从追上到完全超过”的动态过程，并能将抽象的运动过程转化为线段图中的数学模型；灵活运用公式解决火车过桥与追及的综合问题【难点】。三、知识体系与核心公式建构（一）温故知新：行程问题基本公式◎路程=速度×时间◎速度=路程÷时间◎时间=路程÷速度（二）核心模型：火车过桥（或隧道）◎【关键点】由于火车本身有长度，所以火车通过桥梁或隧道时，需要行驶的路程并不是桥的长度，而是“桥长+车长”。◎公式：火车过桥时间=（桥长+车长）÷火车速度◎公式推导：从车头刚上桥（开始），到车尾离开桥（结束），车头相对于地面移动的距离恰好是桥长加上一个自身的车长。（三）核心模型：火车追及问题本专题的核心在于将“追及问题”与“火车长度”相结合。无论是两列火车还是火车追人，其本质都是两个运动物体同向而行，速度快的一方从后方追上速度慢的一方，并最终完全超过。1.【基础追及】两车追及（快车从后面追上慢车）◎【重要】追及路程（路程差）：不是两车起始的间距，而是“快车车长+慢车车长”。因为从快车车头追上慢车车尾（开始追及）到快车车尾离开慢车车头（完全超过），快车车头比慢车车头多行驶的距离正好是两个车身的长度之和。◎公式：追及时间=（甲车长+乙车长）÷（甲速度乙速度）2.【拓展追及】火车追人（同向而行）◎追及路程（路程差）：即“火车车长”。因为从火车头追上人（开始）到火车尾离开人（结束），火车比人多走的路程就是一列火车的长度（忽略人的身体厚度）。◎公式：追及时间=火车车长÷（火车速度人速度）四、教学实施过程（核心环节，占篇幅90%）第一课时：建构模型——从“过桥”到“追及”（一）创设情境，激趣导入（5分钟）师：同学们，请看大屏幕（播放一段火车穿越隧道、两列火车追逐并超越的短视频）。火车是我们重要的交通工具，在它的行驶过程中，隐藏着许多有趣的数学问题。我们已经学过一般的行程问题，但火车很长，当它经过桥梁、隧道，或者两列火车并排追逐时，还能简单地用“路程=速度×时间”来计算吗？今天，我们就一起走进火车的世界，探究“火车行程中的追及问题”【热点】。教师板书课题：火车行程追及问题专题讲练（二）基础铺垫：火车过桥模型（15分钟）1.【问题呈现】一列火车长150米，每秒钟行19米。全车通过一座长800米的大桥，需要多少秒？2.【活动探究】◎师：请同学们思考，“全车通过”是什么意思？从哪个点开始到哪个点结束？请用简单的示意图画出来。◎生：动手画图，展示交流。◎【难点突破】教师借助多媒体动画演示：车头刚上桥为“开始”时刻，车尾离开桥为“结束”时刻。引导学生观察车头走过的路线——它先走过桥的长度（800米），再走过一个车身的长度（150米），才能让车尾安全离开大桥【重要】。◎得出路程：总路程=桥长+车长=800+150=950（米）。3.【规范解答】◎时间=路程÷速度=(800+150)÷19=950÷19=50（秒）。◎答：需要50秒。4.【模型总结】◎教师强调：在涉及火车过桥、过山洞、经过某个点（如电线杆、行人）时，一定要考虑火车自身的长度。这和我们之前学的“质点”运动最大的不同【基础】。◎若火车经过的是静止的人或电线杆，路程就是车长本身。（三）核心探究：两列火车的追及问题（25分钟）1.【情景升级】如果把静止的桥或人，换成另一列也在行驶的火车呢？追及问题变得更复杂了。2.【出示例题】甲火车长210米，每秒行18米；乙火车长140米，每秒行13米。乙火车在前，两火车在双轨车道上行驶。求甲火车从后面追上到完全超过乙火车要用多少秒？（这是典型的火车追及问题【高频考点】）3.【小组合作，深度探究】（此环节为本课灵魂）◎第一步：理解“从追上到完全超过”。教师用教具（两列火车模型或两个长纸条）在讲台上演示。让学生直观看到：“追上”是指甲车头碰到乙车尾；“完全超过”是指甲车尾离开乙车头。这个过程，两车都在运动【非常重要】。◎第二步：寻找“路程差”。这是本课的核心难点。教师引导学生思考：在这一过程中，甲车头比乙车头多跑了多少米？■引导学生画线段图。在线段图上标出甲车头和乙车头的起始位置和结束位置。■结论：甲车头不仅要追赶上乙车头原来领先的距离，还要多跑一个乙车的长度（为了把自己的整个车身拉出来），同时它自己也要跑出一个自身的长度。因此，甲车头比乙车头多跑的路程，正好是“甲车长+乙车长”【核心结论】。◎第三步：套用公式。