2025-2026学年广东省深圳市盐田高级中学高考适应性考试数学试题 含解析

/数学一、单选题1.已知集合，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.2.已知函数，则的一个对称中心的坐标可以是（

）A. B. C. D.3.若，，，，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.4.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（）A.24 B.54 C.72 D.1205.已知数列为等差数列，它的前项和为，，则（

）A. B. C. D.6.已知函数fx=x2−2A. B. C. D.7.已知正方体，点E，F，G分别是线段，和上的动点，正确的是（

）A.对于任意给定的点，存在点，使得B.对于任意给定的点，存在点，使得C.对于任意给定的点G，存在点F，使得D.对于任意给定的点F，存在点G，使得8.设，是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为，则在的斜坐标系中，，.则下列结论中，正确的是（

）A.若，则B.若，则C.若，则D.二、多选题9.下列说法中正确的是（

）A.在回归分析中，决定系数的值越接近1，模型的拟合效果越好B.若随机变量满足，则C.若随机变量，则D.若事件满足，则10.已知前项和为的数列满足，则（

）A.数列是等比数列B.C.数列的前18项和为D.不存在互不相等的正整数，，，使得，，成等差数列11.已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，左顶点为A，下顶点为B，点为曲线C上第一象限内一动点，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，则下列结论正确的是（）A.坐标原点O到直线AB的距离为B.若，则的取值范围为C.的面积最大值为D.四边形的面积为定值二、填空题12.设，若复数是纯虚数，则_____.13.已知的展开式的二项式系数和等于，则展开式中的含项的系数为___________．14.为了减轻教师阅卷负担，我校在一次高三数学考试中尝试采用AI辅助阅卷，阅卷后，成绩分布如下：分数人数205575375032512525为了保证阅卷的准确性，需要从AI批阅试卷的样本中随机抽取试卷进行人工复批．若抽到试卷分数低于90分，则复批的概率为；若抽到试卷分数不低于90分而低于120分，则复批的概率为；若抽到试卷分数不低于120分，则复批的概率为．若某同学试卷被复批，则AI批阅该同学试卷不低于120分的概率是________.三、解答题15.在中，角的对边分别为．（1）证明：；（2）若，，，求的面积．16.已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，若过点作轴的垂线交双曲线于点，则.（1）求的标准方程；（2）已知直线与双曲线交于两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程．17.如图，在三棱柱中，平面平面，，，且，（1）证明：；（2）求点到平面的距离．18.近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（ArtificialIntelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄都位于，得到如下直方图：（1）利用直方图中的数据，求的值，并估计该AI工具用户的平均年龄；（2）已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列及其期望；（3）已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，当t变化时，要使得恰好答对3个问题的概率取到最大值，求此时的取值．19.已知.（1）若有两个零点，求的取值范围；（2）若有大于零的极值点，比较与的大小；（3）若有且只有唯一整数，使，求的取值范围.数学一、单选题1.已知集合，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：，则，故A错误；1∉A，故B错误；A⊆−1,1，故C正确；2.已知函数，则的一个对称中心的坐标可以是（

）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：令，解得，时，，则是的一个对称中心．3.若，，，，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：通过对数函数的单调性判断与的大小，利用幂函数的单调性判断与的大小，从而确定正确选项.解答过程：由对数函数在上单调递减，得，即；由对数函数在上单调递增，得，即，因此.由幂函数在上单调递减，得，即.综上，且.4.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（）A.24 B.54 C.72 D.120答案：B解析：思路：安排方案可分3步完成，第一步先安排乙，再安排甲，最后安排其他同学完成，由分步乘法原理求满足条件的方案数.解答过程：满足要求的方案可分3步完成，第一步先安排乙，乙可以排在第2,3,4位，有3种安排方法，第二步安排甲，有3种安排方法，第三步再安排其他同学，有种安排方法，由分步乘法原理满足条件的安排方法有54种.5.已知数列为等差数列，它的前项和为，，则（

