2025-2026学年广西壮族自治区梧州市高一下册4月阶段测试数学试题 含解析

/数学满分150分，考试时间120分钟一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.是（）A.第三象限角 B.第二象限角 C.第一象限角 D.不能确定2.已知角终边上一点，则（）A. B. C. D.3.已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（）A. B. C. D.4.下列说法正确的是（）A.若，则 B.零向量的长度是0C.长度相等的向量叫相等向量 D.共线向量是长度相等的向量5.已知，若，则＝（）A. B. C. D.6.曲线与直线的交点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.47.已知函数．设甲：，乙：是偶函数，则（）A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件8.关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列结论中正确的是（）A.B.若是第三象限角，则C.若角的终边过点，则D.10.大自然中充满了各种声音，有的美妙无比，有的尖利嘈杂，那是因为声音中包含着正弦函数，一个纯音的数学模型是函数为非零常数，为变量），而我们平时所听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则（）A.的最小正周期为 B.的图像关于点对称C.在区间上单调递增 D.在区间上有2024个零点11.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则，下列说法中正确的是（）A.关于的函数是偶函数B.若在时刻，游客甲距离地面的高度相等，则的最小值为30C.摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟D.若甲、乙两游客分别坐在两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧的弧长米三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.函数的最小正周期是_____.13.已知在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是________．14.已知，是关于x的方程的两个根，则________．（用数字作答）四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知中，，，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点．（1），表示向量，；（2）判断M，N，C三点的位置关系，并证明．16.已知.（1）求的值；（2）若，，，求的值.17.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：00200（1）请求出表格中，，的值，并求函数的解析式；（2）将函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，得到函数，求函数成立的的取值集合．18.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数（ⅰ）求的单调区间；（ⅱ）若且，求的最大值．19.已知函数.（1）当，时，求在上的最小值；（2）当时，方程在内有两个不相等的实数根，.（i）求实数的取值范围；（ii）证明.

数学满分150分，考试时间120分钟一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.是（）A.第三象限角 B.第二象限角 C.第一象限角 D.不能确定答案：A解析：解答过程：与终边相同的最小正角为位于第三象限，所以是第三象限角.2.已知角终边上一点，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：角终边上一点，设原点为O，则,则.3.已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据弧长公式及扇形面积公式计算求解.解答过程：弧所对的圆心角为，设扇形所在圆的半径为，则弧长为，所以该弧所在的扇形面积为.故选：A.4.下列说法正确的是（）A.若，则 B.零向量的长度是0C.长度相等的向量叫相等向量 D.共线向量是长度相等的向量答案：B解析：解答过程：对于A，若，则与的模相等，但方向无法确定，故A错误；对于B，零向量的长度是0，故B正确；对于C，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故C错误；对于D，方向相同或相反的向量称为共线向量，规定零向量与任意向量共线，故D错误.5.已知，若，则＝（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据诱导公式求出，再根据同角三角函数关系求出，利用两角差的余弦公式即可求解.解答过程：因为，，所以，，又因为，所以，，所以.6.曲线与直线的交点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：思路：构造函数，利用导数探讨在区间上的单调性，再利用零点存在性定理确定零点个数即可.解答过程：函数在R上单调递减，当时，；当时，，由，得，因此曲线与直线的交点横坐标必在上，令，，求导得，由，得，存在，使得，当或时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，又，，因此函数在上各有一个零点，所以曲线与直线的交点个数为3.故选：C7.已知函数．设甲：，乙：是偶函数，则（）A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件答案：C解析：思路：先由推出，即得，再分和两种情况分析函数均为偶函数推得充分性成立，易得必要性成立，故得结论.解答过程：若，则，则或，由可得，显然不成立；由，解得，此时，①当时，，由，即函数是偶函数；②当时，，由，即函数是偶函数.综上可得充分性成立；若是偶函数，因函数的定义域为，则必有，必要性成立.故甲是乙的充要条件.故选：C.8.