2025-2026学年贵州遵义市第二十三中学高二下册4月月考数学试题 含解析

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则（）A. B. C. D.2.当时，复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（）A. B. C. D.4.已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（）A. B. C. D.5.遵义市为弘扬长征精神，计划将5本不同的《红色遵义》宣传册分给甲、乙、丙三个志愿者小屋．若要求每个志愿者小屋至少得到1本，则不同的分配方法共有（）A.150种 B.180种 C.240种 D.300种6.已知正实数满足，则的最小值为（）A.2 B. C.4 D.7.在正四棱台中，侧棱与底面所成角为，且，，则该棱台的体积为（）A. B.5 C. D.8.已知椭圆，点，若上任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.关于的展开式中，正确的是（）A.二项式系数之和为 B.存在常数项C.第6项的二项式系数最大 D.各项系数之和为10.某校开展主题为“强国有我，筑梦前行”的演讲比赛，共有2位男生，3位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件表示“第一位出场的是男生”，事件表示“第二位出场的是女生”，则下列各式正确的有（）A. B.C. D.11.表示椭圆或双曲线的两个焦点，是抛物线的焦点，正确的有（）A.椭圆与双曲线有相同的焦点B.双曲线上一点，则的值为1C.抛物线上的一点，点，则的最小值为8D.若椭圆比椭圆更扁，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知向量，，若，则实数的值为___________．13.核桃（又称胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”．它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同：现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为（空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳），乙地种植的核桃空壳率为，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的，，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率是______．14.已知直线l：，若圆上存在点与关于直线l对称，则实数r的取值范围为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求m的值；（2）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品，随机变量X表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求X的分布列．16.已知函数.（1）求函数的对称轴方程和单调递减区间；（2）当时，函数的最大值与最小值的和为2，求.17.记的内角的对边分别为，已知．（1）；（2）若，，求的面积．18.如图1，平面五边形是由正和直角梯形组成的，已知，，，，以为折痕把折起，使点到达点位置，如图2．（1）若，证明：平面平面．（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．19.已知椭圆的上、下顶点分别是，，点（异于，两点）在椭圆上，直线与的斜率之积为，椭圆的短轴长为．（1）求的标准方程；（2）已知，直线与椭圆的另一个交点为，且直线与相交于点，证明：点在定直线上．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：写出集合，利用补集的定义可得集合.解答过程：因为全集，，故.2.当时，复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：根据题意，得到，结合复数的几何意义，即可求解.解答过程：由，可得，所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.3.甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：根据题意，三人的选择组合共有种，其中看同一部电影的情况有种，所以三人看同一部电影的概率为．4.已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解.解答过程：由题知对一切成立，于是.故选：A5.遵义市为弘扬长征精神，计划将5本不同的《红色遵义》宣传册分给甲、乙、丙三个志愿者小屋．若要求每个志愿者小屋至少得到1本，则不同的分配方法共有（）A.150种 B.180种 C.240种 D.300种答案：A解析：思路：先计算出将5本不同的宣传册分成3组的情况，再计算分配方式即可求出.解答过程：第一步：分组将5本不同的宣传册分成3组，每组至少1本，有以下2种情况：①3－1－1型：分组数为（种）；②2－2－1型：分组数为（种）合计：（种）．第二步：分配将分好的3组宣传册分配给甲、乙、丙三个志愿者小屋，分配方式有（种）．根据分步乘法计数原理，得不同的分配方法共有（种）．故选：A．6.已知正实数满足，则的最小值为（）A.2 B. C.4 D.答案：D解析：思路：根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.解答过程：正实数满足，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选：D7.在正四棱台中，侧棱与底面所成角为，且，，则该棱台的体积为（）A. B.5 C. D.答案：A解析：思路：先由正四棱台的侧棱与底面所成的角可得棱台的高，进而可得棱台的上底面边的长，再由棱台的体积公式可得.解答过程：如图：正四棱台中，侧棱与底面所成角为，所以.过作，且，所以四棱台的高,.而在下底面正方形中，，所以，.所以在上底面正方形中，，所以.所以棱台的上底面积，下底面积，高,所以四棱台的体积.故选：A.8.