2025-2026学年江西萍乡市高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学满分150分，考试时间120分钟．第I卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设等比数列的前项和为，且公比为，若，则（）A.7 B.8 C.12 D.142.已知函数的导函数为，且，则（）A. B. C. D.13.下列求导结果正确的是（）A. B.C. D.4.在数列中，若，则的值为（）A.2 B.-2 C.1 D.-15.某医疗研究机构为检验某种新研发的药物对特定疾病治疗是否有效，随机选取了200名患者进行双盲实验．其中100人服用新药，100人服用旧药，统计结果如下表

治愈未治愈合计服用新药6733100服用旧药4852100合计11585200附：统计量临界值表0.100.050.010.0052.7063.8416.6357.879其中．则下列说法正确的是（）A.有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗有效B.有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗无效C.有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗无效D.有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗有效6.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知数列满足：，若对于，都有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的导函数为，则下列说法正确的是（）A.函数在上单调递减 B.函数在上单调递减C.函数在处取得极小值 D.函数在处取得极大值10.在一项关于学生体能测试的研究中，某研究小组随机选取了100名学生作为研究对象．他们记录了每位学生的日常锻炼时间（记为变量，单位：小时）与体能测试得分（记为变量，单位：分）的数据．通过对这100组成对数据进行统计分析，某学生计算出回归直线方程为，则下列说法正确的是（）A.体能测试得分与日常锻炼时间正相关B.该样本数据的相关系数为4.8C.该样本数据中的所有点都可以不在该回归直线方程上D.某学生的日常锻炼时间为2小时，则他的体能测试得分一定为82分11.已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则下列说法正确的是（）A. B.在处取得最小值C.时，恒成立 D.第II卷注意事项：第II卷共2页，须用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列满足，则______．13.已知函数，直线与曲线相切于点，则______．14.已知数列的前项和为，则______．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列为等差数列，前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．16.设函数．（1）当时，求的最小值；（2）求在上的极值．17.2026年国务院政府工作报告明确指出：支持有条件的地方推广中小学春秋假，落实职工带薪错峰休假制度，这一政策直接带动旅游市场热度．某景点为科学定价、吸引更多游客，根据往年数据拟定价格，有关门票价格和日游客人数的数据如下表所示：门票价格（元／人）3040506070日游客人数（千人）21201487（1）已知与具有线性相关关系，求出关于的线性回归方程；（2）为了扩大景区知名度与客流吸引力，景区将门票定价为10（元／人），并计划做广告宣传．由前期调查可知，当日均广告费为千元时的日游客人数为千人，其中是当门票为10（元／人）时，根据（1）的回归方程所预测的日游客人数．求景区的日均广告费用为多少千元时，日门票净收入最大．（日门票净收入=票价×日游客人数-广告费）参考数据：．参考公式：线性回归方程．18.设数列的前项和为，且满足．（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和；（3）对于（2）中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．19.已知函数．（1）证明：函数在上存在唯一零点；（2）设函数．（i）讨论的极值点的个数；（ii）设数列满足：，证明：．

数学满分150分，考试时间120分钟．第I卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设等比数列的前项和为，且公比为，若，则（）A.7 B.8 C.12 D.14答案：D解析：思路：根据等比数列的通项公式，分别求和，再求和.解答过程：由条件可知，等比数列的公比，，，所以.2.已知函数的导函数为，且，则（）A. B. C. D.1答案：C解析：解答过程：由条件可知，，所以，得.3.下列求导结果正确的是（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：由常数函数导数得：，故A错误；由复合函数和正弦函数的导数公式得：，故B正确；由积的导数公式得：，故C错误；由幂函数导数公式得：，故D错误.4.在数列中，若，则的值为（）A.2 B.-2 C.1 D.-1答案：A解析：思路：根据数列的周期性即可求解.解答过程：,因此是周期数列，且周期为3，故5.某医疗研究机构为检验某种新研发的药物对特定疾病治疗是否有效，随机选取了200名患者进行双盲实验．其中100人服用新药，100人服用旧药，统计结果如下表

治愈未治愈合计服用新药6733100服用旧药4852100合计11585200附：统计量临界值表0.100.050.010.0052.7063.8416.6357.879其中．则下列说法正确的是（）A.有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗有效B.有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗无效C.有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗无效D.有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗有效答案：D解析：思路：求出的值，即可得答案。解答过程：因为，又因为当时，对应的犯错的概率为，所以有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗有效.6.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意，转化为在区间上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合二次函数的性质，即可求解.解答过程：由函数，可得，因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，因为，可得，即，即设，可知在上为单调递减函数，所以，所以，所以，故实数的取值范围为.7.已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据题意，转化为与的图象有两个不同的交点，设，求得，求得函数的单调性与最大值，画出函数的图象，结合图象，即可求解.解答过程：由函数有两个不同的零点，即有两个不同的实数根，即有两个不同的实数根，即与的图象有两个不同的交点，设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，当时，取得最大值，最大值为，又因为当时，；当时，，作出函数的图象，如图所示，结合图象，可得，所以实数的取值范围为.8.已知数列满足：，若对于，都有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用递推构造累加法求通项公式，再利用不等式恒成立，分离参变量，构造对勾函数求最值即可.解答过程：由已知

