2025-2026学年广东梅州市兴宁市兴民中学高一下册第一次月考数学试题 含解析

/数学（满分150分，120分钟完成）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.设向量，若，则（）A.2 B.1 C. D.02.若复数z满足，则的虚部为（）A.1 B.i C.-1 D.-i3.如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则四边形的周长为（）A. B. C. D.4.已知向量，满足，，则与的夹角为（）A. B. C. D.5.在，若，且，则的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形6.已知是关于的方程的一个根，则（）A.10 B. C.5 D.7.如图的方斗杯古时候常作为盛酒的容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为，下底面边长为，厚度忽略不计.现往该方斗杯里倒酒，当倒入时，酒的高度恰好是方斗杯高度的一半，则该方斗杯的容积为（）A. B. C. D.8.如图，公园里有一块边长为4的等边三角形草坪（记为），图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上，如果要沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为（）A. B. C.3 D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则下列选项正确的是（）A.的虚部为 B.为纯虚数C. D.在复平面内对应的点位于第二象限10.如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，，则（）A.该圆台的高为B.该圆台轴截面面积为C.该圆台的体积为D.一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为511.已知向量，，且向量满足，则（）A.B.向量与的夹角为C.D.向量在方向上的投影向量的长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则复数_______．13.已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的体积为__________．14.已知圆台的体积为，上底面半径为1，母线与下底面所成角的余弦值为，则该圆台的下底面半径为________.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.已知复数，其中.（1）若，求的值；（2）若是纯虚数，求的值；（3）若对应的点在第一象限，求的取值范围.16.已知向量，，，．（1）当时，求实数的值；（2）当时，求向量与的夹角的余弦值．17.如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm．（1）求四棱台的表面积；（2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比．18.在中，，点分别是上的点，且满足与的交点为.（1）若，求；（2）若为正三角形，且，求.19.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边.（1）若，求；（2）若，，的面积为，求的周长；（3）若为锐角三角形，，，求周长的取值范围.

数学（满分150分，120分钟完成）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.设向量，若，则（）A.2 B.1 C. D.0答案：C解析：思路：根据共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解.解答过程：因为向量，由，可得，解得.故选：C.2.若复数z满足，则的虚部为（）A.1 B.i C.-1 D.-i答案：A解析：思路：根据复数的四则运算求出复数z，再求共轭复数，即可判断其虚部.解答过程：由，故，所以的虚部为1．故选：A．3.如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则四边形的周长为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据给定条件，利用斜二测画法规则还原直角梯形，进而求出四边形的周长.解答过程：在直角梯形中，，由斜二测画法规则，得直角梯形对应的四边形，如图，在四边形中，，，则BC=所以四边形的周长为AB+BC4.已知向量，满足，，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用向量数量积的定义式和运算律化简已知式，结合向量夹角的范围即可.解答过程：已知，，设与的夹角为，由，解得，则与的夹角．故选：C5.在，若，且，则的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形答案：C解析：思路：利用正弦定理以及两角差的正弦公式逆用可得，再由可得，可得出结论.解答过程：因为，由正弦定理可得，则，．所以，又因为，所以，又，可得，故的形状是等腰直角三角形.故选：C6.已知是关于的方程的一个根，则（）A.10 B. C.5 D.答案：B解析：思路：根据虚根成对原理可知是方程的另一个根，再由韦达定理计算可得.解答过程：因为是关于的方程的一个根，所以关于的方程的另一个根为，所以，解得．故选：B7.如图的方斗杯古时候常作为盛酒的容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为，下底面边长为，厚度忽略不计.现往该方斗杯里倒酒，当倒入时，酒的高度恰好是方斗杯高度的一半，则该方斗杯的容积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算出棱台与棱台的体积之比，即可得该方斗杯可盛该种酒的总容积.解答过程：设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示：易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、，则，设棱台的高为，体积为，则棱台的高为，设其体积为，则，则，所以，，所以，该方斗杯可盛该种酒的总容积为.故选：B.8.