2025-2026学年江西赣州市龙南市高一下册4月期中考试数学试题 含解析

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.与角终边相同的角的集合是（）A. B.C. D.2.已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（）A. B. C. D.3.若扇形的半径为2，圆心角为，关于弧长与扇形面积正确的结果为（）.A. B. C. D.4.已知平面向量，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.5.如图，在矩形中，分别为中点，为线段上的一点，且，若，则（）A. B. C.2 D.6.记的面积为S，的外接圆半径为1，且，则（）A. B. C. D.7.若函数（）图象的两个对称中心之间距离的最小值为，则的单调递增区间为（）A.（） B.（）C.（） D.（）8.函数，若方程有四个不等的实根，，，，且，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.取值范围为二、多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若函数为偶函数，则的值可以是（）A. B. C. D.10.已知曲线，，则下面结论正确的是（）A.把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线B.把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线11.如图，中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，的夹角为，，，则__________．13.如图，在四边形中，为等边三角形，，则______．14.若函数在上有4个最值，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）已知角终边上有一点，求的值．（2）计算的值．16.已知平面向量．（1）当λ为何值时，与垂直？（2）与的夹角为锐角，求实数k的取值范围．17.已知中，角所对的边分别为，且．（1）求的值；（2）点是边上一点，且，，用表示，并求面积S的最大值．18.如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的高度为（单位：m）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为.（1）在筒车转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式；（2）5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？（3）若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值.19.若函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若当时，，求实数t的取值范围．（3）已知，若存在非零常数λ，对任意，有成立，求实数m的取值范围．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.与角终边相同的角的集合是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：先求出在中与角终边相同的角，再写成集合的形式即可判断.解答过程：因，故与角终边相同的角的集合可表示为，C项正确，而A，B，D项中的角都与终边不同.故选：C.2.已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据向量共线，可得，列方程即可求得答案.解答过程：因为向量共线，所以存在实数，使得，所以，解得，则.故选：D.3.若扇形的半径为2，圆心角为，关于弧长与扇形面积正确的结果为（）.A. B. C. D.答案：D解析：思路：由扇形的弧长公式与面积公式判断选项即可.解答过程：由题意得，解得，则.4.已知平面向量，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，则，而，，所以在上的投影向量为.5.如图，在矩形中，分别为中点，为线段上的一点，且，若，则（）A. B. C.2 D.答案：B解析：解答过程：由题意得，，又，则由平面向量基本定理可知，，得，则.6.记的面积为S，的外接圆半径为1，且，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由正弦定理（R为的外接圆半径），且的外接圆半径为1，得，代入得.由余弦定理得，又，所以，化简得，因为，所以.7.若函数（）图象的两个对称中心之间距离的最小值为，则的单调递增区间为（）A.（） B.（）C.（） D.（）答案：C解析：思路：利用正切函数的对称中心为，即每隔半个周期就有一个对称中心.解答过程：因为函数图象的两个对称中心之间距离的最小值为，设的最小正周期为T，则，得.由，，得，，所以的单调递增区间为,（）.8.函数，若方程有四个不等的实根，，，，且，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.取值范围为答案：D解析：思路：利用对数函数与正弦函数的性质作出的图象，结合图象对选项逐一分析即可得解.解答过程：A，当时，，则在上单调递减，，当时，，则在上单调递增，，即，当时，在上单调递减，在上单调递增，且，，，，，利用对数函数与正弦函数的性质，画出的图象如下，因为方程有四个不等的实根，所以与的图象有四个交点，则，错误；B，结合选项A中分析可得，所以，则，错误；C，由正弦函数的性质结合图象可知与关于对称，所以，错误；D，当时，，令，得，所以，，由图知同增同减，所以，正确.二、多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若函数为偶函数，则的值可以是（）A. B. C. D.答案：AC解析：解答过程：若为偶函数，则，解得.当时，；当时，．10.已知曲线，，则下面结论正确的是（）A.把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线B.把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线答案：AD解析：思路：利用三角函数图象的伸缩变换、相位变换进行计算求解.解答过程：对于A，曲线向左平移个单位长度，得到，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，故A正确；对于B，把曲线向左平移个单位长度，得到，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，故B错误；对于C，把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，故C错误；对于D，把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，故D正确．故选：AD.11.如图，中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：由已知可得，进而可得，判断A；设，利用，，共线可求，进而可判断B；根据，利用三角形面积比可判断D；根据向量的线性运算可判断C．解答过程：对于A：根据，故，故A正确；对于B：设，则，又，，，三点共线，，且，，故，故B错误；对于D：由于，故，，故D正确；对于C，，，，故C正确．故选：ACD．方法提示：关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握平面向量的线性运算与基底法，从而得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，的夹角为，，，则__________．答案：解析：思路：根据向量，的模和夹角即可得出的值.解答过程：由题意，向量，的夹角为，，，，故答案为.13.如图，在四边形中，为等边三角形，，则______．答案：18解析：思路：先通过勾股定理判断是直角三角形，再通过向量分解将拆分为，最后结合等边三角形的性质即可求得结果.解答过程：因为，即，所以是直角三角形，且，因为，所以，因为是等边三角形，所以，即.14.若函数在上有4个最值，则______．答案：解析：思路：求出的范围，根据条件建立不等式求解即可.解答过程：因为，则，因为在上有4个最值，所以解得.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）已知角终边上有一点，求的值．（2）计算的值．答案：（1）（2）解析：（1）因为角终边上有一点，则x=−12,y则，cosα=所以sinα（2）（2）sin900°+16.已知平面向量．（1）当λ为何值时，与垂直？（2）与的夹角为锐角，求实数k的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由与的数量积为0可得；（2）由与的数量积大于0，再去除两向量共线的情形．解答过程：（1）因为平面向量．则与，因为与垂直，所以，解得.（2）因为平面向量．则与，因为与的夹角为锐角，所以，即，解得且，即17.已知中，角所对的边分别为，且．（1）求的值；（2）点是边上一点，且，，用表示，并求面积S的最大值．答案：（1）（2）；解析：思路：（1）利用正弦定理和余弦定理求出的值，结合三角形内角范围即可求得角．（2）结合图形用表示，再利用向量数量积的运算律，结合基本不等式求出的最大值，最后代入三角形面积公式即得答案．（1）由和正弦定理，得，即，由余弦定理得，因为，所以；（2）因为，所以，即，两边同时平方得AD⃗即，所以，当且仅当，即时，等号成立．所以故S的最大值为．18.如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的高度为（单位：m）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为.（1）在筒车转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式；（2）5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？（3）若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值.答案：（1），.（2）100秒（3）20解析：思路：（1）由的最大值和最小值求出，再由周期求出，结合初始条件和相位范围确定，从而得到完整解析式。（2）先求解的区间，计算一个个周期内盛水筒在水面下的时间，再结合总时长包含的周期数求出累计时间。（3）由，化简可得或，即可求出的最小值.（1）由图可知，的最大值为，的最小值为，则，,因为筒车按逆时针每分钟转2圈，故，所以，所以，当时，，所以，则，因为，所以，所以，.（2）由（1）得，令，则，得，则，解得，5分钟秒，则令，，得，故5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为秒.（3）不妨设，由题意得，故，①，，解得，，故，当且仅当，时，等号成立，②，，解得，显然当时，取得最小值，最小值为,综上，的最小值为20.19.若函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若当时，，求实数t的取值范围．（3）已知，若存在非零常数λ，对任意，有成立，求实数m的取值范围．答案：（1）（2）（3）答案见解析解析：思路：（1）根据图象可知，，即可得，再结合最值可得，即可得函数解析式；（2）利用周期得，以为整体，