2025-2026学年广东佛山市外国语学校高二下册第一次教学检测数学试题 含解析

/数学本试卷共4页，共19小题，考试时间120分钟，满分150分.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.五一假期，小明和他的同学一行四人决定去看电影，从《功夫熊猫4》、《维和防暴队》、《哥斯拉大战金刚2》这三部电影中，每人任选一部电影，则不同的选择共有（

）A.9种 B.36种 C.64种 D.81种2.已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（）A. B. C. D.3.记为等比数列的公比，若为，的等差中项，则（）A. B. C.或 D.或4.已知是函数的导函数，且，则（）A.1 B.2 C. D.5.从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为A.24 B.18 C.12 D.66.距离期中考试即将到来的20天之际，平潭某中学高二（1）班的五位同学打算利用周末时间来亲近大自然，陶冶情操，释放压力.这五位同学准备星期六在平潭龙王头风景区、壳丘头遗址考古生态公园、北部湾生态风景区三个景点中选择一个进行游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数为（

）A.46 B.56 C.36 D.667.已知函数，若存在唯一的使得，则a的值为（）A. B.1 C. D.e8.已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数a的取值范围（）A. B.C. D.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（）A.在内是增函数 B.在内是增函数C.在时取得极大值 D.在时取得极小值10.是等比数列的前项和，若存在，使得，则（）A. B.是数列的公比C. D.可能为常数列11.已知函数，则（）A.若，则直线为曲线的一条切线B.若，则C.若函数有3个零点，，，且，则D.若函数在的切线与的图像交于另一个点，则三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若甲、乙等5人站成一排，则甲、乙不相邻的排法种数为_____．13.设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为___________．14.已知，若，不等式恒成立，则的取值范围为______.四､解答题：本题共5小题，共57分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间内的最值16.已知函数．（1）求的单调区间；（2）已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围.17.已知数列的前项和为，．（1）证明：数列为等比数列，并求数列的前项和；（2）设，求数列的前项和．18.已知各项均为正数的数列的前项和为，，且.（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）若，求的取值范围.19.已知函数．（1）证明：；（2）证明：在其定义域内为减函数；（3）若在的定义域内，恒成立，求实数的取值范围．

数学本试卷共4页，共19小题，考试时间120分钟，满分150分.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.五一假期，小明和他的同学一行四人决定去看电影，从《功夫熊猫4》、《维和防暴队》、《哥斯拉大战金刚2》这三部电影中，每人任选一部电影，则不同的选择共有（

）A.9种 B.36种 C.64种 D.81种答案：D解析：思路：由分步计数原理求解.解答过程：四人依次选择电影，每人都有3种选择，则不同的选择共有种.故选：D.2.已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据等差数列的定义，写出通项公式，结合题意，可得答案.解答过程：由题意得，即，则．故选：A．3.记为等比数列的公比，若为，的等差中项，则（）A. B. C.或 D.或答案：C解析：解答过程：因为为，的等差中项，所以，即，显然，所以，解得或．4.已知是函数的导函数，且，则（）A.1 B.2 C. D.答案：A解析：思路：求导函数，令即可求解.解答过程：由，可得，故，解得.故选：A.5.从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为A.24 B.18 C.12 D.6答案：B解析：解答过程：由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况．6.距离期中考试即将到来的20天之际，平潭某中学高二（1）班的五位同学打算利用周末时间来亲近大自然，陶冶情操，释放压力.这五位同学准备星期六在平潭龙王头风景区、壳丘头遗址考古生态公园、北部湾生态风景区三个景点中选择一个进行游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数为（

