2025-2026学年江西省南昌市莲塘第一中学高二下册4月纸质作业数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列满足，则下列各式正确的是（）A. B. C. D.2.已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（）A. B. C.1 D.23.设等比数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.4.已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则使得为整数的正整数的值不能为（）A.2 B.3 C.4 D.145.若数列为单调递增数列，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.6.正数数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列的第五项为（）A.180 B.112 C.16 D.487.设，，…，，…满足，，若对于任意的，都有，则（）A.4030 B.4040 C.4050 D.40608.记数列的前项和为，若，则的值不可能为（）A.96 B.98 C.100 D.102二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.数列是递减数列 B.当时，最大C.使得成立的最小自然数 D.数列中的最小项为10.已知等比数列的公比为，前项和为，前项积为，且，，则（）A.数列是递增数列 B.数列是递减数列C.若数列是递增数列，则 D.若数列是递增数列，则11.已知正项数列的前项和为，则下面结论正确的是（）A.若，且，则B.若，且，则C.若，且，则D.若，且，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列的前n项和，且满足，则________．13.银行一年定期储蓄存款年息为r，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于______．14.已知数列是公差为的等差数列，是其前项和，若也是公差为的等差数列，则的通项为__________.四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列为等差数列，且，公差；数列为等比数列，且，是和的等差中项，是和的等差中项．（1）求数列，的通项公式；（2）记数列的前n项和为，且，求．16.某牧场今年年初羊的存栏数为2000，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头羊.记该牧场今年年初羊的存栏数为，第年年初羊的存栏数为.（1）求，的值；（2）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（3）问该牧场第几年年初羊的存栏数超过3000？（参考数据：，）17.设是正项数列，且其前项和为，已知．（1）求数列的通项公式；（2）令，求的前项和；（3）令，记，求．18.在数列中，且．（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式．（2）记数列的前n项和为，数列满足．（ⅰ）求的通项公式；（ⅱ）求；（ⅲ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．19.首项为正数的数列满足an+1=1（1）证明：若为奇数，则对一切，都是奇数；（2）证明：若时，，都有a1+1a（3）若对一切，都有，求的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列满足，则下列各式正确的是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用等差数列的通项公式即可求解.解答过程：设等差数列的公差为，则由等差数列的通项公式代入可得：.故选：B.2.已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（）A. B. C.1 D.2答案：B解析：思路：根据导数的定义及已知求导数值.解答过程：由题意，知.故选：B3.设等比数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用等比数列前项和的性质，，，，成等比数列求解.解答过程：解：因为数列为等比数列，则，，成等比数列，设，则，则，故，所以，得到，所以.故选：C.4.已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则使得为整数的正整数的值不能为（）A.2 B.3 C.4 D.14答案：B解析：思路：由等差中项的性质和等差数列的求和公式得出，进而可得出为15的正约数，由此可得出正整数的可能取值．解答过程：由题意可得S2则，由于为整数，则为15的正约数，则的可能取值有3、5、15，因此，正整数的可能取值有2、4、14.5.若数列为单调递增数列，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题意得恒成立，进而求出的范围，进而得的范围.解答过程：数列为单调递增数列，且，，，，即，因为是关于n的单调递增函数，当时，取得最小值．所以，所以，则．6.正数数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列的第五项为（）A.180 B.112 C.16 D.48答案：B解析：思路：利用等差等比数列通项，建立方程组可求解，即可作出判断．解答过程：设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为，80q，80，80+d，80+2于是得80q+80+d=13680所以这个正数数列是20，40，80，96，112或180，120，80，16，（舍），所以这个数列的第五项为112.7.设，，…，，…满足，，若对于任意的，都有，则（）A.4030 B.4040 C.4050 D.4060答案：C解析：思路：将递推式进行递推然后作差得到方程，证明其中一个因式不恒为0，即可得到另一个因式恒为0，得到周期，即可计算.解答过程：因为所以两式作差整理得a所以an因为，所以不恒为0所以an则，，，又，所以8.记数列的前项和为，若，则的值不可能为（）A.96 B.98 C.100 D.102答案：D解析：思路：根据和的关系分析及特例求解判断即可.解答过程：当时，，设，当时，，则，即，所以，时取等，故D错误；若，，且，，，此时；若，，且，，，此时.故A，B，C正确.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.数列是递减数列 B.当时，最大C.使得成立的最小自然数 D.