2025-2026学年广东东莞市翰林实验学校高一下册4月月考试卷卷数学试题 含解析

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A. B.6 C.3 D.2.化简：等于（）A. B. C. D.3.下列说法错误的是（）A.一个八棱柱有10个面 B.圆柱是旋转体C.棱台侧棱的延长线必相交于一点 D.直角三角形旋转一周一定形成一个圆锥4.在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A. B.C. D.5.如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（）A.12 B.24 C. D.6.已知向量与的夹角是，且，，则向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.7.在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.8.如图，为测量河对岸、两点间的距离，沿河岸选取相距米的、两点，测得，，，，则、两点的距离是（）A.米 B.米 C.米 D.米二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（）A.若复数，则在复平面内对应的点在第四象限B.复数的模C.若，则或D.若复数是纯虚数，则10.已知的内角，，的对边分别为，，，且，，，则下列结论正确的是（）A.是锐角三角形 B.C.的面积为 D.若为中点，则11.已知在中，，，，点为所在平面内一点，则（）A.若为的垂心，则B.若为的重心，则C.若为的外心，则D.若为的内心，则.三、填空题、本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，均为单位向量，且，那么______.13.在中，三个内角，，的对边分别是，，，若，，，则______.14.如图，在梯形中，，，，，，则______四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知复数，，计算：（1）；（2）.16.已知向量，，，且，.（1）求与；（2）若，，求向量，的夹角的大小.17.如图，平面上，，三点的坐标分别为，，.（1）若P是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标.（2）若四边形是平行四边形，求点的坐标及的面积.18.的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求C；（2）若，且的面积为，求，.（3）若，求的周长的最大值.19.如图，在中，，D为边AC上一点且.（1）若，（i）求；（ii）求的面积；（2）求的取值范围.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A. B.6 C.3 D.答案：A解析：解答过程：复数的虚部为.2.化简：等于（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程.3.下列说法错误的是（）A.一个八棱柱有10个面 B.圆柱是旋转体C.棱台侧棱的延长线必相交于一点 D.直角三角形旋转一周一定形成一个圆锥答案：D解析：解答过程：对于A，八棱柱有2个底面，8个侧面，共10个面，A正确；对于B，圆柱可视为矩形绕其一边所在直线旋转一周，其它三边旋转所围成的几何体，是旋转体，B正确；对于C，棱台可视为棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分，因此棱台侧棱的延长线必相交于一点，C正确；对于D，直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周，所得几何体是共底面的两个圆锥，D错误.4.在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据平面向量的一组基底为两个不共线的非零向量，结合的坐标，逐项判断可得答案.解答过程：A.为零向量，不能作为基底，A错误.B.由得，，故，不能作为一组基底，B错误.C.由得为不共线的非零向量，可以作为基底，C正确.D.由得，，故，不能作为一组基底，D错误.故选：C.5.如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（）A.12 B.24 C. D.答案：A解析：思路：利用斜二测画法的规则，即可还原三角形为直角三角形，从而可求三角形面积.解答过程：由斜二测画法的规则，可知原图是直角三角形，且，，故原图的面积为：，故选：A.6.已知向量与的夹角是，且，，则向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据数量积的定义求出，再由投影向量的定义计算可得.解答过程：因为向量与的夹角是，且，，所以，所以向量在向量上的投影向量为.故选：B7.在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.答案：A解析：思路：分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.解答过程：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.方法提示：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.8.