）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：，解得，．6.已知函数fx=x2−2A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据二次函数的性质以及利用导数确定函数单调性，继而得到的图象，结合图象得出的取值范围．解答过程：为二次函数，对称轴为，所以时，单调递减，令hx=x所以在单调递增，则函数的图象如下：函数仅有一个零点，即只有一个交点，．7.已知正方体，点E，F，G分别是线段，和上的动点，正确的是（

）A.对于任意给定的点，存在点，使得B.对于任意给定的点，存在点，使得C.对于任意给定的点G，存在点F，使得D.对于任意给定的点F，存在点G，使得答案：B解析：思路：以为原点建立空间直角坐标系，不妨设正方体的边长为1，设，，，再利用垂直与平行的空间坐标表示逐项判断即可．解答过程：对于AB，如图，以为原点建立空间直角坐标系，不妨设正方体的边长为1，可得，，，且点分别是线段和上的动点，得到，，，而，，则，设，可得，则，解得，得到，可得，，，若，则，解得，此时任意给定的点，存在点，使得，故A错误，B正确，对于CD，若，则，∴−1=λt−10=8.设，是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为，则在的斜坐标系中，，.则下列结论中，正确的是（

）A.若，则B.若，则C.若，则D.答案：A解析：思路：对于A，由平行可得，进而得到，即；对于B，由向量模长的运算判断；对于C，由题可得，再根据数量积的运算律求解即可；对于D，直接根据向量的加法运算及新定义即可判断．解答过程：对于A，若，则，即，又不共线，∴x1=对于B，e1a→对于C，若，则a，故C错误；对于D，a=x二、多选题9.下列说法中正确的是（

）A.在回归分析中，决定系数的值越接近1，模型的拟合效果越好B.若随机变量满足，则C.若随机变量，则D.若事件满足，则答案：ACD解析：思路：对于A，根据决定系数的概念判断即可；对于B，根据期望的线性运算即可求解；对于C，由二项分布的方差公式求解；对于D，由题可得，再根据条件概率的乘法公式计算．解答过程：对于A，回归分析中，决定系数衡量模型对因变量变化的解释能力，越接近1，说明残差平方和越小，模型拟合效果越好，A正确；对于B，根据方差的运算性质，对任意常数，有，本题中，因此EY=2对于C，，，故C正确；对于D，由条件概率性质，，因此PMN10.已知前项和为的数列满足，则（