）A.46 B.56 C.36 D.66答案：C解析：思路：将5人按两种方式分组，然后作全排求不同选法数.解答过程：将除甲乙外其他3人分成两组，有种，再把三组分配到三个景区有种；把其他3人中的一个分到甲乙同一组，有种，再让余下2人各自成组，把三组人分配到三个景区有种；所以共有种.故选：C7.已知函数，若存在唯一的使得，则a的值为（）A. B.1 C. D.e答案：B解析：思路：根据函数导数，判断函数单调性，根据单调性，讨论函数存在唯一零点时的情况，列出方程，求出参数的值.解答过程：由题意得，因为，令，解得，可知当时，，即函数在上单调递减，当时，，即函数在上单调递增，在处取得极小值，当时，，当时，，若存在唯一的使得，必有，所以，化简得，因为，所以，解得.故选：B.8.已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数a的取值范围（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据恒成立，得到在单调递增求解.解答过程：解：不妨令，则，即在单调递增，因为，则在上恒成立，即，在上恒成立，则，又，∴．故选：C二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（）A.在内是增函数 B.在内是增函数C.在时取得极大值 D.在时取得极小值答案：BD解析：思路：由的图象，可得函数的单调性，从而即可求解.解答过程：解：对A：由的图象，可知时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故选项A错误；对B：由的图象，可知时，，所以在上单调递增，故选项B正确；对C：由的图象，可知时，，所以在上单调递增，故选项C错误；对D：由的图象，可知时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在时取得极小值，故选项D正确.故选：BD.10.是等比数列的前项和，若存在，使得，则（）A. B.是数列的公比C. D.可能为常数列答案：ABC解析：思路：设等比数列的公比为，当时，，结合题意可判断D选项；当时，结合等比数列的前项和公式可得，结合题意可得，进而判断A、B、C选项.解答过程：设等比数列的公比为.当，显然是一次函数性质不是指数函数形式，故不满足，所以D错；当，所以，即，，所以ABC对．故选：ABC.11.已知函数，则（）A.若，则直线为曲线的一条切线B.若，则C.若函数有3个零点，，，且，则D.若函数在的切线与的图像交于另一个点，则答案：ACD解析：思路：令，求出在处的切线方程可判断A；证明的图象关于对称，再证明，由此判断B，由条件可得，比较两侧二次项系数可得，即可判断C，求切线方程，联立与切线方程化简可得，判断D.解答过程：对于选项A：当时，，，令，解得或.当时，，曲线在点处的切线方程为，即，所以直线为曲线的一条切线，故A正确.对于选项B：当时，，，所以函数的图象关于对称，又，所以，所以，故，所以，，且，所以，故B错误.对于选项C：若函数有3个零点，，，则，所以，由等式左右两侧的二次项的系数相等可得，又，所以，所以C正确.对于选项D：函数在的切线方程为，与联立可得，所以，所以或，故或，所以或，所以，故，故D正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若甲、乙等5人站成一排，则甲、乙不相邻的排法种数为_____．答案：解析：思路：根据题意，先将除甲、乙外的3人排列，再将甲、乙两人插空，即可求解.解答过程：先将除甲、乙外的3人排列，有种排法，再将甲、乙两人插空，有种排法，综上共有种不同排法．故答案为.13.设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为___________．答案：解析：解答过程：试题分析：设等比数列的公比为，由得，，解得.所以，于是当或时，取得最大值.考点：等比数列及其应用14.已知，若，不等式恒成立，则的取值范围为______.答案：解析：思路：将不等式化简恒成立，则只需令的最小值大于等于，通过求导求出函数单调性即可找到最小值.解答过程：令，则，令，，在区间上单调递增，且，在区间上单调递减，在区间上单调递增，，令，易知在区间上单调递增，又，，.故四､解答题：本题共5小题，共57分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间内的最值答案：（1）（2）最大值是2，最小值解析：思路：（1）求出函数的导数，结合切点和斜率求出切线方程；（2）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值，最值.（1）函数，则，切点是，，，故切线方程是.（2）令，解得或，当时，；当时，；当时，，在和上单调递增，在单调递减，，，，，函数在区间内的最大值是2，最小值.16.已知函数．（1）求的单调区间；（2）已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围.答案：（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）解析：思路：（1）求导后讨论的取值，从而判断导函数的正负，确定单调区间.（2）根据（1）的结论，以及零点存在定理确定不等式，进而求解的取值范围.（1）已知，其定义域为.求导​.当时，因为，所以，即.所以在上单调递增.当时，令，即，因为，所以，解得.当​时，，则，所以在上单调递增；当​时，，则，所以在上单调递减.综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意.所以，此时在上单调递增，在上单调递减.要使在上有且仅有两个零点，当趋近于时，趋近于,所以根据零点存在定理，则需满足，，解得.，化简得，解得.又因可得.综上，的取值范围是.17.已知数列的前项和为，．（1）证明：数列为等比数列，并求数列的前项和；（2）设，求数列的前项和．答案：（1）证明见解析；；（2）解析：思路：（1）根据化简结合等比数列定义证明，再结合等比数列前n项和公式分组求和计算求解；（2）先应用对数运算律化简，再应用错位相减法计算求解.（1）数列的前项和为，，，当时，，当时，，所以，所以，所以，所以，所以数列是首项为3，以3为公比的等比数列，所以，所以，，所以；（2）因为，所以，设数列的前项和为，，，，，，，所以.18.已知各项均为正数的数列的前项和为，，且.（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）若，求的取值范围.答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）由已知等式变形得出，化简得出，结合等差数列的定义可证得结论成立；（2）结合（1）中的结论可得出数列的通项公式，由此可求得数列的通项公式；（3）由参变量分离法得出，令，分析数列的单调性，即可求得实数的取值范围.（1）因为各项均为正数的数列的前项和为，则对任意的，，当时，，即，所以，，因此，数列是等差数列，且其首项为，公差为.（2）由（1）可得，则当时，，也满足，故，.（3）由可得，令，则则，即，所以，数列为单调递增数列，则，因此，的取值范围是.19.已知函数．（1）证明：；（2）证明：在其定义域内为减函数；（3）若在的定义域内，恒成立，求实数的取值范围．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：