2025-2026学年广东河源中学高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学总分150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.设复数,则的虚部是（）A. B. C. D.3.已知向量，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知，则（）A. B. C. D.5.若函数（）向左正移个单位后在区间上单调递增，则（）A. B. C. D.6.若，，，则正数大小关系是（

）A. B.C. D.7.已知椭圆：与双曲线：的焦点重合，，分别为，的离心率，则（）A. B.C. D.8.已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为，且.若球和圆台的体积分别为和，则的最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（）A.样本乙的极差一定大于样本甲的极差B.样本乙的众数一定大于样本甲的众数C.样本乙的方差一定小于样本甲的方差D.样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数10.已知，则（）A. B.在上单调递增C.，使 D.，使11.如图，平面直角坐标系上的一条动直线l和x，y轴的非负半轴交于A，B两点，若恒成立，则l始终和曲线C：相切，关于曲线C的说法正确的有（）A.曲线C关于直线和都对称B.曲线C上的点到和到直线的距离相等C.曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是D.曲线C和坐标轴围成的曲边三角形面积小于第II卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列的前项和为，且，则数列的前100项和______．13.已知直线是曲线和的公切线，则实数____________.14.甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是.若甲单独答题三轮，则甲恰有两轮通过测试的概率为______；若在甲，乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率为______.（结果均以既约分数表示）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求角A的大小；（2）若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值．16.已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）若函数有且只有两个零点，求实数a的取值范围.17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，是中点，是中点.（1）证明：直线平面；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.18.已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，，A，B，C为上不同的三点.（1）求的标准方程；（2）若直线过点，且斜率，求面积的最小值；（3）若直线，与相切，求证：直线也与相切.19.如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”.（1）设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项；（2）设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和.①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值?②若，且，求的最小值.

数学总分150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：解出一元二次不等式和绝对值不等式，再利用交集含义即可.解答过程：，，.故选：C.2.设复数,则的虚部是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由对式子进行化简,再根据除法规则,分母实数化即可.解答过程：,则,虚部是.故选:A.3.已知向量，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：根据得出，结合平面向量数量积的运算性质可求得的值，再利用集合的包含关系判断即可.解答过程：因为，，则，b2=32若时，a+k解得，即“”“”，因为是的真子集，故“”是“”的充分不必要条件.4.已知，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据诱导公式及二倍角的余弦公式求解即可.解答过程：因为，所以.故选：D.5.若函数（）向左正移个单位后在区间上单调递增，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据图象平移规律、函数的单调性可得答案.解答过程：函数向左平移个单位后为，当时，，∵单调递增，所以，即，可得，又，∴.故选：B.6.若，，，则正数大小关系是（

