2025-2026学年广东省广州市实验外语学校高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、单选题（共8小题，每小题5分，共计40分）1.已知非零向量不平行，并且其模相等，则与之间的关系是（）A.垂直 B.共线 C.不垂直 D.以上都可以2.下列结论正确的是（）A.三个点确定一个平面B.若空间中两条直线没有公共点，则它们互相平行C.若一条直线上有无数个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内D.若一条直线上有无数个点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行3.如图，已知，则（）A. B.C. D.4.已知向量，，，若B，C，D三点共线，则（）A.－16 B.16 C. D.5.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（）A. B. C. D.6.的内角的对边分别为，已知，，则外接圆的半径为（）A. B. C.3 D.67.据重心低更稳定的原理，中国古代的智者发明了一种儿童玩具——不倒翁，如图所示，该不倒翁由上底面半径为2cm、下底面半径为3cm且母线为的圆台与一个半球两部分构成，若半球的密度为圆台密度的3倍（圆台与半球均为实心），圆台的质量为190g，则该不倒翁的总质量为（）A.370g B.490g C.650g D.730g8.如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（）A.16 B. C.18 D.二、多选题（共3小题，每小题6分，共计18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知向量，则下列说法正确的是（）A.的相反向量是B.若，则C.在上的投影向量为D.若，则10.在中，角所对的边分别为，如下命题正确的是（）.A.若，，，则的面积为.B.若，则为钝角.C.若为锐角三角形，则.D.若，，且有两解，则b的取值范围是.11.如图，在边长为3的等边三角形中，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的有（）A. B.C.存在最小值 D.的最小值为三、填空题（共3小题，每小题5分，共计15分）12.如图，平面四边形的斜二测直观图是等腰梯形，，那么原平面四边形中的边的长是______．13.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为______________cm2.14.在中，角的对边分别为，且.若，则对的最小值为__________.四、解答题（共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知复数，且满足，，复数在复平面上对应的点满足直线方程.（1）求复数；（2）若为纯虚数，求实数的值.16.已知的内角的对边分别为，且.（1）求.（2）若，且角的平分线长为，求的面积.17.如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N.（1）设，，试用，表示；（2）求；（3）设，，求的最小值.18.如图，正三棱柱中，分别是棱的中点.（1）判断直线与直线，直线与平面的位置关系；（判断即可，不必说明理由）（2）求证：平面；（3）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.19.如图，长方体的长、宽、高分别为x，y，2，且，．（1）当底面为正方形时，求长方体的表面积和体积；（2）求三棱锥体积的最大值；（3）记三棱锥外接球的表面积为，底面ABCD的面积为，求的取值范围.

数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、单选题（共8小题，每小题5分，共计40分）1.已知非零向量不平行，并且其模相等，则与之间的关系是（）A.垂直 B.共线 C.不垂直 D.以上都可以答案：A解析：思路：由与的数量积判断.解答过程：因为，所以，故选：A2.下列结论正确的是（）A.三个点确定一个平面B.若空间中两条直线没有公共点，则它们互相平行C.若一条直线上有无数个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内D.若一条直线上有无数个点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行答案：C解析：思路：根据空间点、线、面基本定理进行判断.解答过程：三个不共线的点确定一个平面，A错误；若空间中两条直线没有公共点，则它们互相平行或为异面直线，B错误；若一条直线上有两个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内，C正确；若一条直线上有无数个点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行或与平交与一点，D错误.故选：C3.如图，已知，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：利用基底表示即可求出.解答过程：因为，所以，则，因为，所以，即，则.故选：C4.已知向量，，，若B，C，D三点共线，则（）A.－16 B.16 C. D.答案：A解析：思路：先求出和，根据B，C，D三点共线得到，进而列出方程求解.解答过程：由题意得，，因为B，C，D三点共线，所以，则，得.故选：A.5.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：设此铁塔高，在直角中，可得，再在中，利用正弦定理，列出方程，即可求解.解答过程：设此铁塔高，根据题意，可得，在直角中，可得，在中，由，可得，根据正弦定理，可得，解得．故选：A.6.的内角的对边分别为，已知，，则外接圆的半径为（）A. B. C.3 D.6答案：A解析：思路：根据三角恒等变形得，再借助正弦定理角化边可得，最后由正弦定理求解.解答过程：根据题意，，，即，根据正弦定理，得，可得，则，所以，则外接圆的半径为.故选：A7.据重心低更稳定的原理，中国古代的智者发明了一种儿童玩具——不倒翁，如图所示，该不倒翁由上底面半径为2cm、下底面半径为3cm且母线为的圆台与一个半球两部分构成，若半球的密度为圆台密度的3倍（圆台与半球均为实心），圆台的质量为190g，则该不倒翁的总质量为（）A.370g B.490g C.650g D.730g答案：D解析：思路：作出圆台的轴截面，根据圆台的性质结合条件求出圆台的体积和半球的体积，从而求出半球的重量，即可求解.解答过程：如图，圆台的轴截面为等腰梯形，且过点作，垂足为，则由题意得：，，，所以，，故圆台的体积，又半球的体积，因为半球的密度为圆台密度的3倍，所以半球的重量为g故该不倒翁的总重量为，故选：D.8.