2025-2026学年贵州毕节市实验高级中学高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合．则（）A. B. C. D.2.下列求导运算正确的是（）A.cos3′=−sinC.e2x−1'3.“”是的（）条件A.充要条件 B.必要不充分 C.充分不必要 D.既不充分也不必要4.展开式中的二项式系数和为512，则展开式常数项为（）A.84 B.28 C.28 D.845.现有3名同学站成一排，再将甲、乙2名同学加入排列，保持原来3名同学顺序不变，不同的方法共有（）A.12种 B.20种 C.6种 D.8种6.已知直线，，若，则实数等于（）A.0 B.1 C. D.1或7.把14个相同的球全部放入编号为1、2、3的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，则不同的放入方法种数为（）A.36 B.45 C.72 D.1658.已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于的展开式，下列结论正确的是（）A.展开式共有项 B.展开式的第项系数为C.展开式的所有项的系数之和为 D.展开式的所有二项式系数之和为10.某学生在物理，化学，生物，政治，历史，地理这六门课程中选择三门作为选考科目，则下列说法正确的是（）A.若任意选择三门课程，则总选法为B.若物理和历史至少选一门且不能同时选，则总选法为C.若物理和历史不能同时选，则总选法为D.若物理和历史至少选一门，则总选法为11.已知函数，下列说法中正确的有（）A.函数的极小值为B.函数在点处的切线方程为C.D.若曲线与曲线无交点，则的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从名志愿者中选人分别从事司机、导游、导购、保洁四项不同的工作．若其中甲、乙两名志愿者没有驾照不能从事司机工作，则选派方案共有___________种.13.已知函数在处取极值，且，则的值为____.14.已知点在双曲线：上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求函数的极值；（2）求函数在上的最大值和最小值．16.已知等差数列的各项均为正数，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的通项公式及其前项和.17.如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）求点到平面的距离．18.已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点，求面积的最大值．19.设函数.（1）讨论的单调性；（2）若，证明：当时，.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合．则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为A=1, 2, 2.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：对于A，，所以A错；对于B，x−1对于C，e2对于D，xln3.“”是的（）条件A.充要条件 B.必要不充分 C.充分不必要 D.既不充分也不必要答案：B解析：解答过程：由，可得α=π6+2kπ，或反之，由，可得，所以必要性成立，所以是的必要不充分条件.4.展开式中的二项式系数和为512，则展开式常数项为（）A.84 B.28 C.28 D.84答案：D解析：解答过程：因为展开式中所有二项式系数和为，所以，解得，二项展开式的通项为Tr令，即，所以展开式中的常数项为T75.现有3名同学站成一排，再将甲、乙2名同学加入排列，保持原来3名同学顺序不变，不同的方法共有（）A.12种 B.20种 C.6种 D.8种答案：B解析：思路：依题意，先安排甲同学的位置，再安排乙同学的位置，最后根据分步乘法计数原理计算出总的方法数.解答过程：原来名同学站成一排，有个空位可以插入甲同学，所以甲同学有种不同的排法.

当甲同学插入后，此时包括原来名同学和甲同学一共有个人，这个人形成了个空位，所以乙同学有种不同的排法.

故完成将甲、乙名同学加入排列这件事，分两步：第一步甲同学有种排法，第二步乙同学有种排法，那么根据分步乘法计数原理，不同的方法共有（种）.