关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据同角三角函数关系式和二次函数的性质计算即可.解答过程：因为，所以.因为，所以.故选：A．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列结论中正确的是（）A.B.若是第三象限角，则C.若角的终边过点，则D.答案：ABD解析：思路：对于A：根据弧度制与角度制之间的转化分析判断；对于B：根据象限角三角函数值的正负性分析判断；对于C：根据任意角三角函数值的定义运算求解；对于D：根据倍角公式分析判断.解答过程：对于选项A：，故A正确；对于选项B：若是第三象限角，则，故B正确；对于选项C：若角的终边过点，则，故C错误；对于选项D：，故D正确.10.大自然中充满了各种声音，有的美妙无比，有的尖利嘈杂，那是因为声音中包含着正弦函数，一个纯音的数学模型是函数为非零常数，为变量），而我们平时所听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则（）A.的最小正周期为 B.的图像关于点对称C.在区间上单调递增 D.在区间上有2024个零点答案：BC解析：思路：根据周期的定义即可计算求解A，根据即可求解B，根据整体法即可求解C，根据函数的周期性即可求解D.解答过程：函数，对于A:，故A错误；对于B：，故的图像关于点对称，B正确，对于C，当，则，故均在单调递增，故函数在单调递增，C正确，对于D，令，故或，在故在区间,上有,共2个零点，而均为周期为的周期函数，故在区间上有2024个零点，又，故在有2025个零点，D错误，故选：BC11.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则，下列说法中正确的是（）A.关于的函数是偶函数B.若在时刻，游客甲距离地面的高度相等，则的最小值为30C.摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟D.若甲、乙两游客分别坐在两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧的弧长米答案：BCD解析：思路：对A，先根据题意确定各参数的值，再根据三角函数的奇偶性判断即可；对B，根据代入解析式可得，或，进而可判断；对C，求解即可；对D，由题意每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，进而可得劣弧的弧长.解答过程：对A，由题意，，所以，当时，可得，所以，故，所以是非奇非偶函数，故A错误；对B，由题意，即，即，所以，或，，即或，，故B正确；对C，由题意，即，即，所以，，解得.所以摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟，故C正确；对D，因为摩天轮的圆周上均匀地安装着36个座舱，故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，因为两个座舱相隔5个座舱，所以劣弧对应的圆心角是，故（m）.故D正确.故选：BCD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.函数的最小正周期是_____.答案：解析：思路：本题可根据三角函数周期计算公式得出结果.解答过程：函数的最小正周期，故答案为.13.已知在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是________．答案：解析：思路：求出零点表达式，结合零点个数及零点与区间的关系可得答案.解答过程：令得，，即；当时，，不合题意；当时，；当时，；当时，；当时，；因为函数在区间上有且仅有3个零点，所以，解得的取值范围是.14.已知，是关于x的方程的两个根，则________．（用数字作答）答案：解析：思路：利用韦达定理，结合三角函数的平方关系求解.解答过程：，是关于x的方程的两个根，，解得或，且，，，，，，或，，.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知中，，，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点．（1），表示向量，；（2）判断M，N，C三点的位置关系，并证明．答案：（1），（2），，三点共线．证明见解析解析：思路：（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；（2）首先表示出，即可得到，从而得证；（1），因为．所以.（2），，三点共线．证明如下;由于，所以，所以，因为为公共点，所以，，三点共线．16.已知.（1）求的值；（2）若，，，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据齐次式代值即可求解；（2）先根据同角三角函数的基本关系，结合题设求得，，再结合两角差的正弦公式求解即可.（1）由，则.（2）因为，，所以，且，由，且，解得，而，则，所以.17.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：00200（1）请求出表格中，，的值，并求函数的解析式；（2）将函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，得到函数，求函数成立的的取值集合．答案：（1），，；（2）解析：思路：（1）利用五点法的性质可知是正弦函数的三个零点和最高点及最低点，从而可求得振幅，周期及初相，即可求得函数的解析式，进而求出m，n，p的值；（2）利用平移可得函数解析式，再利用余弦函数的性质来求解即可.（1）由表格中函数最大值为，最小值为，得振幅；五点法中，对应的，对应的，两者间隔为半个周期：，可得周期，因此；将，，代入得：，解得，满足，因此函数解析式为：，则；；；（2）将向右平移个单位，可得：，令，因此，即得，即，函数成立的的取值集合为.18.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数（ⅰ）求的单调区间；（ⅱ）若且，求的最大值．答案：（1）（2）（ⅰ）答案见解析，（ⅰⅰ）解析：思路：（1）设的最小正周期为，过点和，这两个点之间的图像大于1个周期且小于2个周期，且，，解得，结合正弦函数的图像可得，计算出的值，从而得到的表达式；（2）（ⅰ）利用图像的变换求出，利用正弦函数的图像和性质求出单调性；（ⅱ）由得到或，由得到取最大值和取最小值，从而得到的最大值.（1）