2025-2026学年江西南昌大学附属学校高二下册5月考试数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则（）A. B. C. D.2.小明假期在一家文具店兼职打工，文具店第1天支付给他30元，由于小明工作认真努力，从第2天起，文具店老板决定每天支付给小明的金额都是前一天的1.2倍．小明一共工作了10天，则他领到的总报酬为（）元．（参考数据：）A.778.5 B.624 C.185.7 D.154.83.设等差数列的前项和为，且公差不为0，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.对于给定数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是“类数列”.已知“类数列”中，，且，则（）A.7 B.15C.31 D.635.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6.函数的大致图象是（）A. B.C. D.7.已知是定义域为R的函数，，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.8.如图，这是一张圆形纸片，其半径，剪掉周围的白色部分，将阴影部分折起，使得点（1，2，…，6）重合于点P，得到正六棱锥，则该六棱锥体积的最大值是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列叙述不正确的有（

）A.数列与是同一数列B.数列的通项公式是-1C.是常数列D.一个等比数列的首项是2，第2项与第3项的和是12．该数列的第8项的值为-4374或256．10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.当时，函数不存在极值点B.当时，函数有三个零点C.点是曲线的对称中心D.若是函数的一条切线，则11.已知等比数列的各项均为正数，公比为，记数列的前项积为，且，，则下列正确的是（）A.B.C.当时，取最大值D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设等差数列的前项和分别是，若，则___________．13.若曲线在处的切线与直线垂直，则实数_____.14.若存在使得成立，则的最大值为__________.四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设数列满足，，且.（1）求证：数列为等差数列；（2）求数列的通项公式.16.已知函数．（1）求函数在处的切线方程；（2）求的极值；（3）设a，b为两个不相等的正数，且，证明：．17.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若存在最小值，且最小值小于2，求的取值范围.18.已知数列中，，，．（1）证明：数列为等比数列；（2）记，数列的前项和为．（i）求的取值范围；（ii）求证：．19.已知函数，（），设.（1）求的单调区间；（2）若以（）图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求正实数的最小值；（3）是否存在实数，使得函数的图像与的图像恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：求，代入求值.解答过程：因为，所以.2.小明假期在一家文具店兼职打工，文具店第1天支付给他30元，由于小明工作认真努力，从第2天起，文具店老板决定每天支付给小明的金额都是前一天的1.2倍．小明一共工作了10天，则他领到的总报酬为（）元．（参考数据：）A.778.5 B.624 C.185.7 D.154.8答案：A解析：思路：根据等比数列的求和公式，代入数据，即可得答案.解答过程：设第n天的报酬为，，由题意，是以首项，公比的等比数列，则工作了10天，他领到的总报酬.3.设等差数列的前项和为，且公差不为0，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：解答过程：设等差数列的首项为，公差为（），根据等差数列基本公式：前3项和，.将上述结果代入等式，整理得，即.因为，所以，即，因此“”是“”的充要条件.4.对于给定数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是“类数列”.已知“类数列”中，，且，则（）A.7 B.15C.31 D.63答案：C解析：思路：先利用已知的首项、第二项，代入递推公式求出未知参数，对递推公式进行构造，转化为熟悉的等比数列，利用等比数列通项公式求解.解答过程：由题意知，令，则，即，所以,所以，故.又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以.5.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由，得，因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，即对恒成立，而在上递增，所以，所以实数的取值范围是.6.函数的大致图象是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据题意，求得函数为奇函数，排除C项，再由，结合选项，即可求解.解答过程：由函数，可得其定义域为，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除C选项；又由，可得排除A、D项，所以选项B符合题意.7.已知是定义域为R的函数，，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：构造，根据其在单调递增，分类讨论即可求解.解答过程：因为对任意的，都有成立，所以，所以成立，构造，所以由上述过程可得在单调递增，（1）若，则对称轴，解得；（2）若，在单调递增，满足题意；（3）若，则对称轴恒成立；综上.故选：D.8.如图，这是一张圆形纸片，其半径，剪掉周围的白色部分，将阴影部分折起，使得点（1，2，…，6）重合于点P，得到正六棱锥，则该六棱锥体积的最大值是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：连接，，由题意得，设，则，，由已知求出，利用条件得六棱锥的体积，构造函数，利用导数法求解最值即可.解答过程：连接，，与交于点M.设，则，，.设正六棱锥的高为h，则h===()，所以正六棱锥的体积==.令，求导得，由，得，当时，，当时，，则当时，取得极大值，也是最大值，此时V的最大值为==.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列叙述不正确的有（

