2025-2026学年广东省深圳市桃源居中澳实验学校高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、单选题：本题共10小题，每题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（）A.3 B.4 C.5 D.62.给出下列命题，正确的有（）A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B.已知为实数，若，则与共线C.的充要条件是且D.若是不共线的四点，且，则四边形为平行四边形3.已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（）A.6 B. C. D.4.已知点为所在平面内一点，且，则（）A.点在线段上 B.点在线段的延长线上C.点在线段的反向延长线上 D.点在射线上5.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.6.已知向量，，，若A、C、D三点共线，则（）A. B. C.11 D.7.如图，已知，则（）A. B.C. D.8.已知向量，且，则（

）A. B. C. D.9.在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（）A. B. C. D.210.已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（）A.两解 B.一解 C.无解 D.无穷多解二、填空题：本题共5小题，每题6分，共30分.11.已知复数满足，则___________.12.已知向量，若，则_________.13.已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的面积为______14.如图所示，在梯形中，与交于点，若，则__________．15.设锐角的三边长为，若的三边满足等式：，则的取值范围为__________．三、解答题：本题共4小题，每题15分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.在中内角，，的对边分别为，，，且．（1）求；（2）若，，求的面积．17.已知复数，其中i为虚数单位，．（1）若是纯虚数，求的值；（2）在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．18.已知向量的夹角为．（1）求；（2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．19.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角；（2）若，的面积为，D为线段中点，求中线的长度．

数学一、单选题：本题共10小题，每题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：D解析：思路：利用圆锥的高与母线、半径的关系，求出母线长和底面半径，进而得到轴截面周长为6.解答过程：设圆锥的母线长为，则底面半径为，侧面积，解得，则，故圆锥轴截面的周长为．2.给出下列命题，正确的有（）A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B.已知为实数，若，则与共线C.的充要条件是且D.若是不共线的四点，且，则四边形为平行四边形答案：D解析：思路：根据相等向量的概念即可判断A，举反例即可反驳BC，根据相等向量的含义即可判断D.解答过程：对A，向量相等只需满足方向相同且模相等即可，故A错误；对B，若时，此时与可以不共线，故B错误；对C，、为相反向量时，也满足且，但此时，故C错误；对D，若是不共线的四点，且，则，则四边形为平行四边形，故D正确.故选：D.3.已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（）A.6 B. C. D.答案：C解析：思路：将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形求两点距离即得答案.解答过程：将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形，如图，根据两点之间线段最短.，蚂蚁爬行的最短的路线为线段，由可得，，由余弦定理，，从而最短距离为.4.已知点为所在平面内一点，且，则（）A.点在线段上 B.点在线段的延长线上C.点在线段的反向延长线上 D.点在射线上答案：D解析：思路：将已知向量等式变形，得到点相对于点的位置向量与方向向量共线且同向，从而判断点在射线上.解答过程：由，得，所以，所以点在射线上．故选：D.5.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，，，，则向量在向量上的投影向量为.6.已知向量，，，若A、C、D三点共线，则（）A. B. C.11 D.答案：C解析：解答过程：因为，，所以，又A、C、D三点共线，所以，所以，解得.7.如图，已知，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：利用基底表示即可求出.解答过程：因为，所以，则，因为，所以，即，则.故选：C8.已知向量，且，则（

）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由可得，由可得，最后应用模长公式即可求解.解答过程：因为，所以，展开整理得，由，得，即，所以，即，所以.9.在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（）A. B. C. D.2答案：B解析：思路：建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.解答过程：在正方形ABCD中，以点A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，令，则，，，因，于是得，解得，所以的值为.故选：B10.已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（）A.两解 B.一解 C.无解 D.无穷多解答案：B解析：思路：利用正弦定理求出的值，结合正弦函数的图像和三角形内角和得到结论.解答过程：，，，，，，，或当时，，，不符合三角形内角和定理，故舍去，则只有一个解，故此三角形只有一个解.故选：B.二、填空题：本题共5小题，每题6分，共30分.11.已知复数满足，则___________.答案：解析：思路：设的代数形式为代入已知方程，利用两个复数相等得的方程组，解方程组可得.解答过程：设，则，则，可得，解得，即，所以.12.已知向量，若，则_________.答案：0解析：解答过程：因为向量，所以，若，则，解得.13.已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的面积为______答案：解析：思路：先求出直观图矩形的面积，再根据原图形与直观图面积关系求出四边形的面积.解答过程：由题意，，原图形面积与斜二测直观图形面积之间的关系为，可得．故．14.如图所示，在梯形中，与交于点，若，则__________．答案：解析：思路：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，求得直线和的方程，联立方程组，求得，结合，列出方程组，求得的值，即可得到答案.解答过程：以为坐标原点，以所在的直线为轴，以过点垂直轴的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，则，可得，所以直线的方程为，直线的方程为，联立两直线方程，解得，即，所以，因为，所以，解得，所以．故答案为.15.设锐角的三边长为，若的三边满足等式：，则的取值范围为__________．答案：解析：思路：先根据余弦定理求出角的大小，再求出角的范围，再利用正弦定理用表示c计算范围即可解答过程：因为，所以，根据余弦定理因为是锐角三角形，，因此​，得，即因为三个角都是锐角，所以，解得，所以又​，，所以因为，所以三、解答题：本题共4小题，每题15分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.在中内角，，的对边分别为，，，且．（1）求；（2）若，，求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可求得的值，可求；（2）法一：利用两角和的余弦公式，结合已知可求得，进而利用正弦定理可求得，进而可求的面积．法二：利用两角和的余弦公式，结合已知可求得，利用正弦定理可求得，进而利用可求解.（1）由正弦定理知．∴，∵，∴，∴，，∴．（2）法一：由（1）知，，∴．∴，∴，∴．法二：由（1）知，，∴．由正弦定理可得．∴．17.已知复数，其中i为虚数单位，．（1）若是纯虚数，求的值；（2）在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用纯虚数的定义列不等式组求解即得；（2）根据第二象限内的点的特征列不等式组求解即得.（1）由是纯虚数，可得，由①解得或，因时，，不合题意，故的值为；（2）由在复平面内对应的点在第二象限，可得，由③解得；由④解得或，故得，即的取值范围为.18.已知向量的夹角为．（1）求；（2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据定义得出数量积的值，并根据，代入即可求解；（2）将条件转化为且与不共线时，计算，解不等式即可得到结果．（1）因为向量与的夹角为，且，所以，所以；（2）因为向量与的夹角为，且，所以，若，即，解得，当与共线时，此时满足，解得，此时与共线，且方向相反，故与夹角为钝角时，且，所