2025-2026学年广东陆丰市高一下册期中教学质量监测数学试题 含解析

/数学考试时间为120分钟，满分150分.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.化简：（）A. B. C. D.2.已知向量，则（）A. B. C. D.3.只需要把图象上（），即可得到的图象.A.各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度B.各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度C.各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度D.各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度4.下列函数中，是奇函数的是（）A. B.C. D.5.在中，点在线段上，且，则（）A. B.C. D.6.已知是第四象限角，且，则（）A. B. C. D.77.在中，已知，则向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.8.已知函数，当时，取得最大值，则（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的或没选的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若与是两个单位向量，则B.若是非零向量，为非零实数，则与的方向相同C.若，则与可以作为基底D.若，且与同向，则10.水车在古代是灌溉引水的重要工具，是人类的一项古老的智慧发明，也是人类利用自然和改造自然的美好象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从水平面与水斗的交点处出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且10秒后水斗第一次旋转到最高点位置，设经过秒后，水斗旋转到点，设，其纵坐标近似满足关系式，则下列说法正确的有（）A.B.C.当时，D.当时，点到水面的距离的最大值为211.已知函数的其中一个单调递增区间为，则下列正确的是（）A.B.点是函数的一个对称中心C.不等式的解集为D.令，则方程在上有个解，且三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知向量，则______．13.请写出一个周期为2的函数：__________.14.如图所示，在中，为上一点，且满足，则的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知向量（1）若，求的值及的模；（2）在（1）的条件下，是否存在实数，使得与垂直.16.已知，且，（提示.）求：（1）的值；（2）的值.17.已知函数，（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递减区间和对称中心；（3）若时，函数有三个零点，求的取值范围.18.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表：时刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深10.013.09.97.010.013.010.17.010.0（1）请用一个函数近似地描述这个港口的水深y与时间t的函数关系：（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米.①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？19.已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.（1）设函数，试求的相伴特征向量；（2）记向量的相伴函数为，当时，求的值域；（3）已知为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

数学考试时间为120分钟，满分150分.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.化简：（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用向量的线性运算可得答案.解答过程.2.已知向量，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：应用向量减法运算求解.解答过程.3.只需要把图象上（），即可得到的图象.A.各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度B.各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度C.各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度D.各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度答案：D解析：思路：应用三角函数的伸缩变化结合平移规则计算求解.解答过程：正弦函数各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到，再向右平移个单位长度，得到.4.下列函数中，是奇函数的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据奇函数的定义，即对于函数，若满足，则为奇函数，对每个选项逐一进行分析判断.解答过程：选项A：设，定义域为，关于原点对称，，是偶函数，A错误.选项B：设，定义域为，关于原点对称，，且，为非奇非偶函数，B错误.选项C：设，定义域为，关于原点对称，，是偶函数，C错误.选项D：设，定义域为，关于原点对称，，是奇函数，D正确.5.在中，点在线段上，且，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：法一：根据向量的运算法则，先用、表示，再用、表示，整理化简即可；法二：取中点，根据向量的运算法则，先用、表示，再用、表示，整理化简即可.解答过程：（法一）根据题意，因为，根据平面向量的运算法则，可得.（法二）取中点，由题意可知，为中点，如图，则.6.已知是第四象限角，且，则（）A. B. C. D.7答案：A解析：思路：利用诱导公式结合同角公式求出，再利用和角的正切计算作答.解答过程：由得：，即，而是第四象限角，则有，，所以.故选：A7.