如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（）A.16 B. C.18 D.答案：C解析：思路：首先作出平面截正方体的截面，再根据截面的形状和性质，求截面的面积.解答过程：取的中点的中点，连接，，，，所以四点共面，如图所示.，且平面，平面，所以平面，因为，且，所以四边形是平行四边形，则，且平面，平面，所以平面，且，平面，所以平面平面，所以四边形即为平面截该正方体所得截面，易得，所以四边形的面积.故选：C.二、多选题（共3小题，每小题6分，共计18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知向量，则下列说法正确的是（）A.的相反向量是B.若，则C.在上的投影向量为D.若，则答案：AC解析：思路：根据相反向量定义以及投影向量的公式计算可以判断AC，计算，由向量垂直以及向量共线的运算法则计算可求出的值，从而判断BD.解答过程：对于A，由相反向量的定义，即可得到的相反向量是，故A正确；对于B，因为，所以，又，且，所以，解得，故B错误；对于C，因为，所以，，所以在上的投影向量为，故C正确；对于D，因为，又，且，所以，解得，故D错误．故选：AC.10.在中，角所对的边分别为，如下命题正确的是（）.A.若，，，则的面积为.B.若，则为钝角.C.若为锐角三角形，则.D.若，，且有两解，则b的取值范围是.答案：BCD解析：思路：根据正弦定理和余弦定理边角互化判断A、B，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断D.解答过程：A.在中，若，，，则由正弦定理得，解得，因为，所以或，故或，所以的面积或，故A错误.B.在中，若，则，因为，所以为钝角，故B正确.C.因为是锐角三角形，所以，故，因为，所以，又因为在上单调递增，所以，故C正确.D.如图所示，若有两解，则，解得，故D正确.故选：ACD.11.如图，在边长为3的等边三角形中，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的有（）A. B.C.存在最小值 D.的最小值为答案：ABC解析：思路：建立坐标系，写出向量坐标，根据向量线性运算即可判断A，根据向量数量积的坐标运算即可判断BCD.解答过程：如图，以为原点，所在直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立直角坐标系，则,；,所以，A正确.，，B正确.因为位于以为圆心，1为半径的半圆上，设，；,，因为，所以，当时，即时，取到最小值，C正确.因为，所以，即，因为，所以，D不正确.故选：ABC方法提示：关键点点睛：本题求解的关键是圆弧上的点如何表示，以为原点建立坐标系，能简化点的坐标.三、填空题（共3小题，每小题5分，共计15分）12.如图，平面四边形的斜二测直观图是等腰梯形，，那么原平面四边形中的边的长是______．答案.解析：思路：根据给定条件，结合斜二测画法规则还原平面四边形，再计算边长作答.解答过程：在等腰梯形中，，，则，由斜二测画法规则知，四边形的顶点A与原点O重合，点B，D分别在x轴、y轴上，，且，如图，显然四边形为直角梯形，于是得.故13.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为______________cm2.答案：解析：思路：利用球的直径等于四棱柱的对角线，求出棱柱的高，从而可得结果.解答过程：设正四棱柱的高为，因为球的直径等于四棱柱的对角线，所以，所以该棱柱的表面积为，故答案为.方法提示：本题主要考查棱柱与球的内接问题，考查了柱体的表面积以及空间想象能力，属于基础题.14.在中，角的对边分别为，且.若，则对的最小值为__________.答案：解析：思路：应用三角恒等变换及三角形内角的性质求得，令，结合向量数乘的几何意义及减法法则化简向量并求其模长.解答过程：由，得，所以，因为，则，所以，设，则点在直线上，所以，当时，最小，其最小值为.故四、解答题（共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知复数，且满足，，复数在复平面上对应的点满足直线方程.（1）求复数；（2）若为纯虚数，求实数的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用复数的四则运算，得到，又由题设知，联立方程从而求出得到结果；（2）利用（1）中的结果和复数的除法，再结合条件即可求出结果.（1）由已知得.复数在复平面上对应的点满足直线方程.即，又因为，所以，，.（2）由，若为纯虚数，则，且，得.16.已知的内角的对边分别为，且.（1）求.（2）若，且角的平分线长为，求的面积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据正弦定理进行角化边，再利用余弦定理即可得到答案；（2）利用等面积法求得，再利用三角形面积公式即可得到答案.（1）由正弦定理得，由余弦定理，代入上式：，解得.因为为三角形内角，所以.（2）设角的平分线交于点，则，且.，即，即，解得，面积.17.如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N.（1）设，，试用，表示；（2）求；（3）设，，求的最小值.答案：（1）；（2）；（3）.解析：思路：（1）利用给定的基底表示向量.（2）利用向量的数量积定义、运算律及夹角公式求解.（3）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值.（1）由，得，所以.（2）在等边中，，由（1）得，，，，，所以.（3）由（1）知，，而，，因此，而共线，则，又，于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.18.如图，正三棱柱中，分别是棱的中点.（1）判断直线与直线，直线与平面的位置关系；（判断即可，不必说明理由）（2）求证：平面；（3）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.答案：（1）直线与直线是异面直线，直线与平交（2）证明见解析（3）存在，点为棱的中点，证明见解析解析：思路：（1）由空间中的线面位置关系，即可判断；（2）取的中点为，连接，即可证明为平行四边形，再由线面平行的判定定理，即可证明；（3）根据题意，由线面平行的判定定理分别证明平面，平面，再由面面平行的判定定理，即可证明.（1）直线与直线是异面直线；直线与平交.理由如下：因平面,平面,平面,故直线与直线是异面直线；又因平面，因点是的中点，,故相交，设交点为,则点平面，又点平面，故直线与平交.（2）取的中点为，连接∵是棱的中点，∴且∵点是棱的中点，∴且