2025-2026学年广西壮族自治区桂林市十二县联考高二下册5月期中数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设等差数列的前项和为，已知，则（）A.272 B.270 C.157 D.1532.已知函数在处可导，且，则（）A.8 B. C. D.23.已知抛物线上一点到焦点的距离是6，则其准线方程为（）A. B.C. D.4.在等比数列中，，，则（）A. B.C.或 D.或5.已知函数，则（）A. B. C.1 D.6.已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A. B. C.1 D.7.如图，一圆形信号灯分成四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（）A.18 B.24 C.30 D.428.对于三次函数，给出如下定义：设是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（）A.2026 B.2025 C.1012 D.1013二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（）A. B.C. D.10.下列说法正确的是（）A.一组样本数据，，…，的平均数等于，，…，的平均数B.样本数据1，1，1，0，2的标准差大于方差C.若随机变量服从二项分布，则D.若随机变量服从正态分布，且，则11.过点且与曲线相切的直线方程可能为（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，常数项为______．（用数字作答）13.已知数列的递推公式，且首项，则______．14.已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数在处取得极值，其中．（1）求的值；（2）当时，求的最大值和最小值．16.已知正项数列的前n项和为，且.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.17.如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，M，N分别为，AD的中点．（1）证明：平面BDM．（2）求平面BDM与平面夹角的余弦值．18.已知双曲线C的中心在原点，是C的一个顶点，是C的一条渐近线.（1）求C的方程；（2）设，为的右支上动点，当取得最小值时，求四边形的面积；（3）若过点的直线与C交于，两点（都异于点），证明.19.已知函数．（1）若，证明：：（2）若，都有，求实数的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设等差数列的前项和为，已知，则（）A.272 B.270 C.157 D.153答案：D解析：思路：根据下标和性质及等差数列求和公式计算可得.解答过程：因为，所以，故．故选：D2.已知函数在处可导，且，则（）A.8 B. C. D.2答案：A解析：思路：根据导数的定义，对式子变形，求出答案.解答过程：由题意知：，即，故选：A．3.已知抛物线上一点到焦点的距离是6，则其准线方程为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据抛物线的性质得出，求出值，即可得到抛物线的准线方程.解答过程：由题可得，解得：，所以抛物线的准线方程为故选：A4.在等比数列中，，，则（）A. B.C.或 D.或答案：B解析：思路：设出公比，得到，故.解答过程：设的公比为，则，则.故选：B5.已知函数，则（）A. B. C.1 D.答案：D解析：思路：求出导函数，令即可得．解答过程：由已知，所以，即．故选：D．6.已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A. B. C.1 D.答案：C解析：思路：根据球的表面积和的面积可求得球的半径和外接圆半径，由球的性质可知所求距离.解答过程：设球的半径为，则，解得.设外接圆半径为，边长为，是面积为的等边三角形，，解得：，，球心到平面的距离.故选：C.方法提示：本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.7.如图，一圆形信号灯分成四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（）A.18 B.24 C.30 D.42答案：A解析：思路：根据涂色问题，按照使用颜色种数进行分类，再结合分步计数原理，即可得总的方法数.解答过程：若用3种不同的颜色灯带，故有两块区域涂色相同，要么，要么相同，有2种方案，则不同的信号数为；若只用2种不同的颜色灯带，则颜色相同，颜色相同，只有1种方案，则不同的信号数为；则不同的信号总数为.故选：A．8.对于三次函数，给出如下定义：设是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（）A.2026 B.2025 C.1012 D.1013答案：B解析：思路：先求得的对称中心，然后利用倒序相加法求得正确答案.解答过程：因为，所以，g″x=12令，解得，而，则的图象关于点对称，所以，则g=.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（）A. B.C. D.答案：ABC解析：思路：结合原函数与导函数的关系依次判断即可．