故选：B.6.已知直线，，若，则实数等于（）A.0 B.1 C. D.1或答案：C解析：思路：由题意可得，则由得，从而可求出的值解答过程：由题意可得，因为，，，所以，解得，故选：C7.把14个相同的球全部放入编号为1、2、3的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，则不同的放入方法种数为（）A.36 B.45 C.72 D.165答案：B解析：思路：根据题意，首先在13个球种取出1个球放到编号为2的盒子里，再取出2个球放在编号为3的盒子里，将原问题转化为“将剩下的10个球，分为3组，每组至少一个，分别放到三个盒子里”，用挡板法分析：将10个球排成一列，排好后，有9个空位，在9个空位中任取2个，插入挡板，由组合数公式计算可得答案．解答过程：解：根据题意，先在14个球种取出1个球放到编号为2的盒子里，再取出2个球放在编号为3的盒子里，此时只需将剩下的11个球，分为3组，每组至少一个，分别放到三个盒子里即可；将11个球排成一列，排好后，有10个空位，在10个空位中任取2个，插入挡板，有种方法，即有45种将11个球分为3组的方法，将分好的3组对应3个盒子，即可满足盒内的球数不小于盒号数，则盒内的球数不小于盒号数的放入方法有45种，故选：．方法提示：本题考查排列、组合的运用，解答的关键在于将原问题转化为11个球的分组问题，用挡板法进行分析．8.已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.解答过程：∵球的体积为，所以球的半径,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以当且仅当取到，当时，得，则当时，球心在正四棱锥高线上，此时，，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于的展开式，下列结论正确的是（）A.展开式共有项 B.展开式的第项系数为C.展开式的所有项的系数之和为 D.展开式的所有二项式系数之和为答案：ACD解析：思路：根据二项式展开式的相关概念和性质，分别对各选项进行分析判断.解答过程：展开式共有101项，A正确；展开式的第2项系数为，B错误；令，得展开式的所有项的系数之和为，C正确；展开式的所有二项式系数之和为，D正确.故选：ACD.10.某学生在物理，化学，生物，政治，历史，地理这六门课程中选择三门作为选考科目，则下列说法正确的是（）A.若任意选择三门课程，则总选法为B.若物理和历史至少选一门且不能同时选，则总选法为C.若物理和历史不能同时选，则总选法为D.若物理和历史至少选一门，则总选法为答案：ABC解析：思路：根据题意及组合数的求法判断A；先从物理和历史中选择一门，再从剩余的四门中选择两门判断B；先求出六门中任意选择三门课程的方法，再求出物理和历史同时选择的求法判断C；分别分析物理和历史选择一门及选择两门两种情况，计算分析判断D.解答过程：A：从六门中任意选择三门课程，总选法为，故A正确；B：物理和历史中选择一门，有种方法，再从剩余的四门中选择两门，有种方法，则总选法为，故B正确；C：从六门中任意选择三门课程，总选法为，物理和历史同时选择，有种方法，则总选法为，故C正确；D：若物理和历史选择一门，则有种方法，若物理和历史全部选择，有种方法，则总选法为，故D错误.11.已知函数，下列说法中正确的有（）A.函数的极小值为B.函数在点处的切线方程为C.D.若曲线与曲线无交点，则的取值范围是答案：BCD解析：思路：利用导数讨论的单调性判断A；由导数的意义得到切线的斜率，再由点斜式求出切线方程可判断B；利用的单调性判断C；将问题转化为无解，从而可判断D.解答过程：A：，令，所以当时，，为单调递增函数；当时，，为单调递减函数；则函数的极大小值为，故A错误；B：，又，则函数在点处的切线方程为，即，故B正确；C：因为在上单调递减，所以，即，所以，则，故C正确；D：两曲线无交点等价于方程无解，显然，即无解，即无解，因此比函数的最大值还大，即，故，故D正确.故选：BCD.方法提示：关键点点睛：本题D选项的解决关键，在于将两曲线无交点转化为方程无根，再利用选项A中的结论即可得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从名志愿者中选人分别从事司机、导游、导购、保洁四项不同的工作．若其中甲、乙两名志愿者没有驾照不能从事司机工作，则选派方案共有___________种.答案：解析：解答过程：由于甲、乙不能从事司机工作，因此司机工作从余下的名志愿者中选人，有种选法．后面三项工作的选法有种，因此共有种不同的选派方案．13.已知函数在处取极值，且，则的值为____.答案：解析：思路：根据题意得出，求出、的值，再结合函数极值点的定义进行检验，即可得出的值.解答过程：因为，所以，因为函数在处取极值，且，所以，解得或，当，时，，，此时函数有极值点；当，时，，此时函数在上为增函数，无极值点.所以，，故.14.已知点在双曲线：上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______.答案：解析：思路：设双曲线上的点，可得，利用点到直线的距离公式可求得，由恒成立可得，从而可求得离心率的取值范围.解答过程：双曲线：的两条渐近线的方程为和，点到两条渐近线的距离之积为，而恒成立，又因为的最小值为，故只需，又点满足双曲线的方程，，，即，则的离心率，.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求函数的极值；（2）求函数在上的最大值和最小值．答案：（1）极小值为，极大值为0（2），.解析：思路：（1）求出导函数，再列表得出函数单调性及函数的极值；（2）求出导函数，再列表得出函数单调性及函数的极值比较得出函数最值；（1）定义域，令，，0200单调递减极小值单调递增极大值0单调递减当时，有极小值，极小值为；当时，有极大值，极大值为．（2）所以，.．023

00

16单调递减极小值单调递增极大值0单调递减16.已知等差数列的各项均为正数，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的通项公式及其前项和.答案：（1）（2），解析：思路：（1）由已知求出等差数列的公差，公式法得数列通项；（2）由累乘法求出的通项公式，裂项相消求其前项和.（1）设等差数列的公差为，由，得，解得，所以的通项公式为.（2）由得，，所以，又，所以.由，得.17.如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）求点到平面的距离．答案：（1）见解析（2）（3）2解析：思路：（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的运算性质，结合线面垂直的判定定理进行计算证明即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可；（3）利用空间向量夹角公式，结合锐角三角函数定义进行求解即可.（1）因为平面，平面，所以，而，因此可以建立如下图所示的空间直角坐标系，则有，，，，因为，所以，而平面，，所以平面；（2）设平面的法向量为，，则有，由（1）可知平面的法向量为，所以有，所以平面与平面夹角的余弦值为；（3）由（2）可知：平面的法向量为，，所以可得：，所以点E到平面的距离为.18.已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点，求面积的最大值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据椭圆离心率以及椭圆经过的点坐标解方程组可得结果；（2）对直线斜率是否存在进行分类讨论，设直线l斜率存在时，方程为，联立直线和椭圆方程，利用弦长公式和点到直线距离公式得出面积表达式，再由函数单调性计算可得结果.（1）由离心率，可得，即，又，可得椭圆经过点，可得，解得，所以椭圆方程为.（2）当直线l斜率不存在时，易知，此时；设直线l斜率存在时，方程为，点，如下图：联立，整理得，则，所以，又点R到直线l的距离为．所以，令，则，易知，所以；综上，，的最大值.19.设函数.（1）讨论的单调性；（2）若，证明：当时，.答案：（1）答案见解析（2）证明见解析解析：思路：（1