■路程差（追及距离）=210+140=350（米）■速度差=1813=5（米/秒）■追及时间=路程差÷速度差=350÷5=70（秒）4.【变式训练】如果两车齐头并进，甲车超过乙车，路程差是多少？如果齐尾并进呢？（引导学生对比讨论，进一步深化对“路程差”的理解——齐头并进时，路程差是快车的车长；齐尾并进时，路程差是慢车的车长。）（四）课堂练习与反馈（5分钟）1.一列快车长150米，每秒行22米；一列慢车长100米，每秒行14米。快车从后面追上慢车到完全超过慢车，共需几秒钟？2.要求：独立完成，同桌互批，指名板演，集体订正。第二课时：拓展提升——解决复杂情境与变式（一）回顾旧知，引入新课（5分钟）师：上节课我们学习了火车过桥和两列火车的追及问题，核心在于找准“路程差”。今天，我们将面临更有挑战性的问题——当追及对象变成人的时候，公式还适用吗？如果题目没有直接给全条件，我们该怎么办？（二）拓展一：火车与人的追及问题（15分钟）1.【出示例题】小明以每秒2米的速度沿铁路旁的人行道跑步，身后开来一列长188米的火车，火车每秒行18米。问：火车追上小明到完全超过小明共用了多少秒钟？2.【自主探究】◎师：这个问题和上节课的例题有什么相同和不同？◎生：相同点是都是同向追及；不同点是前面的“乙火车”变成了“小明”，小明没有长度。◎【模型迁移】引导学生画图：火车头追上小明（开始）到火车尾离开小明（结束）。在这个过程中，火车头比小明多跑的路程是多少？◎得出结论：多跑的路程就是火车自身的长度（188米）【重要】。3.【列式解答】◎速度差=182=16（米/秒）◎追及时间=车长÷速度差=188÷16=11.75（秒）4.【总结】无论是火车追火车，还是火车追人，追及路程（路程差）都是两车（或车与人）的长度之和。只不过人的长度忽略不计，所以就是火车的长度。（三）拓展二：隐含条件的追及问题（方程思想引入）（20分钟）1.【出示例题】一列火车通过2400米的大桥需要3分钟，用同样的速度从路边的一根电线杆旁边通过，只用了1分钟。求这列火车的速度。2.【审题分析】这道题没有直接给出火车的长度，而是给出了两个不同的过“障碍”时间。一个障碍是大桥（有长度），一个障碍是电线杆（点，无长度）。火车的速度和长度是固定的【难点】。3.【小组讨论，寻找等量关系】◎设火车长度为L米，速度为v米/分。◎根据过桥：路程=2400+L，时间=3，所以2400+L=3v…(1)◎根据过电线杆：路程=L，时间=1，所以L=1v…(2)4.【解法一：等量代换】◎将(2)式L=v代入(1)式：2400+v=3v◎解得：2v=2400，v=1200（米/分）。◎答：火车速度为1200米/分。5.【解法二：算术方法（对比分析）】◎师：为什么过桥比过电线杆多用了2分钟？◎生：因为过桥时火车要多跑一个桥长的距离（2400米）。◎师：多跑的这2400米，用了多长时间？◎生：用了31=2（分钟）。◎师：所以速度是多少？◎生：2400÷2=1200（米/分）。◎【重要】教师总结：这种对比分析的算术方法，揭示了问题的本质——多出来的路程（桥长）对应多出来的时间。这是解决此类问题的“金钥匙”。（四）综合练习与思维挑战（5分钟）1.一列火车通过一座长100米的桥用了20秒，如果火车的速度保持不变，它经过路边的一位行人（假设静止）用了15秒。求这列火车的长度和速度。2.提示：对比经过行人和经过桥的时间差，找出对应的路程差。五、教学策略与学法指导1.【化静为动，突出过程】充分利用多媒体课件和教具演示，将抽象的“超过”过程动态化、可视化，帮助学生建立清晰的空间表象，这是突破难点的关键【核心策略】。2.【数形结合，凸显本质】坚持“没有图不解题”的原则。从例题讲解到练习巩固，始终引导学生画线段图，用图形表示火车的长度、运动轨迹和关键位置（车头、车尾、相遇点、追及点）。将文字语言转化为图形语言，再转化为数学符号语言【基础】。3.【对比辨析，建构模型】将“火车过桥”、“火车追火车”、“火车追人”、“齐头并进”、“齐尾并进”等多种变式进行横向对比，引导学生辨析不同情境下“路程差”的异同，从而深刻理解数学模型，避免死记硬背公式。4.【分层递进，关注差异】设计由浅入深、环环相扣的问题链，既有面向全体学生的基础练习，也有供学有余力学生挑战的拓展题，让不同层次的学生在课堂上都能获得成功的体验。六、板书设计小学数学五年级上册《火车行程追及应用题》专题讲练一、核心公式路程=速度×