）A.数列与是同一数列B.数列的通项公式是-1C.是常数列D.一个等比数列的首项是2，第2项与第3项的和是12．该数列的第8项的值为-4374或256．答案：AC解析：思路：根据数列具有顺序性判断A；利用等差数列的通项公式判断B；根据常数列的概念判断C；根据已知条件列方程求出等比数列的公比，即可求出该数列的第8项判断D.解答过程：因为数列具有顺序性，所以数列与不是同一数列，A错误；数列的通项公式是，B正确；因为常数列是各项都相等的数列，所以不是常数列，C错误；设等比数列的首项为，公比为，则，，由题意可得，解得或，当时，，当时，，D正确.故选：AC10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.当时，函数不存在极值点B.当时，函数有三个零点C.点是曲线的对称中心D.若是函数的一条切线，则答案：ACD解析：解答过程：对于A，当时，可知均在上单调递增，则在上单调递增，所以不存在极值点，A正确；对于B，当时，，求导得，令得或，又当时，当时，所以分别为极大和极小值点，且，，，所以只有两个零点，B错误；对于C，因为，所以点是曲线的对称中心，C正确；对于D，设与的切点坐标为，因为，所以在处的切线方程为，即，依题意有，得，D正确.11.已知等比数列的各项均为正数，公比为，记数列的前项积为，且，，则下列正确的是（）A.B.C.当时，取最大值D.答案：BCD解析：解答过程：因为等比数列的各项均为正数，所以，因为，所以,，所以；，所以，因为，所以，则且，所以单调递减，又因为，故，所以选项A错误，选项B正确；对于C，因为且，所以单调递减，又因为且，所以当时，取最大值，C正确；对于D，因为，因为，所以，即，所以选项D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设等差数列的前项和分别是，若，则___________．答案：##解析：思路：利用等差数列前项和公式、等差数列下标性质进行求解即可.解答过程：因为，所以.13.若曲线在处的切线与直线垂直，则实数_____.答案：解析：思路：本题利用导数的几何意义表示出切线的斜率，由斜率存在的两直线垂直时，斜率乘积为，建立等量关系，从而求出实数.解答过程：解：由题可得，所以函数在处的切线斜率为.已知直线的斜率为，切线与该直线垂直，所以，解得.14.若存在使得成立，则的最大值为__________.答案：解析：思路：同构变形，构造函数，得到，代入变形，构造函数，求出最值，得到答案.解答过程：，设，则，因为，所以，在上恒成立，故在上单调递增，故，，所以，令，，故，令得，令得，故在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，最大值为，所以的最大值为四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设数列满足，，且.（1）求证：数列为等差数列；（2）求数列的通项公式.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）借助等差数列定义即可得证；（2）借助累加法计算即可得.（1）已知，移项可得，设，则，那么，又，所以数列是以5为首项，5为公差的等差数列；（2）由（1）得，当时，，当时，也满足上式，所以.16.已知函数．（1）求函数在处的切线方程；（2）求的极值；（3）设a，b为两个不相等的正数，且，证明：．答案：（1）（2）极大值为1，无极小值（3）证明见解析解析：思路：（1）求得，得到切线的斜率和切点的坐标，结合导数的几何意义，即可求解；（2）求得，根据导数的正负，进而求得原函数的单调区间，得到函数的极值；（3）根据题意，化简得到，令，得到，转化为证明，分别证明不等式的两个方向，先将函数变形成的极值点偏移问题，构造对称函数及新函数，结合导数求得函数的最值，即可得证．（1）由函数，可得，则且所以切线的斜率为，切点坐标为，所以函数在处的切线方程，即.（2）解：由函数，可得其定义域为，且当时；当时，，故在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以的极大值为，无极小值．（3）证明：由，变形为，所以，令，则上式可变为，所以命题转换为证明：，因为，则有，不妨设，由（2）知：，，先证．要证，即，即证，即证，即，令，可得，因为，所以所以在区间内单调递增，所以，即．再证，因为，所以，所以，只需证，令，所以，所以在区间内单调递增，所以,可得，即．综合可得，．17.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若存在最小值，且最小值小于2，求的取值范围.答案：（1）答案见解析（2）解析：思路：（1）先求出导数，再对参数范围分类讨论，最后得到单调区间即可.（2）结合题意确定，再得到，构造函数并求导得到单调性，结合求解参数范围即可.（1）由题意得的定义域为，由，可得，若，则在上恒成立，则的单调递增区间为，无单调递减区间.若，则当时，，当时，，则的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）可知，若存在最小值，则，且的最小值为，则，可得，即.令，则.因为恒成立，所以恒成立，则在上单调递增.又，令，解得，即，故的取值范围为.18.已知数列中，，，．（1）证明：数列为等比数列；（2）记，数列的前项和为．（i）求的取值范围；（ii）求证：．答案：（1）证明见解析（2）（i）；（ii）证明见解析解析：思路：（1）将左右两边取倒数，得到，将其变形为，即可根据等差数列的定义，证明数列为等比数列；（2）（i）由（1）得到及的解析式，进而得到的解析式，通过讨论的取值范围，即可得到的取值范围；（ii）先得到的解析式，进而得到其前项和的解析式，通过放缩，将其转化成求一个等比数列的前项和，通过讨论的范围，即可证明.（1）因为，所以，所以，又，所以，所以数列是以2为首项，以为公比的等比数列；（2）（i）由（1）可知，所以，，因为，因为，，所以，所以，所以，的取值范围；（ii）因为，又因为，所以设.当时，成立；当时，成立；当时，成立；且随着值增大，逐渐减小，逐渐增大，因为，所以，所以，即.19.已知函数，（），设.（1）求的单调区间；（2）若以（）图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求正实数的最小值；（3）是否存在实数，使得函数的图像与的图像恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由.答案：（1）的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）（3）存在实数，的取值范围是.解析：思路：（1）先求出其导函数，根据导函