如图，公园里有一块边长为4的等边三角形草坪（记为），图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上，如果要沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为（）A. B. C.3 D.答案：A解析：思路：利用三角形面积公式及条件可得，然后利用余弦定理及基本不等式可得，即得.解答过程：由题可知的面积为，又，∴，由余弦定理可得，当且仅当时取等号，∴，即水管的最短长度为.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则下列选项正确的是（）A.的虚部为 B.为纯虚数C. D.在复平面内对应的点位于第二象限答案：BD解析：思路：根据复数的运算法则进行化简后，再对选项一一验证即可.解答过程：，则z的虚部为，选项A不正确；，选项C错误；为纯虚数，选项B正确；在复平面内对应的点位于第二象限，选项D正确；故选：BD．10.如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，，则（）A.该圆台的高为B.该圆台轴截面面积为C.该圆台的体积为D.一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5答案：AD解析：思路：根据梯形性质利用勾股定理计算可判断A；利用梯形面积公式计算可判断B；代入圆台体积公式可判断C；利用圆台侧面展开图以及勾股定理计算可判断D.解答过程：对于A，在梯形中，即代表圆台的高，利用勾股定理计算可得，所以A正确；对于B，轴截面梯形的面积为，因此B错误；对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为；所以该圆台的体积为，可得C错误；对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示：易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，；由弧长公式可知，解得；所以可得，设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短，易知，且，由勾股定理可知，可知D正确.故选：AD11.已知向量，，且向量满足，则（）A.B.向量与的夹角为C.D.向量在方向上的投影向量的长度为答案：AB解析：思路：由得，，AB选项，使用模长公式和夹角公式进行求解；C选项，利用两向量平行满足的条件进行判断；D选项，利用投影向量的概念求解．解答过程：向量，，则，∵向量满足，∴，解得或，又因为，所以，所以，对于A，，故A正确；对于B，，，，向量与的夹角为，则，因为，所以，故B正确；对于C，，由于，所以不平行，故C错误；对于D，向量在方向上的投影向量的长度为，故D错误．故选：AB．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则复数_______．答案：解析：思路：根据复数的运算求解即可.解答过程：因为，所以，故13.已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的体积为__________．答案：解析：思路：设母线为，高为，由侧面积公式求出，即可求出，再由圆台的体积公式计算可得.解答过程：因为圆台的上底面半径，下底面的半径，其侧面积为，设母线为，高为，所以，即，解得，所以，所以该圆台的体积.故14.已知圆台的体积为，上底面半径为1，母线与下底面所成角的余弦值为，则该圆台的下底面半径为________.答案：2解析：思路：先求得下底面半径与高的数量关系，再用下底面半径表示高，将其代入圆台的体积公式，解方程求出下底面半径.解答过程：如图，设圆台上底面圆心为，下底面圆心为，梯形为圆台的轴截面，高为.过作于.即为母线与下底面所成角，则在直角三角形中，，所以下底面半径，即解得.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.已知复数，其中.（1）若，求的值；（2）若是纯虚数，求的值；（3）若对应的点在第一象限，求的取值范围.答案：（1）或.（2）（3）解析：思路：（1）根据复数的类型求参；（2）根据复数的类型求参；（3）应用复数对应的点所在象限列不等式组求参数范围.（1）由，得，解得或.（2）由是纯虚数，得，解得，所以.（3）由对应的点在第一象限，得，解得且，所以的取值范围为.16.已知向量，，，．（1）当时，求实数的值；（2）当时，求向量与的夹角的余弦值．答案：（1）；（2）解析：思路：（1）由垂直关系的向量坐标表示可解；（2）由向量平行的坐标表示求出，再代入向量夹角公式可得.（1）由题意可得，因为，所以.（2），因为，所以，所以，所以，即向量与的夹角的余弦值为.17.如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm．（1）求四棱台的表面积；（2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比．答案：（1）（）（2）解析：思路：（1）分别取的中点，连接，过作于，然后根据已知条件求出斜高，再根据表面积公式可求得结果；（2）由题意可知最大的圆台是上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为棱台的高，求出圆台的体积，再求出正四棱台的体积，即可求出削去部分的体积，从而可求出削去部分与圆台的体积之比．（1）在正四棱台中，分别取上、下底面的中心，连接，则分别取的中点，连接，过作于，因为在正四棱台中，，，所以，在中，，所以正四棱台的表面积为（）；（2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高，则圆台的上底面半径为，下底面半径为，高，所以圆台的体积为（），因为正四棱台的体积为（），所以削去部分的体积为（），所以削去部分与圆台的体积之比.18.在中，，点分别是上的点，且满足与的交点为.（1）若，求；（2）若为正三角形，且，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用平面向量基本定理，结合共线定理的推论联立方程组即可得出结论；（2）结合（1）中结论，再由向量数量积的运算律计算可得结果.（1）由三点共线和，在中可得由三点共线，在中可知.由平面向量基本定理知，解得，；所以（2）由三点共线和；可知由三点共线知.由平面向量基本定理知，解得；因此可得，则.又因为是正三角形，所以；因此；即可得.19.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边.（1）若，求；（2）若，，的