）A.数列是等比数列B.C.数列的前18项和为D.不存在互不相等的正整数，，，使得，，成等差数列答案：ABD解析：思路：对于A，作差得，再根据通项判断即可；对于B，由，再分组求和即可判断；对于C，运用裂项相消法求和即可；对于D，根据题意可得，即，进而可得与题干矛盾．解答过程：，，()，则，又时，a1=2−故数列是首项为1，公比为4的等比数列，故A正确；，则，故B正确；，则数列的前18项和为，故C错误；，则，若，，成等差数列，则，即4p−1+1即，又，，为正整数，∴p−q即不存在互不相等的正整数，，，使得，，成等差数列，故D正确．11.已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，左顶点为A，下顶点为B，点为曲线C上第一象限内一动点，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，则下列结论正确的是（）A.坐标原点O到直线AB的距离为B.若，则的取值范围为C.的面积最大值为D.四边形的面积为定值答案：ACD解析：思路：A，通过点到直线距离公式计算即可；B，用坐标法表示出向量数量积后求解范围；C，通过点到直线距离公式求出到直线的距离，通过三角函数换元求出面积最大值；D，将四边形分解为两个三角形的面积和求解.解答过程：椭圆，得，则，第一象限椭圆上，满足，即.对于A：直线过，方程为，即，原点到的距离，A正确；对于B：，代入​​，得：，即，不是x0∈对于C：，到直线的距离​，则，令x0得x0+2y0=2因此：，C正确；对于D：直线方程：，令得，则，直线方程：，令得，则AN=∣AN⋅BM=得AN⋅所以四边形的面积等于12AN二、填空题12.设，若复数是纯虚数，则_____.答案：1解析：解答过程：，又为纯虚数，所以，解得．13.已知的展开式的二项式系数和等于，则展开式中的含项的系数为___________．答案：45解析：解答过程：，，，又展开式的通项为，当，解得，，即展开式中的含项的系数为．14.为了减轻教师阅卷负担，我校在一次高三数学考试中尝试采用AI辅助阅卷，阅卷后，成绩分布如下：分数人数205575375032512525为了保证阅卷的准确性，需要从AI批阅试卷的样本中随机抽取试卷进行人工复批．若抽到试卷分数低于90分，则复批的概率为；若抽到试卷分数不低于90分而低于120分，则复批的概率为；若抽到试卷分数不低于120分，则复批的概率为．若某同学试卷被复批，则AI批阅该同学试卷不低于120分的概率是________.答案：解析：思路：根据条件概率及全概率公式求解．解答过程：设该同学得分在0,90为事件，该同学得分在为事件，该同学得分在为事件，该同学试卷被复批为事件．根据已知表格中数据可得nA1=20+55+75=150，nA2所以PA1=nA又由已知得PB所以P．三、解答题15.在中，角的对边分别为．（1）证明：；（2）若，，，求的面积．答案：（1）在中，由正弦、余弦定理得.（2）解析：思路：（1）利用差角的正弦公式、正弦定理、余弦定理推理得证.（2）由（1）及已知，结合余弦定理求出及，再利用三角形面积公式求解.（1）略（2）由（1）得，又，则，而，于是（*），即，由余弦定理得，因，故，又由（*）可得，因，，则，所以的面积为.16.已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，若过点作轴的垂线交双曲线于点，则.（1）求的标准方程；（2）已知直线与双曲线交于两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程．答案：（1）（2）或.解析：思路：（1）根据弦长求出即可；（2）根据题意联立得，设，则，再由kAA2⋅（1）由题可知，则，即，解得，∴MN=2×所以双曲线；（2）由直线与双曲线联立方程组消可得：，又直线与双曲线交于两点，所以Δ=8t2设，则，因为以为直径的圆过点，所以，即k=4化简得：4t解得或，都满足，所以直线的方程为或.17.如图，在三棱柱中，平面平面，，，且，（1）证明：；（2）求点到平面的距离．答案：（1）在平面内作交于点，连接，由，，得，所以，又平面平面，平面平面，，平面，故平面，又因为平面，所以，在直角中，由，，则，即，在中，由，，，所以，故，又，且，、平面，故平面，因为平面，所以；（2）解析：思路：（1）作，进而得到，再由面面垂直的性质得到平面，则，然后证明平面即可求解；（2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再利用空间向量法求点到面的距离即可．（1）略（2）由（1）知平面，，故以点为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，故、、、、，得到，，，则，设为平面的一个法向量，则n⋅AB解得x=1,z=−4因为CC1=AA1=由点到平面的距离公式得d=18.近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（ArtificialIntelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄都位于，得到如下直方图：（1）利用直方图中的数据，求的值，并估计该AI工具用户的平均年龄；（2）已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列及其期望；（3）已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，当t变化时，要使得恰好答对3个问题的概率取到最大值，求此时的取值．答案：（1），（2）（3）01234解析：思路：（1）根据频率分布直方图的特征求即可，利用平均数的求解公式求解即可；（2）根据题意得到各组抽取的人数，进而可知的所有可能取值为0，1，2，3，4，结合组合数求出对应概率，列出分布列并得到期望即可；（3）由题可得恰好答对3个问题的概率为，设，求出ft+1ft，进而分析得出最值及（1）根据频率直方图的性质可得10×m+5m利用中点值可估计平均年龄为；（2）由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有（人），年龄在第二组内有512×12=5人，年龄在第三组内有312年龄在第四组内有212×12=2