2025-2026学年江苏盐城中学高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学考试时间120分钟，总分150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的选项中，只有一项符合要求.）1.已知平面向量，若，则（）A. B. C. D.2.下列命题（1）若空间四点共面，则其中必有三点共线；（2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面；（4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线；其中真命题的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.如图，是水平放置的在斜二测画法下的直观图.若，，则的面积为（）A.2 B. C.4 D.4.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（）A.3 B. C. D.87.已知函数，，若，满足，则（）A. B. C. D.8.在直角梯形中，，，，，E，F分别为，的中点，点P在以A为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示），若，其中，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）9.已知向量满足，则下列结论正确的有（）A.B.若，则C.在方向上的投影向量为D.若，则与的夹角为10.已知函数，则（）A.的图象关于对称B.的最小正周期为C.的最小值为D.在上有四个不同的实数解11.三角形的布洛卡点由法国数学家布洛卡首次发现，当内一点P满足条件：时，则称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角.如图，在斜中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S，点P是△ABC的布洛卡点，布洛卡角为，则（）A.当时，B.当且时，C.当时，D.当时，是等边三角形三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.在中，，则的最大内角的余弦值为______.13.已知，的取值范围是D，则函数的最大值为______.14.设非零向量，满足，，，设，夹角的最小值为，则______.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.已知复数.（1）若复数是实数，求实数的值；（2）若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围.16.已知函数的最大值为1.（1）求函数的单调递增区间；（2）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值.17.记是内角的对边分别为．已知，点在边上，．（1）证明：；（2）若，求．18.在中，P在线段上，满足，O是线段的中点.（1）过点O的直线与线段分别交于点（图1），设，.（i）求证：为定值；（ii）设的面积为，的面积为，求的最小值.（2）延长交于点Q（如图2），若，求的值.19.双曲函数是一类应用非常广泛的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.已知双曲余弦函数，双曲正弦函数.记函数，.（1）计算的值；（2）若对任意的恒成立，求实数a的取值范围；（3）记的两个零点为，，若，求的取值范围.

数学考试时间120分钟，总分150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的选项中，只有一项符合要求.）1.已知平面向量，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由于，由得，解得．2.下列命题（1）若空间四点共面，则其中必有三点共线；（2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面；（4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线；其中真命题的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：B解析：思路：根据空间中点和线的位置关系，即可求解.解答过程：对于（1），四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故（1）错误，对于（2），若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（2）正确，对于（3）,若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，（3）错误，对于（4），若空间四点不共面，则其中任意三点不共线；假若其中三个点共线，则第四个点要么与这三点在一条直线上，要么在直线外，根据直线和直线外一点可确定一个平面可知，这四点共面，矛盾，故任意三点不共线，（4）正确故选：B3.如图，是水平放置的在斜二测画法下的直观图.若，，则的面积为（）A.2 B. C.4 D.答案：C解析：解答过程：由题意，在斜二测画法下的直观图中，，，则在平面直角坐标系下，，，如图，则的面积为.4.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：解答过程：由，等价于，即，则，即，所以“”是“”的必要不充分条件.5.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：思路：根据复数的乘方结合复数的除法计算求解.解答过程.则复数对应的点为，位于第二象限.6.已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（）A.3 B. C. D.8答案：B解析：思路：根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，在结合余弦定理，化简得到，代入即可求解.解答过程：因为，由正弦定理得，即，即，又因为，可得，所以，因为，，由余弦定理得，即，解得.故选：B.7.已知函数，，若，满足，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：结合题意与二倍角公式求出，即，可得，再结合与图象的对称性求解即可.解答过程：令，得，则，即，则或.若，得，由，则，即，则，与矛盾，不符合题意；若，结合，得，即，则，由于，的最小正周期均为，故只需考虑区间即可，如图作出图象，

由图可知，，则，所以．8.在直角梯形中，，，，，E，F分别为，的中点，点P在以A为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示），若，其中，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：结合题意建立直角坐标系，得到各点的坐标，再由得到，，从而得到，由此可求得的取值范围.解答过程：结合题意建立直角坐标系，如图所示：则，，，，，，则，，，，∵，∴，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故.二、多项选择题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）9.已知向量满足，则下列结论正确的有（）A.B.若，则C.在方向上的投影向量为D.若，则与的夹角为答案：ABD解析：思路：利用向量的数量积定义式和数量积运算律计算可依次判断A,B,D,利用投影向量概念和公式可判断C.解答过程：对于A：因为，所以，故A正确；对于B：因为，所以，因为，故B正确；对于C：在方向上的投影向量为，故C错误；对于D：因为，所以，因为，所以与的夹角为，故D正确.故选：ABD.10.已知函数，则（）A.的图象关于对称B.的最小正周期为C.的最小值为D.在上有四个不同的实数解答案：ABD解析：思路：由题设化简可得，结合函数大致图象判断各选项即可.解答过程：由，作出和的图象，取位于上方的部分（实线部分）即可：

