2025-2026学年甘肃省天水市武山县第一高级中学高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（8小题，每小题5分，共40分）1.设复数的共轭复数为，则（）A. B.3 C.5 D.2.计算：（）A. B. C. D.3.已知，且是方程的两根，则的值为（）A. B. C. D.4.设，为非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.如图所示，在中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（）A. B. C. D.6.已知是，平面内两个不共线向量，，，，若三点共线，则的值为（）A.2 B. C. D.37.已知单位向量，满足：，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.某同学为了测量天文台CD的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高AB为，在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得楼顶A,天文台顶C的仰角分别是15°和60°，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为30°，假设AB，CD和点M在同一平面内，则该同学可测得学校天文台CD的高度为（）A. B. C. D.二、多选题（3小题，每小题6分，共18分.）9.已知向量，且，则（）A. B.C.向量与向量的夹角是 D.向量在向量上的投影向量坐标是10.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列结论正确的是（）A.若，则为等腰三角形B.若，则C.若为锐角三角形，则D.若，则一定是钝角三角形11.定义一种向量运算“”：，其中是任意的两个非零向量，是与的夹角.对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（）A.若，则 B.若，则C. D.若，则第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知向量，若与垂直，则__________.13.已知，则__________.14.在中，角的对边分别为，且.若，则对的最小值为__________.四、解答题（共5小题，共77分.）15.已知复数的共轭复数为在复平面上对应的点在第一象限，且满足，（1）求复数；（2）求复数的模长．16.已知向量，且与的夹角为.（1）求；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.17.已知锐角，满足，．（1）求的值；（2）求的值．18.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，且．（1）求B的大小；（2）求面积的最大值．19.已知函数.（1）求函数的单调减区间；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数在上恰有3个零点，求的取值范围.

数学第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（8小题，每小题5分，共40分）1.设复数的共轭复数为，则（）A. B.3 C.5 D.答案：C解析：解答过程：因为复数，所以,所以.2.计算：（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据给定条件，利用诱导公式及和角正弦公式的逆用求解即得.解答过程：.故选：A3.已知，且是方程的两根，则的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用韦达定理及两角和的正切公式求解即可.解答过程：依题意，所以，因为，又,所以，故选：C.4.设，为非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系.解答过程：若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立，故得不到，若，则，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B.5.如图所示，在中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意可得：.6.已知是，平面内两个不共线向量，，，，若三点共线，则的值为（）A.2 B. C. D.3答案：A解析：思路：根据题意，分别求得，，根据三点共线，则存在实数，满足，列出方程组，即可求解.解答过程：由向量，，，可得，，因为三点共线，则存在实数，满足，即，可得，解得.故选：A.7.已知单位向量，满足：，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由题意将所用的向量放到坐标系中用坐标表示，借助于两点之间的距离公式以及几何意义解答．解答过程：设单位向量，，，即到和的距离和为，而，故动点表示线段上的动点.又，该式表示与线段上点的距离，其最小值为点到线段的距离，而，故.最大值为到的距离是3，所以的取值范围是．8.某同学为了测量天文台CD的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高AB为，在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得楼顶A,天文台顶C的仰角分别是15°和60°，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为30°，假设AB，CD和点M在同一平面内，则该同学可测得学校天文台CD的高度为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由已知求出AM，在三角形ACM中，运用正弦定理可得CM，再解直角三角形CDM，计算即可得到天文台的高度．解答过程：在Rt△ABM中，有，在△ACM中，有，，，由正弦定理得，故，在Rt△CDM中，有，又，则．故选：C．二、多选题（3小题，每小题6分，共18分.）9.已知向量，且，则（）A. B.C.向量与向量的夹角是 D.向量在向量上的投影向量坐标是答案：CD解析：思路：利用垂直关系的坐标表示求出，再结合模的坐标表示、向量夹角计算及投影向量的意义逐项判断即得.解答过程：由，得，由，得，解得，对于A，，A错误；对于B，，因此，B错误；对于C，，则，而，所以，C正确；对于D，向量在向量上的投影向量为，D正确.故选：CD10.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列结论正确的是（）A.若，则为等腰三角形B.若，则C.若为锐角三角形，则D.若，则一定是钝角三角形答案：BD解析：思路：根据正弦定理、余弦定理和三角形内角的范围逐项计算判断即可.解答过程：对于A，根据正弦定理得，化简得，得到或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误；对于正弦定理可知，，因为，所以，B正确；对于C，仅知道是锐角三角形，并不能确定的大小，C错误；根据余弦定理可得，，因为，所以.因为，所以，所以一定是钝角三角形，D正确.故选：BD.11.定义一种向量运算“”：，其中是任意的两个非零向量，是与的夹角.对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（）A.若，则 B.若，则C. D.若，则答案：BCD解析：思路：利用的定义判断A，然后由可否定B和C选项，最后给出D选项的反例即可.解答过程：对于A：由的定义知，当时，；当，.若，由于是非零向量，所以当时，，故，，所以，所以，故，A正确.对于B：设有非零向量，则，所以，而，故，故B错误.对于C：由B知，，故，C错误.对于D：若，，，则，D错误.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知向量，若与垂直，则__________.答案：##解析：解答过程：由向量，得.若与垂直，则，解得.13.已知，则__________.答案：##解析：思路：根据二倍角的正弦公式化简，再利用商数关系弦化切，代入求解即可.解答过程：，故答案为.14.在中，角的对边分别为，且.若，则对的最小值为__________.答案：解析：思路：应用三角恒等变换及三角形内角的性质求得，令，结合向量数乘的几何意义及减法法则化简向量并求其模长.解答过程：由，得，所以，因为，则，所以，设，则点在直线上，所以，当时，最小，其最小值为.故四、解答题（共5小题，共77分.）15.已知复数的共轭复数为在复平面上对应的点在第一象限，且满足，（1）求复数；（2）求复数的模长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）设，则，结合题意列式求解即可；（2）由（1）可得，进而可得模长.（1）设，则，由题意可得，解得，又因为在复平面上对应的点在第一象限，即，所以.（2）由（1）可知，则，所以.16.已知向量，且与的夹角为.（1）求；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据给定条件，利用向量的坐标运算，结合夹角公式求出，进而求出及模.（2）由（1）的信息，利用向量线性运算的坐标表示，结合夹角公式及共线向量列式求解.（1）由向量，得，且，由与的夹角为，得，解得，则，于是，所以.（2）由（1）知向量，则，由与的夹角为锐角，得且与不共线，由，解得且，所以实数的取值范围为.17.已知锐角，满足，．（1）求的值；（2）求的值．答案：（1）；（2）．解析：思路：（1）先利用同角三角函数关系求和，再利用两角和与差的三角函数公式，结合可求的值.（2）利用，结合两角和与差的三角函数公式，求出，又为锐角，可得的值.（1）因为，，所以，所以，，因为，所以.（2）因为，所以，又因为，所以18.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，且．（1）求B的大小；（2）求面积的最大值．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）利用正弦定理、诱导公式及倍角公式计算即可；（2）利用余弦定理、三角形的面积公式及基本不等式计算即可.（1）∵在中，，且，∴，由正弦定理得．∵，，∴．∵，∴．∵，，，∴，∴，∴．（2）由（1）知，且，∴由余弦定理得，整理得．又∵，当且仅当时，等号成立，∴，即，当且仅当时，等号成立．∴，∴面积的最大值为．19.已知函数.（1）求函数的单调减区间；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数在上恰有3个零点，求的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由三角恒等变换化简，利用正弦型函数的单调性求解；（2