2025-2026学年广东省茂名市高州市高二下册质量监测数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列2，5，8，…，则41是这个数列的（）A.第16项 B.第15项 C.第14项 D.第13项2.一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则该质点在时的瞬时速度为（）A.1m/s B.3m/s C.5m/s D.7m/s3.在的展开式中，第7项为（）A. B. C. D.4.下表是离散型随机变量的分布列，则（）0120.51A.0.35 B.0.45 C.0.3 D.0.45.由组成没有重复数字的四位数中，偶数的个数是（）A.300 B.360 C.420 D.4806.已知正项数列满足，且，则（）A.6 B.42 C.80 D.847.某校从高一､高二､高三中各选派名同学参加“党的光辉史”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为，，，学习后，学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女同学来自高三年级的概率为（）A. B. C. D.8.已知，，，则（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.把10本不同的书排放在书架上，其中两本数学书不能相邻的排法有（）A.种 B.种C.种 D.种10.若将一边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法正确的是（）A.当时，方盒的容积最大 B.方盒的容积没有最小值C.方盒容积的最大值为 D.方盒容积的最大值为11.记等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，，，，则下列选项正确的是（）A. B.C.当且仅当时，最大 D.的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则________．13.二项式的展开式中，前3项的系数依次成等差数列，则偶数项二项式系数之和为________．14.某小区安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内”两种判断．现对系统进行测试，结果如下：小区业主被判定为“禁止入内”的概率为，外来访客被判定为“允许通行”的概率为．已知进入该小区的人员中，外来访客和小区业主的比为1：5，经测试某人被判定为“允许通行”，则其是小区业主的概率为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.设等差数列的前项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．16.已知函数fx（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若有两个极值点，求实数a的取值范围．17.袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字．（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）求随机变量的分布列．18.已知数列的前n项和为，且．（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；（2）记，记数列的前n项和为．①求；②若存在，使得，求的取值范围．19.已知函数.（1）求函数的最大值；（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（3）若函数在上恒成立，求实数的取值范围.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列2，5，8，…，则41是这个数列的（）A.第16项 B.第15项 C.第14项 D.第13项答案：C解析：解答过程：由题可知该等差数列的首项为2，公差为3，因此该数列通项公式为，令am=3m因此41是这个数列的第14项.2.一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则该质点在时的瞬时速度为（）A.1m/s B.3m/s C.5m/s D.7m/s答案：D解析：解答过程：因为St=t则在时的瞬时速度为S′43.在的展开式中，第7项为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：根据二项展开式的通项可得第7项为T74.下表是离散型随机变量的分布列，则（）0120.51A.0.35 B.0.45 C.0.3 D.0.4答案：D解析：解答过程：由题可知，0.51+1−2q+q2=1当q=1.7时，，，不满足题意，舍去，故，则PX=15.由组成没有重复数字的四位数中，偶数的个数是（）A.300 B.360 C.420 D.480答案：C解析：思路：由最后一位数是0和最后一位不是0，两类情况讨论求解即可.解答过程：最后一位数是0，偶数的个数是；最后一位不是0，偶数的个数是，所以一共有种.6.已知正项数列满足，且，则（）A.6 B.42 C.80 D.84答案：C解析：思路：根据对数的运算性质，结合等比数列的定义，可得数列是以2为公比的等比数列，根据条件，代入求解，可得的值，即可得数列的通项公式，代入数据，即可得答案.解答过程：由题意，所以，则，所以数列是以2为公比的等比数列，则，所以，解得，所以，则，所以7.某校从高一､高二､高三中各选派名同学参加“党的光辉史”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为，，，学习后，学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女同学来自高三年级的概率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：设事件为“24人中抽出一名女同学”，事件为“24人中抽出一名高三同学”，分别求得，，代入条件概率公式即可求解.解答过程：设事件为“24人中抽出一名女同学”，事件为“24人中抽出一名高三同学”，则，，.故选：A.8.已知，，，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：构造函数，利用导数求出函数的单调区间，即可比较的大小关系，构造函数利用导数求出函数的单调区间，即可比较的大小关系，即可得解.