2025-2026学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高三下册高考考前自测数学试题 含解析

/数学满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.已知复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.3.已知向量，且，则（）A.2 B. C. D.4.已知椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆上的一点，则的最大值为（）A.10 B.9 C.8 D.75.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.圆与圆的公共弦的长为（）A.2 B. C.4 D.7.用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到经验回归方程为，则的值为（）A. B. C. D.8.已知三棱锥的各顶点均在表面积为的球的表面上，且，，则三棱锥体积的最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.样本数据的分位数是18B.数据的平均数为2，那么数据的平均数为7C.已知分别为随机事件的对立事件，，则D.已知分别为随机事件的对立事件，，若，则10.已知双曲线，过点的直线与.交于两点，则（）A.的实轴长为2B.的离心率为2C.点到的两条渐近线的距离之积为3D.点可能是线段的中点11.已知定义在上的函数满足，都有，且当时，，则（）A.B.C.在上单调递增D.当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列为等差数列，且，则__________.13.将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则__________.14.已知不等式对任意的恒成立，则的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的周长.16.已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2）已知函数，若对，使得，求的取值范围.17.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，.（1）求证：平面平面；（2）点满足，求二面角的余弦值.18.已知抛物线上的一点到的焦点的距离为，点是上不同的两点.（1）求的方程；（2）若直线与直线的倾斜角互补，求直线的斜率；（3）若，求点到直线的距离的最大值.19.已知一个袋子中有个红球，个黑球，这些球除颜色外完全相同.（1）若，甲､乙进行摸球比赛，按先甲后乙依次轮流摸球，某人摸球时从袋子中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，摸到红球得一分否则对方得一分（记为一次摸球），规定当一方比另外一方多2分时胜出，比赛结束.（i）求第2次摸球后比赛结束的概率；（ii）若规定甲､乙摸球次数的总和达到时也比赛结束，设随机变量为比赛结束时的摸球次数，求的分布列和数学期望；（2）将口袋中的球随机逐个取出，并放入编号为的盒子中，其中第次取出的球放入编号为的盒子中，记随机变量表示最后一个取出的黑球所在的编号的倒数，是的数学期望，求证.

数学满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：由题意知，又，所以.2.已知复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据复数运算求得以及其共轭复数，再求虚部即可.解答过程：因为，所以，所以，则的虚部为.3.已知向量，且，则（）A.2 B. C. D.答案：A解析：思路：由向量平行的坐标表示即可直接求得答案.解答过程：由，则10m−−41−34.已知椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆上的一点，则的最大值为（）A.10 B.9 C.8 D.7答案：B解析：解答过程：因为点是椭圆上的一点，所以，所以9.当且仅当时等号成立，所以的最大值为9.5.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：利用二倍角的余弦、正弦公式、同角三角函数的基本关系，充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论.解答过程：若，又，得，则，所以“”是“”的充分条件；若，且，则，所以，若，则，可得，若，则，可得.故“”不是“”的必要条件．故“”是“”的充分不必要条件．6.圆与圆的公共弦的长为（）A.2 B. C.4 D.答案：C解析：解答过程：将圆与圆的方程作差可得，所以两圆相交弦所在直线的方程为，圆的圆心为原点，半径为，原点到直线的距离为d=53所以两圆的公共弦长为.7.用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到经验回归方程为，则的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由模型，可得，即，因为变换后得到经验回归方程为，所以k=−2,lnc=0.5，即8.已知三棱锥的各顶点均在表面积为的球的表面上，且，，则三棱锥体积的最大值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由题意可建立适当空间直角坐标系，再设，计算可得且，再借助空间向量计算可得点到平面的距离的最大值，最后利用体积公式计算即可得.解答过程：设球的半径为，所以，解得，故，又，所以，所以，设的中点为，则是外接圆的圆心，则平面ABC,O以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，设点，因为AP=22所以，即，两式相减解得，代回上式可得，所以，即，又平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为，所以点到平面的最大距离为，所以三棱锥体积的最大值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.样本数据的分位数是18B.数据的平均数为2，那么数据的平均数为7C.已知分别为随机事件的对立事件，，则D.已知分别为随机事件的对立事件，，若，则答案：ABD解析：解答过程：因为，故样本数据的分位数是，故A正确；因为的平均数为2，所以的平均数为：，故B正确；，故C错误；由，得，即，所以，故D正确10.