2025-2026学年贵州省黔西南州顶兴高级中学高考考前自测数学试题 含解析

/数学一、单选题：本小题共8小题，每题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知复数，则（）A. B. C.2 D.3.已知，则（）A. B.-1 C. D.-24.二项式的展开式中，常数项为（）A.672 B.84 C. D.5.在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（）A. B. C. D.6.在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（）A. B.112 C. D.7.若直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，则（）A. B.8 C.10 D.8.现有甲､乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（）A.120种 B.96种 C.72种 D.60种二、多选题：本小题共3小题，每题6分，共18分，在每小题的选项中，有多项符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（）A.B.C.函数的图象关于直线对称D.函数在上单调递减10.已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线上一点，若，，，中有且仅有个点在双曲线上，则（）A.双曲线的渐近线斜率为B.C.的面积为D.的最小值为11.已知函数，则（）A.当时，函数有最大值B.若函数图象的对称中心为，则C.函数在上一定存在减区间D.函数可能有2个零点三、填空题：本小题共3小题，每题5分，共15分.12.已知向量，满足，且与的夹角为60°，则______．13.已知函数在处的切线方程为，则的值为______．14.已知球内切于圆台（即球与圆台的上、下底面及侧面均相切），且圆台上、下底面半径之比为2：5.设圆台的侧面积为，球的表面积为，则=__________.四、解答题:本题共5道小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.15.已知数列的首项，前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，求的前n项和．16.已知椭圆：过点，以的长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且．（1）求的方程；（2）若过点的直线与交于两点，满足直线的斜率之和为，求的面积．17.如图，在中，是的中点，是上的点，.将沿折起，使点至点处，且二面角的大小为，设是上靠近的三等分点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.18.在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验.已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人.（1）记为前3轮试验的总得分，求的数学期望；（2）设为第轮试验使用A型号机器人的概率.①求数列的通项公式；②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式.19.已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：有且只有一条直线与曲线，都相切；（3）若，是方程的两根，证明：．

数学一、单选题：本小题共8小题，每题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：已知集合，所以，即，因为，所以.2.已知复数，则（）A. B. C.2 D.答案：C解析：解答过程：因为，所以.3.已知，则（）A. B.-1 C. D.-2答案：C解析：思路：根据二倍角公式即可求解.解答过程：由题意得，由于，所以，因此且，则，故C正确.4.二项式的展开式中，常数项为（）A.672 B.84 C. D.答案：A解析：解答过程：通项公式，令，可得，所以展开式中的常数项为.5.在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据给定条件，利用三角形面积公式及正弦定理列式求解.解答过程：在中，由及的面积为，得，即，解得，由正弦定理，得，因此，所以.6.在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（）A. B.112 C. D.答案：A解析：解答过程：如图，分别为上底面和下底面的中心，连接，则底面，过点作于点，则底面，则即侧棱与底面的夹角,即，因为，所以，故，所以，故该正四棱台的体积为.7.若直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，则（）A. B.8 C.10 D.答案：C解析：思路：联立直线与抛物线方程，根据抛物线的定义结合韦达定理即可求得结果.解答过程：由题意可知，抛物线的准线为，设，则根据抛物线的定义可知.因为直线与抛物线交于，两点，所以联立方程可得，化简得.根据韦达定理得，所以.8.现有甲､乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（）A.120种 B.96种 C.72种 D.60种答案：D解析：思路：根据题意，分甲在第三个出场和甲不在第一个、第三个和最后一个出场两种情况讨论求解即可.解答过程：若甲在第三个出场，则不同的出场顺序有种；若甲不在第一个、第三个和最后一个，则不同的出场顺序有种．根据分类加法计数原理可知，不同的出场顺序共有种．二、多选题：本小题共3小题，每题6分，共18分，在每小题的选项中，有多项符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（）A.B.C.函数的图象关于直线对称D.函数在上单调递减答案：ABD解析：思路：根据图像先确定的值，根据周期得到，再代入点可得的解析式，再根据正弦型函数的性质逐项判断即可．解答过程：由题图知，，，所以，又函数的图象过点，所以，所以，，又，所以，所以，故A，B正确．由，，得函数的对称轴为直线，，故C错误．由，，得，，所以函数在区间上单调递减，故D正确．10.已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线上一点，若，，，中有且仅有个点在双曲线上，则（）A.双曲线的渐近线斜率为B.C.的面积为D.