解答过程：对于A，有可能二次函数为原函数，直线为导函数，原函数先增后减，导函数先正后负，符合要求，故A正确；对于B，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故B正确；对于C，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故C正确；对于D，无论谁作导函数，谁作原函数，都无法同步，故D错误.故选：ABC.10.下列说法正确的是（）A.一组样本数据，，…，的平均数等于，，…，的平均数B.样本数据1，1，1，0，2的标准差大于方差C.若随机变量服从二项分布，则D.若随机变量服从正态分布，且，则答案：BCD解析：思路：A选项由平均数公式得到两组数据的平均数的关系，然后比较即可；B选项先求出数据的平均数，然后分别求出方差和标准差即可；C选项由二项分布得到结合对应的方差公式即可得到；D选项由正态分布的对称性得到，即可求出.解答过程：A选项：设，则，所以A选项错误；B选项：这组数据的平均数，所以方差，标准差，∴，即标准差大于方差，B选项正确；C选项：由可知，所以，C选项正确；D选项：由可知，∴由对称性可得，∴，D选项正确.故选：BCD.11.过点且与曲线相切的直线方程可能为（）A. B.C. D.答案：BC解析：思路：借助导数的几何意义计算即可得.解答过程：设切点为，又，所以，所以曲线在点处的切线方程为，所以，整理得，解得或，即切线方程为或．故选：BC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，常数项为______．（用数字作答）答案：448解析：思路：由题可得展开式通项，令的指数为0，可得常数项为第几项，即可得答案.解答过程：展开式的通项为，令，解得，故常数项为．故448.13.已知数列的递推公式，且首项，则______．答案：##解析：思路：利用递推公式逐项计算可得出的值.解答过程：因为数列的递推公式，且首项，则，，.故答案为.14.已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围______．答案：解析：思路：由题意，即，构造函数，利用导数求出最大值即可.解答过程：存在，使得可得，构造函数，其中，则，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，则，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数在处取得极值，其中．（1）求的值；（2）当时，求的最大值和最小值．答案：（1）（2）最大值为4，最小值为解析：思路：（1）通过对原函数求导，利用题设条件，列出方程组，求得的值，回代解析式验证即得；（2）根据（1）求得的函数解析式，求导讨论函数单调性，推得时，函数有极小值，也是最小值，无极大值，结合区间端点值比较求得函数最大值.（1）由求导得，依题意可知，即，解得，此时，，由求得或，当时，，函数递增，当时，函数递减，故时，函数取得极大值，故.（2）由（1）得，令解得或，因，故当时，函数递减，当时，函数递增，当时，取得极小值，无极大值，所以，所以在区间上，的最大值为或，而．所以在区间上的最大值为4，最小值为．16.已知正项数列的前n项和为，且.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据与的关系，利用作差法得到，结合等差数列的定义求解即可.（2）求出，采用裂项相消法求解即可.（1）由，可得，，两式相减得，.因为是正项数列，所以，所以，即，.由a12+2a1所以是以3为首项，2为公差的等差数列，则.满足上式，因此.（2）由（1）得，所以T=117.如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，M，N分别为，AD的中点．（1）证明：平面BDM．（2）求平面BDM与平面夹角的余弦值．答案：（1）详见解析（2）解析：思路：（1）由题意可得，以D为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法可证明平面，从而得证.（2）利用向量法求解即可.（1）连接，由四边形是菱形，，∴是等边三角形，又E是的中点，则，故，在直四棱柱中，平面，而平面，平面，所以，所以两两互相垂直，以D为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，则，所以，令，则，即，而，又平面，∴平面．（2）由（1）知平面的一个法向量，结合图形可知平面的一个法向量可以为，设平面与平面所成角为，则∴平面与平面所成角的余弦值为．18.已知双曲线C的中心在原点，是C的一个顶点，是C的一条渐近线.（1）求C的方程；（2）设，为的右支上动点，当取得最小值时，求四边形的面积；（3）若过点的直线与C交于，两点（都异于点），证明.答案：（1）（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）根据顶点设双曲线标准方程，结合渐近线确定参数，直接写出方程.（2）将点坐标代入双曲线方程消元，把转化为关于的二次函数求最小值，再用分割法（）计算四边形面积.（3）设直线的方程为，与双曲线联立后用韦达定理表示、，通过计算向量证明垂直.（1）因为双曲线C的中心在原点O，C的一个顶点是，所以设C的方程为，C的渐近线方程为.因为是C的一条渐近线，所以，所以C的方程为.（2）依题意，设，则，即，所以|，当时，，此时.连接OM，则四边形ODMP的面积，即四边形ODMP的面积为.（3）显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为.由消去x得，当时，恒成立.设，，则，.因为，，所以，