由图可知，的图象关于对称，的最小正周期为，的最小值不为，故AB正确，C错误；对于D，计算知与在内的交点坐标为，而，结合函数的图象特征可知函数与图象在内有四个交点，所以在上有四个不同的实数解，故D正确.11.三角形的布洛卡点由法国数学家布洛卡首次发现，当内一点P满足条件：时，则称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角.如图，在斜中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S，点P是△ABC的布洛卡点，布洛卡角为，则（）A.当时，B.当且时，C.当时，D.当时，是等边三角形答案：ABD解析：思路：根据给定条件，利用三角形面积公式及余弦定理推理判断A；利用相似三角形性质、正弦定理、余弦定理求出判断B；由已知结合正弦定理推得，进而推理判断C；利用重心定理及三角形面积公式推理判断D.解答过程：对于A，当时，，则，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，相加得，因此，A正确；对于B，当时，是等腰三角形，，而，，则，又，则，，即，又，则，设，则，由，得，则，又，即，则，在中，由正弦定理得，即，即，则，在中，，由正弦定理得，即，由余弦定理得，因此，，B正确；对于C，当时，，则，，在中，，即，在中，，即，则，即，因此，若，必有，无条件确定是正三角形，C错误；对于D，在中，，由正弦定理，得，由，得点是的重心，，即，则，又，于是，同理，，因此，由正弦定理得，是等边三角形，D正确.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.在中，，则的最大内角的余弦值为______.答案：解析：思路：利用正弦定理边角的转化，将正弦值之比转化为边长之比，然后利用余弦定理即可求解.解答过程：∵，∴由正弦定理化简得：设，则最大角为，∴．13.已知，的取值范围是D，则函数的最大值为______.答案：解析：思路：设，利用题设条件与正弦函数的性质求得，记，令，换元后利用对勾函数的单调性求得，结合对数型复合函数的单调性即可求得答案.解答过程：因，不妨设，则，当且仅当时取等，故得，即，所以.设，因为，所以，且，记，因函数在上单调递增，故，所以，当且仅当时，，又因为函数在定义域内是增函数，所以.14.设非零向量，满足，，，设，夹角的最小值为，则______.答案：##解析：思路：先分和讨论，将时的不等式转化为的恒成立问题，再通过平方展开为二次函数，利用判别式求出的范围，最后根据余弦函数单调性求解即可.解答过程：当时，题中不等式自然满足，所以只要考虑的情形，将不等式两边同时除以，得，，，其中为单位向量，因此题设不等式等价于，记夹角为，那么，即，从而，得，由于，在上单调递减，因此的最小值对应的最大值，当时，二次函数有唯一零点，此时，即，满足不等式的等号条件，说明最小值是可取的，则，夹角的最小值为时，则.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.已知复数.（1）若复数是实数，求实数的值；（2）若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围.答案：（1）或；（2）.解析：思路：（1）根据复数的虚部为0求解即可；（2）根据复数的实部大于0，虚部小于0求解即可.（1）因为复数是实数，所以，解得或；所以实数的值为或；（2）因为复数表示的点在第四象限，所以，即，解得或，所以实数的取值范围为.16.已知函数的最大值为1.（1）求函数的单调递增区间；（2）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值.答案：（1），（2）最大值为，最小值为解析：思路：（1）利用二倍角公式、诱导公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）根据函数的平移变换规则得到的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.（1）因为，而函数的最大值为1，所以，解得，即，由，，解得，.所以函数的单调递增区间为，.（2）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，所以，因为，所以，所以，则，则在区间上的最大值为，最小值为.17.记是内角的对边分别为．已知，点在边上，．（1）证明：；（2）若，求．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）根据正弦定理角化边及已知条件即可证明；（2）首先由等面积法得出，进而得出，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，结合，在中，由余弦定理即可求解．（1）证明：设的外接圆半径为，由正弦定理得，，因为，所以，又，且，所以．（2）由（1）知，，因为，所以，，即，由，则，故有或（不合题意舍去），所以，在中，由正弦定理得，所以，即，在中，由正弦定理得，，①又，所以，②在中，由余弦定理及①②得，．18.在中，P在线段上，满足，O是线段的中点.（1）过点O的直线与线段分别交于点（图1），设，.（i）求证：为定值；（ii）设的面积为，的面积为，求的最小值.（2）延长交于点Q（如图2），若，求的值.答案：（1）（i）证明见解析；（ii）；（2）.解析：思路：（1）（i）根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量的推论求解；（ii）利用三角形面积公式，结合（i）的结论，利用基本不等式求出最小值.（2）利用向量的线性运算，结合共线向量的推论求得，再由已知及数量积的运算律求解.（1）（i）由，得，由是线段的中点，得，由三点共线，得，则，所以为定值.（ii）由（i）知，，即，当且仅当时取等号，依题意，由，得，所以当时，取得最小值.（2）设，由（1）得，则，由三点共线，得，解得，即，则，又，则，所以，即.19.双曲函数是一类应用非常广泛的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.已知双曲余弦函数，双曲正弦函数.记函数，.（1）计算的值；（2）若对任意的恒成立，求实数a的取值范围；（3）记的两个零点为，，若，求的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据给定函数，直接计算