解答过程：令，则f′x当时，，所以函数在上单调递减，所以f78<即ln158<令，则，当时，，所以函数在上单调递减，所以g7>g8，即所以log87>7综上所述，.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.把10本不同的书排放在书架上，其中两本数学书不能相邻的排法有（）A.种 B.种C.种 D.种答案：AC解析：思路：法一：利用插空法解决即可.法二：利用间接法结合捆绑法求解即可.解答过程：法一：先把其他的8本书排好，形成了9个空，再将2本数学书插入9个空，则有种不同的排法.法二：若两本数学书相邻，则有种排法，所以两本数学书不能相邻的排法有A10故选：AC.10.若将一边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法正确的是（）A.当时，方盒的容积最大 B.方盒的容积没有最小值C.方盒容积的最大值为 D.方盒容积的最大值为答案：ABC解析：思路：将方盒容积表示为关于的函数的形式，利用导数可求得单调性、最值点和最值，由此可得结果.解答过程：由题意知：方盒的底面为边长为的正方形，高为，其中，则方盒的容积为，，则当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，无最小值，ABC正确，D错误.故选：ABC.11.记等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，，，，则下列选项正确的是（）A. B.C.当且仅当时，最大 D.的最大值为答案：AD解析：思路：由等差数列和等比数列基本量的运算，求得等差数列的公差，等比数列的公比，进而逐项判断即可.解答过程：因为为等差数列，，所以，又因为，所以公差，所以，，，，所以当或时，最大，所以A正确，C错误；因为是等比数列，所以，所以，因为，所以公比，所以或，所以或，所以选项B错误；当时，，，，所以当或时，最大，且最大值为；当，，，，，当时，，当时，，又，当时，，所以当时，最大，且最大值为，综上，可知的最大值为，所以选项D正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则________．答案：4解析：思路：根据组合数的性质，分析即可得答案.解答过程：根据组合数的性质，且，所以.13.二项式的展开式中，前3项的系数依次成等差数列，则偶数项二项式系数之和为________．答案：128解析：思路：首先根据二项式定理求出二项式的通项公式，并求出前三项，根据已知条件列方程，解得，再根据二项式系数的性质求解.解答过程：二项式展开式的通项公式，当时，，当时，，当时，，因为前3项的系数依次成等差数列，所以，即，解得（舍）或，所以偶数项二项式系数之和为.14.某小区安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内”两种判断．现对系统进行测试，结果如下：小区业主被判定为“禁止入内”的概率为，外来访客被判定为“允许通行”的概率为．已知进入该小区的人员中，外来访客和小区业主的比为1：5，经测试某人被判定为“允许通行”，则其是小区业主的概率为________．答案：95解析：解答过程：设表示“被检测人员是业主”，表示“被检测人员是外来访客”，设表示“允许通行”，已知外来访客和小区业主的比为，则，PA=1小区业主被判定为“禁止入内”的概率为，则业主被允许通行的概率为PB外来访客被判定为“允许通行”的概率为PB因此“允许通行”的概率为PB所以PA四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.设等差数列的前项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据等差数列通项公式及前项和公式求解；（2）代入求出数列的通项公式，利用分组求和法求出数列的前项和.（1）设等差数列的首项为，公差为，，，则a1+3d所以.（2），，.16.已知函数fx（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若有两个极值点，求实数a的取值范围．答案：（1）（2）解析：（1）当时，fx=lnx当时，f1=0+2−2=0，f所以在点处的切线方程为.（2）由（1）可知，f'设函数gx=−2x2+设为的两个极值点，即方程的两个正实数根，所以Δ=1−4×−2×−a>0x117.袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字．（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）求随机变量的分布列．答案：（1）（2）分布列见解析解析：思路：（1）利用古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求出结果；（2）先求出的可能取值为2，3，4，5．在求出的每个取值的概率即可得解.（1）“取出的3个小球上的数字互不相同”记为事件，则为“取出的3个小球上有2个数字相同”，∴，∴．（2）由题意可知的可能取值为2，3，4，5，，，，．可得的分布列如表所示．234518.已知数列的前n项和为，且．（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；（2）记，记数列的前n项和为．①求；②若存在，使得，求的取值范围．答案：（1）证明见解析，；（2）①；②.解析：思路：（1）根据给定的递推公式，利用及构造法推理得证，进而求出通项公式.（2）①由（1）求出，再利用裂项相消法求和；②由①求出，借助单调性求出的最小值即可.（1）数列中，，当时，，两式相减得，整理得，于是，而，即，则，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，，；（2）①由（1）知，，，.②由①知，，，，而数列单调递增，则，因此，由存在，使得，得，所以的取值范围是.19.已知函数.（1）求函数的最大值；（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（3）若函数在上恒成立，求实数的取值范围.答案：（1）1（2）（3）解析：思路：（1）利用导数分析的单调性，进而求得函数的最大值；（2）根据题意，在上恒成立，参变分离后，通过（1）中所求，即可求得参数的范围；（3）将转化为在上恒成立，构造函数，讨论该函数的单调性，进而根据不同单调性的情况，分析是否在区间上恒成立，从而求得参数的范围.（1），定义域为，，令，得，当时，；当时，，所以函数在上