的最小值为答案：ACD解析：思路：先由双曲线对称性和“仅个点在曲线上”的条件，确定在曲线上，A不在，代入求得，得到双曲线方程及参数，，，再据此逐一验证选项：由渐近线公式判断A正确；计算，判断B错误；用坐标法或底高法计算​面积判断C正确；利用双曲线定义转化，结合三点共线求最值判断D正确．解答过程：双曲线关于原点中心对称，且关于轴，轴轴对称，因为关于轴对称，关于轴对称，关于原点对称，而与三点既不关于原点中心对称，也不关于轴，轴轴对称，所以在双曲线上，不在双曲线上，因为在双曲线上，则，化简得，解得，（舍去），所以双曲线的方程为，因此，，，对于A，渐近线方程为，斜率为，A正确；对于B，，，，，，所以，B错误；对于C，，，，的直线方程为，，到的距离，所以的面积，C正确；对于D，要使得取最小值，则点在双曲线的右支上，根据双曲线定义得，即，所以，当三点共线且在之间时，最小，，所以最小值为，D正确．11.已知函数，则（）A.当时，函数有最大值B.若函数图象的对称中心为，则C.函数在上一定存在减区间D.函数可能有2个零点答案：BC解析：思路：对于A，求导根据函数的单调性判断即可；对于B，二阶导数求对称中心横坐标或利用对称中心定义判断即可；对于C，求导，结合判别式大于零解出减区间即可判断；对于D，因式分解，结合判别式大于零进行判断即可.解答过程：对于A，当时，，当时，在上单调递增，当无限趋于正无穷大时，也无限趋于正无穷大，所以没有最大值，故A错误；对于B，法一：，令，则，结合三次函数对称性可知，，所以，故B正确；法二：若函数图象的对称中心为，则对任意实数，恒有，代入化简得，解得，故B正确；对于C，，令，解得或，当时，所以在上单调递减，故C正确；对于D，，令，又，所以有两个不为0的根，所以有3个零点，故D错误.三、填空题：本小题共3小题，每题5分，共15分.12.已知向量，满足，且与的夹角为60°，则______．答案：解析：思路：借助模长与数量积关系计算即可得.解答过程：.13.已知函数在处的切线方程为，则的值为______．答案：解析：思路：先求出函数的导数，再根据导数的几何意义以及切点同时在函数和切线上这两个条件，列出关于的方程，进而求解的值，最后计算.解答过程：根据题意，，则，又函数在处的切线方程为，所以切线斜率为，即，解得，又切点在切线上，所以当时，，即切点坐标为，又切点在函数上，所以，解得，所以.14.已知球内切于圆台（即球与圆台的上、下底面及侧面均相切），且圆台上、下底面半径之比为2：5.设圆台的侧面积为，球的表面积为，则=__________.答案：解析：思路：画出圆台的轴截面图，由几何知识可确定球的半径，再计算对应圆台的侧面积，球的表面积，即可得答案.解答过程：设上底半径，下底半径.由圆台内切球的轴截面性质知，圆台母线长，圆台的高（为球的半径）由勾股定理得：，因此球半径，所以圆台侧面积，球的表面积，所以=.四、解答题:本题共5道小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.15.已知数列的首项，前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，求的前n项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据的关系消去，得递推式，判断是等比数列，即可求得其通项；（2）先求出的通项公式，利用分组求和法与等差、等比数列求和公式求解即得.（1）由①，当时，②，①-②得，即，又∵，满足，∴是以3为首项，3为公比的等比数列，即（2）∵，∴．16.已知椭圆：过点，以的长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且．（1）求的方程；（2）若过点的直线与交于两点，满足直线的斜率之和为，求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用椭圆过得，再利用得，即可写出椭圆方程；（2）设直线方程并联立方程组，用韦达定理结合斜率之和的条件求出斜率，再用弦长和距离公式即可求出面积.（1）因为椭圆过点，所以，即，又因为以长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且，即，所以，故椭圆的方程为.（2）由（1）知，设过点的直线的方程为，设，联立方程组，代入化简得：，由韦达定理：，又因为直线的斜率为：，直线的斜率为：，且所以，解得，此时直线：，方程变为，判别式满足题意，且，此时弦长，点到直线的距离为，所以的面积为.17.如图，在中，是的中点，是上的点，.将沿折起，使点至点处，且二面角的大小为，设是上靠近的三等分点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）如图，在中，取中点，连接，因为，所以，又，所以是的中点，因为是的中点，所以，且，因为是上靠近的三等分点，所以，所以，由，平面，平面知平面，由，平面，平面知平面，因为，，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面；（2）在中，作，垂足为，在中，由是中点，，可得，将沿折起，使点至点处，且二面角的大小为，则，所以是二面角的平面角，，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以平面平面，所以平面，如图，以为原点，过平行于的直线为轴，分别为轴和轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，设平面的法向量为，因为，，所以，，取得．同样可求得平面的一个法向量，设平面与平面所成二面角为，则，故sinα=18.在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验.已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人.（1）记为前3轮试验的总得分，求的数学期望；（2）设为第轮试验使用A型号机器人的概率.①求数列的通项公式；②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式.答案：（1）（2）①②解析：思路：（1）可知随机变量的可能值为0，1，2，3，分别求其概率，进而可得期望；（2）①根据题意结合全概率公式可得，利用构造法结合等比数列求通项公式；②分析可得，利用分组求和法结合等比数列求和公式运算求解.（1）由题意可知：随机变量的可能值为0，1，2，3，若，则3轮都失败，则；若，则3轮中只有1轮成功，；若，则3轮中只有2轮成功，；若，则3轮都成功，；所以.（2）①设第轮试验使用A型号机器人为事件，则，，，由全概率公式可得，即，则，且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列，则，所以；②设第轮得分期望为，则，所以前