2025-2026学年江西省金溪县第二中学等高中高一下册期中学习质量监测数学试题 含解析

/数学第一部分（选择题共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的图象关于点中心对称，则的最小值是（）A. B. C. D.2.若是不共线的向量，且，，，则（）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线3.十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石.”黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比.黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.由此我们可得（）A. B. C. D.4.已知向量，则下列结论不正确的是（）A. B.C. D.在方向上的投影向量为5.已知函数的部分图象如图所示，其中，，若将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则（）A. B.3 C.4 D.26.若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（）A.第一象限角或第二象限角 B.第二象限角或第三象限角C.第三象限角或第四象限角 D.第二象限角或第四象限角7.如图，在中，，是与的交点，且，则在上的投影数量的最小值为（）A. B. C. D.8.已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.的图象关于点对称C.的图象关于直线对称D.当时，的值域为10.美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的可能取值有（

）A.-10 B.-8C.10 D.2411.已知函数，若有个零点，记为，且，则下列结论正确的是（）A. B.的取值范围C.的取值范围是 D.第二部分（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则__________.13.如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，，则的最小值为______．14.在中，已知，，O是的外心，若，则__.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知向量，（1）若，求的值；（2）当时，求；（3）若向量，夹角为锐角，求的取值范围16.在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中.（1）求实数的值（2）求的值.（3）记点的横坐标为，若fθ+π6=−17.某游乐园计划推出“畅游欢乐季”活动，需要为每位游客准备一份物资.为避免物资浪费或不足，运营团队需要提前规划每月物资储备.经统计，游乐园的游客人数每月呈周期性变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，游客人数基本相同；②2月份游客人数最少，8月份游客人数最多，相差约400人；③2月份游客约为100人，随后逐月增加直到8月份达到最多.（1）若一年中游客人数与月份之间的关系为，且.试求出函数的解析式；（2）请问哪几个月份要准备不少于份的物资？18.已知函数，（1）若对于任意都有，且，求的对称中心；（2）已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（）上恰好有6个零点，求的取值范围；（3）已知两函数（），在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.19.记的内角、、所对的边分别是、、，直线与的边、交于、两点．（1）已知，，记，，①用、表示、；②若，，则、有什么关系？用向量方法证明你的结论；（2）记，用向量方法证明：．

数学第一部分（选择题共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的图象关于点中心对称，则的最小值是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为是的一个对称中心，所以，，即，又，故的最小值为.2.若是不共线的向量，且，，，则（）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线答案：B解析：解答过程：因为，，由，所以与不共线，所以三点不共线，故A错误；因为，，由，所以，所以三点共线，故B正确；因为，，由，所以与不共线，所以三点不共线，故C错误；因为，，由，所以与不共线，所以三点不共线，故D错误.3.十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石.”黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比.黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.由此我们可得（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题意画出三角形及列出等式，由此可算，再由诱导公式可求.解答过程：如图，在中，，，点为中点，底与腰之比为黄金分割比，所以，，所以，所以.故选：A.4.已知向量，则下列结论不正确的是（）A. B.C. D.在方向上的投影向量为答案：C解析：思路：根据向量减法的坐标运算求出，再根据向量的数量积运算判断A；根据向量加减的坐标运算求出，再根据数量积是否为0判断B；根据向量模长的计算公式判断C；根据投影向量的计算公式判断D.解答过程：对于A，因为，所以，所以，故A正确；对于B，因为，所以，，所以，故B正确；对于C，因为，所以，所以，故C错误；对于D，因为，所以，，在方向上的投影向量为，故D正确.故选：C.5.已知函数的部分图象如图所示，其中，，若将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则（）A. B.3 C.4 D.2答案：D解析：思路：根据题设得到，，再将代入，即可求解.解答过程：由图知，点在的增区间内，点在的减区间内，又，，设的最小正周期为，则，解得，所以，因为将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，又，所以，则，又，所以，故，将代入可得，所以．故选：D.方法提示：方法点睛：有关三角函数奇偶性问题的解题思路：1.要使为奇函数，则．2.要使为偶函数，则．3.要使为奇函数，则．4.要使为偶函数，则．6.若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（）A.第一象限角或第二象限角 B.第二象限角或第三象限角C.第三象限角或第四象限角 D.第二象限角或第四象限角答案：B解析：思路：由三角函数式的符号确定角的范围或象限.解答过程：当角的终边不在坐标轴上时，−1<sinα所以，所以只需sincosα又因为，要使sincosα所以只需，所以角的终边在第二象限或第三象限.7.如图，在中，，是与的交点，且，则在上的投影数量的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：以为基底，用不同方式表示出向量，结合平面向量基本定理和投影定义求解可得.解答过程：设，则CF=同理设，则.由平面向量基本定理得1−m=231−向量在上的投影为CF⃗⋅CB因为，当且仅当时取等号，所以在上的投影的最小值为.8.已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用正弦函数的对称性及给定等式列式求出的表达式，进而求出最小值.解答过程：由函数图象关于点对称，得，即，由，得，于是，而，因此或，或，所以当时，.故选：D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.的图象关于点对称C.的图象关于直线对称D.当时，的值域为答案：AB解析：思路：利用三角函数的性质逐项验证即可求解.解答过程：A：因为函数的最小正周期为，故A正确；B：因为f−π2=sin故B正确，C错误；D：当时，32x−π4∈10.美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的可能取值有（

