2025-2026学年广东省珠海市斗门第一中学高一下册期中阶段考试数学试题 含解析

/数学满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.1.下列函数中，最小正周期是的奇函数为（）A. B. C. D.2.已知复数满足，则（）A.1 B. C. D.53.如图，这是水平放置的四边形，按照斜二测画法画出的直观图，其中，，，，则四边形的周长是（）A.8 B. C. D.4.已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（）A. B. C.2 D.15.已知，且，则的值为（）A. B. C. D.6.如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（）A. B. C. D.7.记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（）A. B. C. D.8.三棱锥满足，且，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设复数在复平面内对应的点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（

）A.若，则点的集合所构成的图形的面积为B.若点坐标为，且是实系数方程的一个根，则C.若，则或D.若是纯虚数，则的共轭复数10.如图，正方体的棱长为6，，，分别为，AD，的中点，则（）A.直线平面 B.平面平面C.三棱锥的体积为18 D.平面截正方体所得的截面是等腰梯形11.如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（）A. B.C. D.的最小值是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面内向量，，若和垂直，则的值为______.13.______．14.在中，是边BC的中点，是的外接圆圆心，则_____________．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量，，．(1)求；(2)求满足的实数m，n；(3)若，求实数k.16.如图，在正方体中，分别是棱的中点，.（1）求证：平面平面；（2）已知正方体的棱长为2，求平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比.17.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式，并求出的对称轴；（2）先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，请写出的解析式，并求出在上的最大值和最小值.18.如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，即，为侧棱的中点，平面平面.（1）证明：平面；（2）证明：；（3）侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，试说明理由.19.在中，内角，，的对边分别为，，，满足.（1）证明：；（2）已知点为边BC上一点，AD为的平分线，若，，求以及AD的值；（3）若为锐角三角形，求的取值范围.

数学满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.1.下列函数中，最小正周期是的奇函数为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据周期公式结合周期定义求各函数的周期，再根据奇函数的定义判断即可.解答过程：函数的周期为，设，函数的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以函数为奇函数，A正确；函数的周期为，设，函数的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以函数为偶函数，B错误；函数的周期为，C错误；设，函数的定义域为，定义域关于原点对称，则，故函数的周期为，又，所以函数为偶函数，D错误；故选：A.2.已知复数满足，则（）A.1 B. C. D.5答案：B解析：思路：根据复数的除法运算求得复数z，根据复数模的计算即可得答案.解答过程：由得，故，故选：B3.如图，这是水平放置的四边形，按照斜二测画法画出的直观图，其中，，，，则四边形的周长是（）A.8 B. C. D.答案：C解析：思路：根据直观图恢复至原图求各边长再求原四边形的周长即可.解答过程：由直观图画出原图，得且即，则四边形是一个直角梯形.过点作的垂线交于点，则，得.所以四边形的周长为.故选：C.4.已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（）A. B. C.2 D.1答案：D解析：思路：根据投影向量的概念列式，化简得到，结合、的坐标建立关于的方程，解出值，进而求出的值．解答过程：根据题意，可得，可得，因为，，所以，解得，可得．故选：D．5.已知，且，则的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据同角三角函数基本关系得出的值，再用两角差的余弦公式即可解题.解答过程：因为，所以，又，所以，所以.故选：D方法提示：方法点睛：该题考查的是有关三角函数求值问题，解题方法如下：（1）利用同角三角函数关系式，结合角的范围，求得的值；（2）凑角，利用差角余弦公式求得结果.6.如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意，在直角和直角中，分别求得和，再在中，利用余弦定理，即可求解.解答过程：由题意，可得，且，在中，可得，在中，可得，在中，由余弦定理得，所以.故选：C.7.记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据正弦定理结合二倍角的正弦公式可求的正弦和余弦，再根据三角变换公式求得，从而可求三角形的面积.解答过程：在中，由正弦定理得，即，解得，而为三角形内角，所以，，，所以。则.故选：B.8.三棱锥满足，且，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先由底面三角形的已知边角求出其外接圆半径，结合侧棱相等得到高，再利用球心在高的线上且到顶点和底面顶点距离相等求出球半径，最后计算表面积.解答过程：设点在底面的投影为，因为，所以点是的外心，则，且底面，球心在上，由正弦定理得外接圆的直径径，解得半径，即，则，设，外接圆半径为，则，则，且，则，解得，则外接球半径，则三棱锥外接球的表面积为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设复数在复平面内对应的点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（