在中，已知，则向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：首先根据数量积公式确定的形状，再代入投影向量的公式.解答过程：两边平方得，即，又两边平方得，即，即，如图，，向量与的夹角为，所以向量在上的投影向量为.8.已知函数，当时，取得最大值，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先用辅助角公式确定中φ的三角函数值，再由求出θ，进而得到，最后用降幂公式（或平方差公式）计算的值.解答过程：由辅助角公式：，其中，，则，，同理，，法一：.法二：，.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的或没选的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若与是两个单位向量，则B.若是非零向量，为非零实数，则与的方向相同C.若，则与可以作为基底D.若，且与同向，则答案：BC解析：思路：根据向量的实际背景及基本概念，依次判断各项正误.解答过程：对于A，方向不确定，错误；对于B，由于，故，正确；对于C，由于不存在实数满足，即与不共线，故可以作为基底，正确；对于D，向量不能比较大小，错误.10.水车在古代是灌溉引水的重要工具，是人类的一项古老的智慧发明，也是人类利用自然和改造自然的美好象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从水平面与水斗的交点处出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且10秒后水斗第一次旋转到最高点位置，设经过秒后，水斗旋转到点，设，其纵坐标近似满足关系式，则下列说法正确的有（）A.B.C.当时，D.当时，点到水面的距离的最大值为2答案：ACD解析：思路：根据题意，先求得水车的半径和周期，进而可求得，得到解析式，再根据三角函数的性质，逐项判断即可.解答过程：由题意，，且，则，由于从处出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，10秒后水斗第一次旋转到最高点位置，此时转过的角度为，因此转动一周需要30秒，所以，所以，则，将代入中，可得，故，则，故，又，所以，因此，故A正确，B错误；因为，则，则，所以，则为水车直径，所以，故C正确；当时，，，则，所以点到水面的距离的最大值为2，故D正确.11.已知函数的其中一个单调递增区间为，则下列正确的是（）A.B.点是函数的一个对称中心C.不等式的解集为D.令，则方程在上有个解，且答案：ABD解析：思路：根据单调递增区间求出最小正周期，再利用周期公式求出，判断选项A；利用正切函数对称中心的性质判断选项B；利用正切函数的单调性判断选项C；根据的性质和图像，结合已知条件，判断选项D．解答过程：选项A：函数其中一个单调递增区间为，该函数的最小正周期，依题意，，则，故A正确；选项B：因正切函数的对称中心满足，解得，当时，，即是对称中心，故B正确；选项C：，即，，解得，故C错误；选项D：因函数和的图象均关于对称，如图，两函数图象共个交点且两两关于对称，．三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知向量，则______．答案：解析：思路：利用数量积的坐标运算法则计算可得.解答过程：因为，，所以．故．13.请写出一个周期为2的函数：__________.答案：（答案不唯一）解析：思路：根据函数的周期性进行填写.解答过程：是周期为的周期函数，所以可取（答案不唯一）.14.如图所示，在中，为上一点，且满足，则的最小值为__________.答案：6解析：思路：先利用线段比例关系，将用表示，再结合在上的三点共线条件，推导出的关系，再通过均值不等式求最小值，并验证等号成立的条件，最后求出最值即可.解答过程：由可得，由得，因为三点共线，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为6.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知向量（1）若，求的值及的模；（2）在（1）的条件下，是否存在实数，使得与垂直.答案：（1），（2）不存在解析：思路：（1）利用向量共线的坐标运算求得，进而利用向量的坐标运算求得，进而求模即可；（2）结合（1）利用向量的坐标运算求得的坐标，进而利用向量数量积的坐标运算求得的值.（1）由，则，得.即，所以，所以；（2）在（1）的条件下可知：，与垂直，所以，解得，但时，为零向量，又因为零向量与任意向量均平行，所以与不垂直，所以不存在实数使得与垂直.16.已知，且，（提示.）求：（1）的值；（2）的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）将配凑为，利用两角和的正弦公式进行计算；（2）将配凑为，利用两角差的余弦公式求出，再结合的取值范围，确定的值.（1），又，.（2）由题意得，又，所以.17.已知函数，（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递减区间和对称中心；（3）若时，函数有三个零点，求的取值范围.答案：（1）（2）单调递减区间为，对称中心为（3）解析：思路：（1）利用三角恒等变换公式化简，即可得到解析式，从而利用正弦型函数最小正周期公式求解即可；（2）利用正弦函数的单调区间，结合整体法可求得到结果；（3）将函数零点转化为函数图像交点，数形结合即可求解.（1）.∴函数的最小正周期.（2）令，解得，的单调递减区间为，令，解得，∴函数的对称中心为.（3），令.∵函数有三个零点，有三个解，即的函数图象与有三个交点，与有三个交点，图象如图所示：在单调递增､在单调递减､在单调递增，当时，时，当时，时，的取值范围为18.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表：时刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深10.013.09.97.010.013.010.17.010.0（1）请用一个函数近似地描述这个港口的水深y与时间t的函数关系：（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米.①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？答案：（1）（2）①16个小时；②23时解析：思路：（1）根据给定的数表作出散点图，确定函数关系，再结合“五点法”作图求出解析式.（2）①由（1）的结论，利用正弦函数性质解不等式即可；②求出吃水深度的函数关系，借助单调性求解不等式.（