）A.-10 B.-8C.10 D.24答案：BCD解析：思路：根据数量积的几何意义，为在上的投影，数形结合，确定的最大值和最小值，即可求得答案.解答过程：如图，作，垂足分别为，且与左半圆相切，切点为与右半圆相切，切点为.，其中为在上的投影，因为，所以.当与重合时，最大，最大值为，此时取得最大值，最大值为；当与重合时，最小，最小值为，此时取得最小值，最小值为；故的取值范围是.11.已知函数，若有个零点，记为，且，则下列结论正确的是（）A. B.的取值范围C.的取值范围是 D.答案：AD解析：思路：作出函数的图象，的零点个数问题，转化为的图象与直线的交点个数问题，由有个零点，可知函数的图象与直线有个交点，即偶数个交点，分别讨论，，，，这几种情况求解；由题意得到，再由函数性质可求解；由得到，结合图象可知，同理，，，，，，的值，代入所求即可得解.解答过程：将函数的图形关于轴对称过去，并将轴下方部分的图象翻折到轴上方，即可得到的图象，的最小正周期，故在上有个周期，设，解得，故的图象的对称轴方程为，由此作出函数的图象，如图：的零点个数问题，转化为的图象与直线的交点个数问题，由有个零点，可知函数的图象与直线有个交点，即偶数个交点，由图象可知，当时，的图象与直线有个交点，不合题意；当时，的图象与直线有个交点，不合题意；当时，的图象与直线有个交点，不合题意；当时，的图象与直线有个交点，不合题意；当时，的图象与直线有个交点，符合题意；故选项A正确；由题意可知，，则，即，，，由对勾函数的性质可得函数在上单调递减，所以的取值范围为，故选项B错误；当时，或，解得或，从图中可知，由选项A中的分析可知，故，从图象可知关于直线对称，故，所以,所以，故选项C错误；同理，，，，，，，故，故选项D正确；故选：AD第二部分（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则__________.答案：解析：思路：由已知函数值，根据诱导公式即可求的值.解答过程：，又，.13.如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，，则的最小值为______．答案：解析：思路：根据题意结合三点共线可得，再结合平面向量基本定理可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.解答过程：因为三点共线，则，且，且，，即，，可得，又因为，则，可得，则，可得，显然，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为.14.在中，已知，，O是的外心，若，则__.答案：解析：思路：通过正弦定理，求出外接圆的半径，求出与的数量积，列方程求得结果.解答过程：图（1）由余弦定理可得：，，由正弦定理可得：，可得，如图（1），为中点，，，，又，，，.故答案为.方法提示：本题考查正弦定理、余弦定理、向量的数量积、向量基本定理，考查了数学运算能力和转化的数学思想，属于难题.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知向量，（1）若，求的值；（2）当时，求；（3）若向量，夹角为锐角，求的取值范围答案：（1）；（2）；（3）.解析：思路：（1）条件可转化为，解方程即可；（2）根据向量加法坐标运算公式求，再由向量的模的坐标公式求解；（3）条件可转化为，且需排除同向共线情况，解不等式可得结论.（1）由题设，得，即，所以.（2）当时，，所以故.（3）由题设，，故，当，同向共线时，有且，此时，可得，不满足，夹角为锐角，综上，或.所以的取值范围为.16.在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中.（1）求实数的值（2）求的值.（3）记点的横坐标为，若，求的值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用单位圆即可求解；（2）利用诱导公式先化简，再利用三角函数的定义即可求解；（3）由已知得，又，进而得，利用同角三角函数得，进而求解.（1）由于点在单位圆上，则，又是锐角，可得；（2）由（1）得，，所以sin；（3）由（1）可知，且为锐角，可得，根据三角函数定义可得：，因为fθ由θ∈所以sinθ17.某游乐园计划推出“畅游欢乐季”活动，需要为每位游客准备一份物资.为避免物资浪费或不足，运营团队需要提前规划每月物资储备.经统计，游乐园的游客人数每月呈周期性变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，游客人数基本相同；②2月份游客人数最少，8月份游客人数最多，相差约400人；③2月份游客约为100人，随后逐月增加直到8月份达到最多.（1）若一年中游客人数与月份之间的关系为，且.试求出函数的解析式；（2）请问哪几个月份要准备不少于份的物资？答案：（1）且.（2）6月、7月、8月、9月、10月解析：思路：（1）根据条件①求出，由条件②③求出，进而得到的解析式.（2）根据已知条件列出不等式并化简，，进而求出结果.（1）因为且由条件①，可知这个函数的周期是12，即，故；由②③可知，最小，最大，且，.则有，解得；根据分析可知，当时，取最小值，当时，取最大值.故，且，，又因为，故，所以函数解析式为：且.（2）令，化简得，即，解得.因为，且，所以6、7、8、9、10，即在6月、7月、8月、9月、10月5个月份要准备不少于400份的物资.18.已知函数，（1）若对于任意都有，且，求的对称中心；（2）已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（）上恰好有6个零点，求的取值范围；（