）A.若，则点的集合所构成的图形的面积为B.若点坐标为，且是实系数方程的一个根，则C.若，则或D.若是纯虚数，则的共轭复数答案：AB解析：思路：对于AC，根据复数的模长，以及其几何意义，可得正误；对于B，由点的坐标写出复数，代入方程，建立方程组，可得正误；对于D，根据复数的除法，结合纯虚数以及共轭复数的定义，可得正误.解答过程：对于A，因为，则点的轨迹是两个圆心为原点，半径分别为的圆形成的圆环，则点的集合所构成的图形的面积为，A正确；对于B，因为是实系数方程的一个根，所以，则，所以，解得，则，B正确；对于C，由，点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，圆上的点对应复数有无数个，C错误；对于D，是一个纯虚数，则，即，则，所以，D错误.故选：AB.10.如图，正方体的棱长为6，，，分别为，AD，的中点，则（）A.直线平面 B.平面平面C.三棱锥的体积为18 D.平面截正方体所得的截面是等腰梯形答案：ACD解析：思路：对于A，取的中点，证明平面平面从而证明直线平面；对于B，由A知平面，经过的平面有且仅有一个平行于平面，即可判断；对于C，根据即可判断；对于D，根据可确定截面为梯形，再证明即可判断.解答过程：对于A，取的中点，连接，，，则四边形为平行四边形，所以，又平面BMN，平面，所以平面，因为点，为，的中点，所以，又，所以，由，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，故A正确；对于B，由A可知，平面，经过的平面有且仅有平面平面，因为平面与平面不是一个平面，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，如图，连接，，由四边形为平行四边形得，因为，所以，所以，，，四点共面，所以平面BMN截正方体所得的截面是梯形，由题意得，，所以梯形为等腰梯形，故D正确.11.如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（）A. B.C. D.的最小值是答案：ABD解析：思路：利用基底表示向量判断A；利用数量积的运算律及夹角公式求解判断B；利用共线向量定理推论求解判断C；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断D.解答过程：对于A，由，得，则，A正确；对于B，令，在等边中，，由选项A得，，，，，因此，B正确；对于C，由选项A知，，而，，则，而共线，因此，即，C错误；对于D，由选项C知，，，当且仅当时取等号，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面内向量，，若和垂直，则的值为______.答案：##解析：解答过程：由题意可得，，因为和垂直，所以，即，化简得，解得.13.______．答案：解析：解答过程：.14.在中，是边BC的中点，是的外接圆圆心，则_____________．答案：##解析：思路：设，分别为的中点，连接，，利用向量的线性运算以及数量积的定义将转化为，即可求得答案.解答过程：由题意知的外接圆圆心为，为的中点，则；设，分别为，的中点，连接，则，，，结合，，可知，,故，即.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量，，．(1)求；(2)求满足的实数m，n；(3)若，求实数k.答案：(1)(2)(3)解析：思路：(1)由已知向量的坐标即可求出的坐标；(2)把的坐标求出，再利用向量相等，即可求出实数,.(3)分别写出与的坐标，再利用向量平行的条件即可求得实数k.解答过程：（1）（2）∵，∴．∴解得（3）∵．∴,∴.方法提示：本题主要考查的是向量的坐标运算，以及向量相等、向量平行的应用，是基础题.16.如图，在正方体中，分别是棱的中点，.（1）求证：平面平面；（2）已知正方体的棱长为2，求平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）连接，得到，证得平面和平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面.（2）求得正方体体积为，利用锥体和台体的体积公式，分别求得三棱锥的体积为和三棱台的体积为，得到夹在平面与平面之间的几何体的体积，即可求解.（1）证明：连接，因为分别是棱的中点，所以，因为平面，平面DBEF，所以平面；连接，则，且，可得四边形为矩形，所以，又因为平面，平面，所以平面，因为，且平面，所以平面平面.（2）解：由正方体的棱长为2，可得正方体体积为,三棱锥的体积为,三棱台的体积为则夹在平面与平面之间的几何体的体积为,所以平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比为.17.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式，并求出的对称轴；（2）先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，请写出的解析式，并求出在上的最大值和最小值.答案：（1），对称轴方程为，.（2），最小值，最大值解析：思路：（1）根据图象可得，再由周期可求出，再代入点坐标可求得解析式，即可求得对称轴方程；（2）利用图象平移规则求出的解析式，再由函数单调性可求得最大值和最小值.（1）由图象可知，设函数的最小正周期为，则，故，又，所以，将点代入，得，即，所以，，即，，又，故，所以，令，，得的对称轴方程为，.（2）先把的图象向右平移个单位得到的图象对应的解析式为，再向下平移1个单位，得到的图象对应的解析式为，，则，∴当，即时，取得最小值，此时；∴当，即时，取得最大值，此时；18.如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，即，为侧棱的中点，平面平面.（1）证明：平面；（2）证明：；（3）侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，试说明理由.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在，解析：思路：（1）连接交于点，连接，证明即可得证；（2）证明平面，利用线面平行的性质即可证明；（3）过作的平行线交于，求出，证明平面，再根据平面即可得到平面平面，即可得到平面.（1）连接交于点，连接，∵四边形为正方形，∴点为的中点，又为的中点，，平面PAC，平面，平面.（2），平面，平面，平面，又平面，平面平面，.（3）在侧棱上存在一点，使平面，满足.理由如下：由，为中点得，过作的平行线交于，连接，，由于，则，，平面，平面，平面，由（1）知平面，又，平面，∴平面平面，又平面，平面，所以侧棱上存在一点，使得平面，且.19.在中，内角，，的对边分别为，，，满足.（1）证明：；（2）已知点为边BC上一点，AD为的平分线，若，，求以及AD的值；（3）若为锐角三角形，求的取值范围