已知双曲线，过点的直线与.交于两点，则（）A.的实轴长为2B.的离心率为2C.点到的两条渐近线的距离之积为3D.点可能是线段的中点答案：BC解析：思路：根据双曲线的定义、性质、直线与双曲线的关系逐项计算判断即可.解答过程：由题意知，所以的实轴长为，离心率，故A错误，B正确；设，所以，所以点到的两条渐近线的距离之积为，故C正确；显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，由得，即，则，若点是线段的中点，则，则，解得，此时，矛盾.所以点不可能是线段的中点，故D错误.11.已知定义在上的函数满足，都有，且当时，，则（）A.B.C.在上单调递增D.当时，答案：BCD解析：思路：对A：借助赋值法，令即可得；对B：借助赋值法，令，结合A中所得计算即可得；对C：任取，结合函数单调性定义可得在上是增函数，则可得在上单调递增；对D：借助赋值法，令，可得，由时，，可得，则，累乘即可得解.解答过程：对A：令，得，故A错误；对B：令，则，即有，故，故B正确；对C：任取，则，依题意，，而，则，即，即在上是增函数，于是对于，任取，因，则，即，即函数在上单调递增，故C正确；对D：令，可得，整理得，当时，且，故，即，则，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列为等差数列，且，则__________.答案：3解析：思路：利用等差数列的基本量，转化已知条件，即可求得结果.解答过程：设数列的公差为，则，所以.13.将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则__________.答案：解析：解答过程：将函数的图象先向右平移个单位长度，得到的图象，再把所得函数图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象对应函数为，所以.14.已知不等式对任意的恒成立，则的取值范围是__________.答案：解析：思路：将原不等式化成，构造函数，由其单调性得到，再构造函数，求导确定单调性，进而可求解.解答过程：不等式对任意的恒成立，即，即.设，由解析式可知该函数单调递增，则对任意的恒成立，所以，所以，令，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，解得，即的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的周长.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理进行边角互化，再结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系求出tanA=3（2）根据三角形的面积公式及余弦定理求出，即可得出结果.（1）因为，由正弦定理得sinAsin又，所以，整理可得tanA=3且，所以.（2）因为的面积为，所以12bcsinA=又，由余弦定理得，所以b2+c所以b+所以的周长为.16.已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2）已知函数，若对，使得，求的取值范围.答案：（1）；（2）−∞解析：思路：（1）由在区间上单调递增，得到在区间上恒成立，结合二次函数单调性，即可求得参数范围；（2）根据题意，在区间上，，先利用导数分析的单调性，从而求得其最大值；再对参数进行分类讨论，在不同情况下求得的最大值，进而求得参数的范围.（1）由题意知，又函数在区间上单调递增，所以，也即恒成立，在上单调递增，所以，解得，即的取值范围是.（2）若对，使得，所以，又，则，当单调递增，当，单调递减，所以；因为，又在上单调递增，又，，故，当时，，所以在单调递减，所以，所以，又，所以；当时，，当，所以单调递减，当，，所以单调递增，又，所以在上的最大值是中较大的，则只需且，解得：；当时，，所以在单调递增，故，所以6，又，故此时无解.综上，的取值范围是.17.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，.（1）求证：平面平面；（2）点满足，求二面角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）利用菱形性质得对角线边长,结合证，算出长度,由勾股定理推，结合线面垂直判定得底面，进而证得两平面互相垂直.（2）由（1）得三条线段两两垂直，以为原点建系，写出各点坐标,求出相关向量，分别列出两平面法向量的方程组并求解，利用向量夹角公式计算余弦值,结合图形判定二面角为锐角，得到最终结果。（1）连接交于点，连接，如图所示：因为底面是菱形，，易得AO=CO=又，所以，所以，所以，又平面，所以平面又平面，所以平面平面.（2）由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示:所以.因为PE=12所以，又.设平面的一个法向量为，则，令，则，所以；设平面的一个法向量为.则，解得，令，则.所以，可得，由图可知，二面角所对应的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.18.已知抛物线上的一点到的焦点的距离为，点是上不同的两点.（1）求的方程；（2）若直线与直线的倾斜角互补，求直线的斜率；（3）若，求点到直线的距离的最大值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由抛物线的定义列方程求参数，即可得；（2）根据已知得，设直线为，联立抛物线并应用韦达定理，结合求参数，即可得；（3）由（2），结合得，进而确定直线所过的定点，即可得点线距离的最大值.（1）由题意知，解得，所以的方程为.（2）因为是上的一点，所以，解得，故.设直线的方程为，由，得，所以Δ=m因为直线与直线的倾斜角互补，所以，即y1+y2+2=m+2=0（3）由（2），Δ=m因为，所以，即，化简得，所以，即，所以直线的方程可化为，即，故直线过定点，又AH=(1−2)2所以点到直线的距离的最大值为.19.已知一个袋子中有个红球，个黑球，这些球除颜色外完全相同.（1）若，甲､乙进行摸球比赛，按先甲后乙依次轮流摸球，某人摸球时从袋子中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，摸到红球得一分否则对方得一分（记为一次摸球），规定当一方比另外一方多2分时胜出，比赛结束.（i）求第2次摸球后比赛结束的概率；（ii）若规定甲､乙摸球次数的总和达到时也比赛结束，设随机变量为比赛结束时的摸球次数，求的分布列和数学期望；（2）将口袋中的球随机逐个取出，并放入编号为的盒子中，其中第次取出的球放入编号为的盒子中