数列中的最小项为答案：ABD解析：思路：由条件分析出，，，求出公差，即可判断A，B；由等差数列的前项和公式求出，即可判断C；分别判断当，，时，的正负，再结合数列的单调性确定最小项，即可判断D.解答过程：由，可得，由，可得，即，又因为，所以.因为数列是等差数列，所以，所以数列是递减数列，故A正确；由A知数列是递减数列，且，，所以当时，最大，故B正确；由等差数列的前项和公式可知，，，所以使得成立的最小自然数，故C错误；当时，；当时，；当时，，.因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以在时为增函数，所以数列中的最小项为，故D正确.故选：ABD10.已知等比数列的公比为，前项和为，前项积为，且，，则（）A.数列是递增数列 B.数列是递减数列C.若数列是递增数列，则 D.若数列是递增数列，则答案：ACD解析：思路：写出的表达式，根据，，得到或，由此即可判断AB，进一步根据递增数列的定义分别与的关系即可判断CD.解答过程：由题意可知，且，，故有且（否则若，则的符号会正负交替，这与，，矛盾），也就是有或，无论如何，数列是递增数列，故A正确，B错误；对于C，若数列是递增数列，即，由以上分析可知只能，故C正确；对于D，若数列是递增数列，显然不可能是，（否则的符号会正负交替，这与数列是递增数列，矛盾），从而只能是，且这时有，故D正确.故选：ACD.11.已知正项数列的前项和为，则下面结论正确的是（）A.若，且，则B.若，且，则C.若，且，则D.若，且，则答案：ABD解析：思路：利用等差数列的定义，并求出其通项公式，可判断ABC选项；利用等比数列的定义，并求出其通项公式，可判断D选项.解答过程：由题意，正项数列的前项和为，且．对于A,是以为首项，以为公差的等差数列，所以，可得，故，A对；对于B，，所以是以为首项，以为公差的等差数列，所以，则，故，B正确；对于C，由，⇒a所以，即，故以为首项，以为公差的等差数列，，所以an+1=n所以a10对于D，，当且仅当时，取等号，所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以，故，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列的前n项和，且满足，则________．答案：3解析：思路：根据等比数列的前n项和求解即可．解答过程：由题意，等比数列的前n项和．而，解得．13.银行一年定期储蓄存款年息为r，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于______．答案：解析：思路：设本金为1，则由题意可得，从而可求出的范围解答过程：设本金为1，按一年定期存款，到期自动转存收益，三年总收益为；若按三年定期存款，三年的总收益为3q．为鼓励储户三年定期存款，应使，即．故14.已知数列是公差为的等差数列，是其前项和，若也是公差为的等差数列，则的通项为__________.答案：an＝2或an解析：思路：等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，若数列也是公差为d的等差数列，可得，当n≠1时可化为d2n2+（2d）n+（），再根据对应系数相等解方程组即可．解答过程：依题意，等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，若数列也是公差为d的等差数列，可得，当n≠1时，可化为d2n2+（）n+（），即，解得或者，所以an＝2，或者an．故an＝2或an．方法提示：本题考查了等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，属于难题．解题时要注意前n项和公式的灵活选取与应用．四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列为等差数列，且，公差；数列为等比数列，且，是和的等差中项，是和的等差中项．（1）求数列，的通项公式；（2）记数列的前n项和为，且，求．答案：（1），bn=（2）Tn思路：（1）根据已知条件将分别用含的式子表示出来，由列方程可解得，进而求解；（2）首先求出的通项公式，分组求和，注意掌握公式i=1n（1）因为，，是和的等差中项，是和的等差中项，所以b3故，，因为数列为等比数列，所以，即6−d22=6+d2因为，所以，所以，，，故，等比数列的公比.所以bn（2）由（1）可知，.则cn所以T=4=4×=416.某牧场今年年初羊的存栏数为2000，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头羊.记该牧场今年年初羊的存栏数为，第年年初羊的存栏数为.（1）求，的值；（2）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（3）问该牧场第几年年初羊的存栏数超过3000？（参考数据：，）答案：（1）2210，2331（2）证明见解析，（3）第9年解析：思路：（1）根据题意先求出，进而求得.（2）根据题意列出的递推关系式，然后变形化简得到是以1000为首项，为公比的等比数列，最后根据等比数列的通项公式计算即可.（3）根据（2）的结论列出不等式，然后求解不等式即可.（1）由题意得，则，，．（2）由题意可得，所以．因为，所以，所以是以1000为首项，为公比的等比数列，则，即．（3）由（2）得，则，即2，两边取常用对数得，所以，则该牧场第9年年初羊的存栏数超过3000．17.设是正项数列，且其前项和为，已知．（1）求数列的通项公式；（2）令，求的前项和；（3）令，记，求．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）首先求得的值，然后结合递推关系式整理可得数列为等差数列，结合等差数列通项公式可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，利用分组法与裂项相消法求和即可；（3）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可；（1）当时，，解得，当且时，，∴，整理可得：，∵，∴，∴，∴数列以为首项，为公差的等差数列，∴．（2）∵，∴．（3）由（1）可得：，所以．18.在数列中，且．（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式．（2）记数列的前n项和为，数列满足．（ⅰ）求的通项公式；（ⅱ）求；（ⅲ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．答案：（1）证明见解析，；（2）（ⅰ）；（ⅱ）；（ⅲ）.解析：思路：（1）利用给定的递推公式，结合等差数列定义推理得证并求出通项公式.（2）（ⅰ）由（1）的结论，利用前n项和与第n项的关系求出通项公式；（ⅱ）利用错位相减法求和即得；（ⅲ）由（ⅱ）求出，再分奇偶，结合恒成立问题求出范围.（1）在数