）A. B.C. D.答案：B解析：思路：将问题转化为函数与函数的交点的横坐标，再数形结合即可判断.解答过程：由，则为与交点的横坐标，由，则为与交点的横坐标，由，即，则为与交点的横坐标，作出，，，的图象如下所示，由图可知，.故选：B7.已知椭圆：与双曲线：的焦点重合，，分别为，的离心率，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：由题意可得，由离心率的定义结合上式化简可得，再由基本不等式可得B正确；D错误；再举反例可得AC错误.解答过程：由已知得，．由，得，又，当，时，，当，时，．故选：B.8.已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为，且.若球和圆台的体积分别为和，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设球O的半径为R，利用球与圆台相切得和圆台的高为，再利用圆台和球的体积得，再利用对勾函数的图象与性质，计算得结论.解答过程：因为球O与圆台的上下底面和侧面都相切，圆台上下底面半径分别为、，且，由切线长定理有圆台的母线长为，设球O的半径为R，几何体轴截面上右端点为，下右端点为，过点作于，则圆台的高，，则由勾股定理有，化简得，因为球O与圆台的体积分别为和，所以，因为，所以，令，，由对勾函数可知，时，随的增大而减小，当时，取得最小值，最小值为，所以的最大值为.故选：D.二、选择题：本题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（）A.样本乙的极差一定大于样本甲的极差B.样本乙的众数一定大于样本甲的众数C.样本乙的方差一定小于样本甲的方差D.样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数答案：BCD解析：思路：根据数据分布的最小值和最大值判断A；根据众数、方差、中位数的概念，并结合图象判断BCD.解答过程：对于A，甲的数据介于[1.5,7.5]之间，极差小于或等于6；乙的数据分布于[2.5,8.5]，极差小于或等于6；从而甲和乙的极差可能相等，A错误；对于B，根据频率分布直方图可知，甲的众数介于[2.5,5.5)之间，乙的众数介于(5.5,6.5]，乙的众数大于甲的众数，B正确；对于C，甲的数据比较分散，乙的数据比较集中，因此乙的方差小于甲的方差，C正确；对于D，甲的各组频率依次为：，其中位数位于[3.5,4.5)之间，乙的各组频率依次为：，其中位数位于[5.5,6.5)之间，所以甲的中位数小于乙的中位数，D正确.故选：BCD10.已知，则（）A. B.在上单调递增C.，使 D.，使答案：AC解析：思路：求解函数的定义域判断B，代入求值判断A，求导研究函数的单调性，求出函数的极值并画出图象即可判断CD.解答过程：要使函数有意义，则有，且，即定义域，B错误；，，，A正确；，记，，则，时，，时，，在上单调递减，在上单调递增，，即，又时，，令，则单调递增，又，存在唯一，使得，此时，时，，时，，时，，时，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，，.作出函数的图象，如图：所以C正确，D错误.故选：AC11.如图，平面直角坐标系上的一条动直线l和x，y轴的非负半轴交于A，B两点，若恒成立，则l始终和曲线C：相切，关于曲线C的说法正确的有（）A.曲线C关于直线和都对称B.曲线C上的点到和到直线的距离相等C.曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是D.曲线C和坐标轴围成的曲边三角形面积小于答案：BCD解析：思路：根据方程与图形，进行距离和面积的相关计算，逐项判断即可.解答过程：对于A，曲线C：中，，所以不关于直线对称，故错误；对于B，设C上一点，则，而，故正确；对于C，，，所以，所以曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是，故正确；对于D，到点的距离，故曲线C位于圆的左下部分四分之一圆弧的下方，故围成面积小于．故选：BCD.第II卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列的前项和为，且，则数列的前100项和______．答案：解析：思路：由与的关系求得，用裂项求和法求得.解答过程：因为，所以，故时，两式相减得，即，因为，即，所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以，故答案为:.13.已知直线是曲线和的公切线，则实数____________.答案：3解析：思路：因为中不含有参数，所以根据可求得的值，再根据的切线为求得参数，要注意切点既在曲线上也在切线上的隐含条件.解答过程：设直线与曲线相切于点，因为切点既在曲线上也在切线上，所以.又，所以，且，即切线的斜率且.由解得，所以切线为.设直线与曲线相切于点，因为，所以，即，又切点既在曲线上也在切线上，所以.由解得.故314.甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是.若甲单独答题三轮，则甲恰有两轮通过测试的概率为______；若在甲，乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率为______.（结果均以既约分数表示）答案：①.②.解析：思路：借助概率乘法公式与全概率公式计算即可得.解答过程：设“甲恰有两轮通过测试”为事件A，则；设“选中甲”为事件B，“选中乙”为事件C，“通过测试”为事件D，根据题意得，，，，则，所以在甲，乙两人中任选一人进行测试，通过测试的概率为.故；.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求角A的大小；（2）若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出；（2）利用余弦定理得到，由三角形面积公式和求出，表达出，利用两次基本不等式求出最值.（1）由题意知中，，故即，即，所以，而，故，故，即，又，故；（2）由余弦定理：，又，所以，所以，所以，当且仅当时，取等号，则的最小值为.16.已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）若函数有且只有两个零点，求实数a的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用导数，结合切点和斜率求得切线方程.（2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围.（1）因为所以曲线在处的切线斜率为又f(−1)=ln（2）由题知ln(即关于x的方程ln(令m(x则m'当时，，在区间上单调递增；当时，，在区间上单调递减.当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于0，又，所以可得的图象如图：由图可知，当时，函数的图象与直线y=a有两个交点，所以实数a的取值范围为.17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，是中点，是中点.（1）证明：直线平面；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.答案：（1）证明见解析；（2）.解析：思路：（1）取的中点，借助三角形中位线及平行四边形性质，利用线面平行的判断推理即得.（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.（1）在四棱锥中，取的中点，连接，，由为的中点，得，，在正方形中，是中点，得，，则且，即四边形为平行四边形，因此，又平面平面，所以直线平面.（2）由底面，且四边形为正方形，得直线两两垂直，以A为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，设平面的法向量为，则，令，得，设，则，，由，得，，而，设平面的法向量为，则，取，得，设平面与平面的夹角的为，，所以平面与平面的夹角的余弦值为.18.已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，，A，B，C为上不同的三点.（1）求的标准方程；（2）若直线过点，且斜率，求面积的最小值；（3）若直线，与相切，求证：直线也与相切.答案：（1）（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）根据列式运算求得，得解；（2）设直线为与抛物线联立，利用弦长公式求得，再利用点到直线距离公式求得边上高，表示出，设，利用导数判断单调性求得的最小值；（3）设直线的方程为，与抛物线联立，由得，同理可得，可得，满足方程与联立验证即可.（1）根据题意得，，，，解得，所以，抛物线的标准方程为.（2）设直线为代入得，，设，，，则有，.点到直线的距离为，，，设，则，所以函数在上单调递增，所以，所以的最小值为.（3）直线的方程为，，，，即，代入到得：，，即，①同理直线的方程为即，代入到得：，，即，②由①②，显然，满足方程，再将