如图，为测量河对岸、两点间的距离，沿河岸选取相距米的、两点，测得，，，，则、两点的距离是（）A.米 B.米 C.米 D.米答案：B解析：思路：在中，利用正弦定理求出，在中求出，然后在中利用余弦定理可求得.解答过程：在中，，，故，由正弦定理，得，在中，，，故为等腰直角三角形，且，，在中，，，，由余弦定理可得（米）.故选：B.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（）A.若复数，则在复平面内对应的点在第四象限B.复数的模C.若，则或D.若复数是纯虚数，则答案：ABD解析：思路：结合共轭复数的定义和复数的几何意义可以判断A；结合复数的模可以判断B和C；结合纯虚数的定义建立关于的方程，求解可以判断D.解答过程：对于选项A，由，可得，在复平面内对应点为在第四象限，故正确；对于选项B，，故正确；对于选项C，表示所有满足（设）的复数，有无数个，例如的模也为1，并非只有，故错误；对于选项D，令实部，解得或；虚部，即，故，故正确.10.已知的内角，，的对边分别为，，，且，，，则下列结论正确的是（）A.是锐角三角形 B.C.的面积为 D.若为中点，则答案：BCD解析：思路：对于A：可得，利用余弦定理可知为钝角，即可判断；对于B：利用余弦定理运算求解即可；对于C：利用面积公式运算求解；对于D：可得，根据数量积的运算律结合余弦定理运算求解.解答过程：对于选项A：因为，则，且，可知为钝角，所以是钝角三角形，故A错误；对于选项B：因为，且，所以，故B正确；对于选项C：的面积为，故C正确；对于选项D：若为中点，则，可得，所以，故D正确；故选：BCD.11.已知在中，，，，点为所在平面内一点，则（）A.若为的垂心，则B.若为的重心，则C.若为的外心，则D.若为的内心，则.答案：ACD解析：思路：根据垂心的性质及向量的线性运算判断A，根据重心分中线长度为，结合向量的线性运算可判断B，根据外心特征计算判断C，根据内心的性质即可得解判断D.解答过程：因为为的垂心，所以，故AO⋅BC=AO所以，故A正确；延长交于中点，如图，因为点O是的重心，，所以，故B错误；如下图所示：若为的外心，取线段的中点，连接，由垂径定理知，所以AO⋅如图，若为的内心，则，过作，由余弦定理得，所以，内切圆半径为，所以，所以，而，所以AO=32所以，故D正确.三、填空题、本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，均为单位向量，且，那么______.答案：解析：解答过程：，所以.13.在中，三个内角，，的对边分别是，，，若，，，则______.答案：或解析：解答过程：在中，由正弦定理得，又，，，所以，所以，又因为，所以或.14.如图，在梯形中，，，，，，则______答案：4解析：解答过程：设，因为，，，所以，又因为，所以，因为，所以，又，，所以，所以，即所以，所以，所以，解得或（舍去）.所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知复数，，计算：（1）；（2）.答案：（1）（2）解析：思路：利用多项式乘法规则结合虚数单位性质计算复数乘积，计算复数除法时通过给分子分母同乘分母的共轭复数实现分母实数化后化简得到结果.（1）（2）z216.已知向量，，，且，.（1）求与；（2）若，，求向量，的夹角的大小.答案：（1），；（2）.解析：思路：（1）根据给定条件，利用共线向量的坐标表示、向量垂直的坐标表示列式求解.（2）由（1）的结论求出向量，再利用向量的夹角公式求解即得.（1）向量，，，由，得，则；由，得，解得，所以.（2）由（1）得，，因此，，，而，则，所以向量，的夹角的大小为.17.如图，平面上，，三点的坐标分别为，，.（1）若P是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标.（2）若四边形是平行四边形，求点的坐标及的面积.答案：（1）（2）解析：思路：小问1利用数乘向量的坐标表示求解；小问2利用向量的基本关系相等向量求解点的坐标；求的面积方法一：使用向量数量积求解夹角余弦，再求解面积；方法二：利用点到直线距离计算高，再求解面积.（1）设，则由P是线段上靠近点的三等分点，可得,即(x则x+3=53（2）设，则由于四边形是平行四边形，那么,即(m−2,n−1)=(2,1)，解得，所以,方法一：cos<即，由于∠ABC∈(0,πS▱方法二：由于，所以，设直线AB法向量为，则,即,取，则为直线AB的一个法向量，点到直线的距离就是的高，h=d=BC⋅S▱18.的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求C；（2）若，且的面积为，求，.（3）若，求的周长的最大值.答案：（1）（2）或（3）解析：思路：（1）利用诱导公式、正弦定理将边化为角以及两角和的正弦公式将题目等式进行化简得出即可求解.（2）先利用余弦定理得出a+b2−3ab=7,再根据三角形面积公式得出（3）应用余弦定理及基本不等式求得，即可得周长的最大值.（1）在中，，，，，由正弦定理可得，即2cosCsin，，则，解得.（2），，由余弦定理可得，即.的面积为，，得，则（负值舍去），或.（3），，且，由余弦定理得，即，由基本不等式有a+，当且仅当等号成立，∴的最大周长为.19.如图，在中，，D为边AC上一点且.（1）若，（i）求；（ii）求的面积；（2）求的取值范围.答案：（1）（i）；（ii）（2）解析：思路：（1）（i）已知，，可计算出，在中，利用正弦定理，结合已知的、和，建立等式求解；（ii）先由余弦定理，结合已知的、和，求解，最