两边同乘得：，令，则，且，累加得：，因为满足，所以，，因此​，将代入不等式，两边同乘得，整理得：​对任意恒成立，因此大于等于的最大值，令，，则，得，由对勾函数​的最小值点在，因为,所以计算相邻整数的函数值：当时，，当时，，因此​的最小值为，即，则.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的导函数为，则下列说法正确的是（）A.函数在上单调递减 B.函数在上单调递减C.函数在处取得极小值 D.函数在处取得极大值答案：ACD解析：解答过程：令，解得或，令，解得或，所以函数的单调性如下表：单调递增极大值单调递减极小值单调递增极大值单调递减故ACD正确，B错误.10.在一项关于学生体能测试的研究中，某研究小组随机选取了100名学生作为研究对象．他们记录了每位学生的日常锻炼时间（记为变量，单位：小时）与体能测试得分（记为变量，单位：分）的数据．通过对这100组成对数据进行统计分析，某学生计算出回归直线方程为，则下列说法正确的是（）A.体能测试得分与日常锻炼时间正相关B.该样本数据的相关系数为4.8C.该样本数据中的所有点都可以不在该回归直线方程上D.某学生的日常锻炼时间为2小时，则他的体能测试得分一定为82分答案：AC解析：解答过程：对于A，在回归直线方程中，由，得与日常锻炼时间正相关，A正确；对于B，该样本数据的相关系数在内，B错误；对于C，该样本数据中的所有点都可以不在该回归直线方程上，C正确；对于D，当时，，即时间为2小时，体能测试得分约为82分，D错误.11.已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则下列说法正确的是（）A. B.在处取得最小值C.时，恒成立 D.答案：ACD解析：思路：令，利用导数求出的单调性，即可判断A；结合A，可得，为常数，进而可得，利用导数确定其单调性及最值，即可判断B；利用对数函数的性质可判断C；根据函数的解析式，利用放缩或图象法判断D.解答过程：因为，所以，令，则，令，得，解得，所以当时，单调递增；当时，单调递减.对于A，因为，所以，即，所以，故A正确；对于B，由A可知，所以，为常数，所以，又因为，所以，所以，所以，令，得，所以当时，单调递增；当时，单调递减，所以在处取得最大值，故B错误；对于C，因为，所以当时，恒成立，故C正确；对于D，由B可知，且在处取得最大值，又因为，，所以f(第II卷注意事项：第II卷共2页，须用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列满足，则______．答案：解析：解答过程：由数列满足，可得数列构成首项为，公差为的等差数列，所以.13.已知函数，直线与曲线相切于点，则______．答案：解析：思路：根据题意，得到切线的斜率，求得，得到，求得或，再将切点代入直线方程，进行检验，即可求解.解答过程：由直线，可得直线的斜率为，又由，可得，则，即曲线在处的切线的斜率为，所以，可得，解得或，当时，可得，即切点为，将切点代入直线方程，可得成立；当时，可得，即切点为，将切点代入直线方程检验，可得，综上可得，实数的值为.14.已知数列的前项和为，则______．答案：解析：思路：根据题意，当为奇数时，得到，求得，当为偶数时，得到，求得，结合，列出方程，即可求解.解答过程：由数列的前项和为，且，当为奇数时，可得，所以，，所以，当为偶数时，可得，所以，，所以，因为，可得，解得.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列为等差数列，前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，进而求得的通项公式；（2）由（1）求得，结合裂项法求和，即可求解.（1）解：设等差数列的公差为，因为，且，可得，解得，所以，即数列的通项公式为.（2）解：由（1）知：，可得所以数列的前项和：.16.设函数．（1）当时，求的最小值；（2）求在上的极值．答案：（1）（2）答案见解析解析：思路：（1）求得，得出函数的单调性，进而求得的最小值.（2）求得，令，得到，分类讨论求得函数的单调性，结合极值的定义，即可求解.（1）当时，函数，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，当时，取得最小值，最小值为.（2）由函数，可得，令，即，解得，若，即时，，在上单调递增，无极值；若时，即时，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，当时，取得极小值，无极大值.综上可得，当时，函数无极值；当时，的极小值为，无极大值.17.2026年国务院政府工作报告明确指出：支持有条件的地方推广中小学春秋假，落实职工带薪错峰休假制度，这一政策直接带动旅游市场热度．某景点为科学定价、吸引更多游客，根据往年数据拟定价格，有关门票价格和日游客人数的数据如下表所示：门票价格（元／人）3040506070日游客人数（千人）21201487（1）已知与具有线性相关关系，求出关于的线性回归方程；（2）为了扩大景区知名度与客流吸引力，景区将门票定价为10（元／人），并计划做广告宣传．由前期调查可知，当日均广告费为千元时的日游客人数为千人，其中是当门票为10（元／人）时，根据（1）的回归方程所预测的日游客人数．求景区的日均广告费用为多少千元时，日门票净收入最大．（日门票净收入=票价×日游客人数-广告费）参考数据：．参考公式：线性回归方程．答案：（1）；（2）5千元.解析：思路：（1）根据给定条件，利用最小二乘法求出回归直线方程.（2）由（1）的结论求出日门票净收入关于的函数关系，再列出不等式组求解.（1）设关于的线性回归方程为，由数表得，而，所以关于的线性回归方程为.（2）由（1）知，当时，，则，日门票净收入，，当时，令最大，则，即，整理得，而，，函数是递增的，因此，，所以当门票定价为10元，日广告费用为5千元时门票净收入最大.18.设数列的前项和为，且满足．（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和；（3）对于（2）中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由之间的关系得数列为等比数列，由此即可得解.（2）由等比数列求和公式、错位相减法，即可得解.（3）化简得，分奇偶讨论，结合单调性求解.（1）当时，，当时，，两式相减，得，又，所以数列为等比数列，首项为3，公比为3，所以数列的通项公式是.（2）因为，，所以所以，则有，两式相减得：，于是