已知椭圆，点，若上任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设，利用距离公式得到，再结合恒成立，最后根据离心率的公式即可求出.解答过程：设，则，故则，，所以是关于的二次函数，开口向上，对称轴为直线，当时，即时，又因为，故此时，则在时，有最小值为，又恒成立，符合题意，则；当时，即，在时，有最小值为，又恒成立，，即，则，即，矛盾；综上，的离心率的取值范围为.故选：D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.关于的展开式中，正确的是（）A.二项式系数之和为 B.存在常数项C.第6项的二项式系数最大 D.各项系数之和为答案：ABC解析：思路：根据二项展开式二项式系数的和的性质即可判断A；写出的展开式的通项，令的幂指数，看求出的值是否满足，且，即可判断是否存在常数项；根据二项式系数的最大值的性质即可判断C；在中，令，求出展开式的各项系数之和，即可判断D.解答过程：由二项式系数的和的性质可知，在中，，所以其展开式的二项式系数之和为，故A正确；因为的展开式的通项为，令，解得.因为，且，所以满足条件，即的展开式中存在常数项，故B正确；由二项式系数的性质可知，当是偶数时，二项式系数最大的为中间一项，即，所以第6项的二项式系数最大，故C正确；在中，令，即可得展开式的各项系数之和为，故D错误.故选：ABC10.某校开展主题为“强国有我，筑梦前行”的演讲比赛，共有2位男生，3位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件表示“第一位出场的是男生”，事件表示“第二位出场的是女生”，则下列各式正确的有（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：列举所有基本事件，由古典概型概率公式，结合选项逐一求解判断即可.解答过程：记2位男生分别为，3位女生分别为，第一位出场的有5种等可能的结果，对应第一位出场的每个可能结果，第二位出场的都有4种等可能的结果，将前两位出场的结果配对，组成20种等可能的结果，用表格表示如下：第一位第二位×××××第一位出场的是男生的可能结果有8种（表中第1、2行），所以，故A正确；第二位出场的是女生的可能结果有12种（表中第3、4、5列），所以，故B错误；事件，有6种结果，所以，故C正确；事件表示第一位出场的是女生，故事件，有6种结果，所以，故D正确.故选：ACD11.表示椭圆或双曲线的两个焦点，是抛物线的焦点，正确的有（）A.椭圆与双曲线有相同的焦点B.双曲线上一点，则的值为1C.抛物线上的一点，点，则的最小值为8D.若椭圆比椭圆更扁，则答案：ACD解析：思路：对于A根据焦点的定义计算；对于B根据双曲线的定义以及勾股定理计算；对于C根据抛物线的定义可得；对于D比较离心率的大小即可.解答过程：对于A选项，椭圆中，得，则焦点为；在双曲线中，得，则焦点为；故A正确；对于B选项，由双曲线的定义得，，则，因为，所以，则，故B错误；对于C选项，由题意可得，焦点，准线，过点作，垂足为，则由抛物线的定义可知，，等号成立时三点共线，故的最小值为，故C正确；对于D选项，在椭圆中，则，则离心率为；在椭圆中，则，则离心率为，若椭圆比椭圆更扁，则，得，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知向量，，若，则实数的值为___________．答案：解析：思路：根据，可得，再根据数量积的坐标公式即可得解.解答过程：因为，所以，解得.故答案为.13.核桃（又称胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”．它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同：现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为（空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳），乙地种植的核桃空壳率为，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的，，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率是______．答案：解析：思路：根据全概率概率公式计算可得.解答过程：设事件所取核桃产地为甲地为事件，事件所取核桃产地为乙地为事件，事件所取核桃为空壳为事件，则，，，，所以.故14.已知直线l：，若圆上存在点与关于直线l对称，则实数r的取值范围为________．答案：解析：思路：先求出直线所过定点，再根据对称性得到点的对称点的轨迹是以为圆心、为半径的圆，将原题条件转化为圆与该轨迹圆有公共点，利用两圆圆心距与半径的关系建立不等式，从而解出参数的范围.解答过程：由题，，联立解得直线过定点，设点关于直线对称点为，则点在以点为圆心，2为半径的圆上．题目条件等价于：圆与圆有公共点，即这两个圆相交或相切，∴，解得．所以的取值范围为．故四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求m的值；（2）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品，随机变量X表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求X的分布列．答案：（1）（2）（3）分布列见解析解析：思路：（1）根据频率分布直方图，判断组距，求出参数值即可；（2）根据频率分布直方图，求出均值即可；（3）根据二项分布的概念，求出分布列即可；（1）由题意可知组距为，则，解得.（2）由题意可知这组数据的平均数为.（3）当配件的质量指标值不小于80分时，概率为，可知随机变量服从二项分布，即，可能的取值有，则，，，，可得随机变量的分布列为：01230.2160.4320.2880.06416.已知函数.（1）求函数的对称轴方程和单调递减区间；（2）当时，函数的最大值与最小值的和为2，求.答案：（1），（2）解析：思路：（1）由三角恒等变换可得，利用正弦型函数的性质求对称轴、单调区间即可；（2）求出的范围，由正弦函数的图象与性质求最大值与最小值得解.（1）由可得函数的对称轴为由可得，，即单调减区间为（2）令易知在上单调递增，在上单调递减，.，，.17.记的内角的对边分别为，已知．（1）；（2）若，，求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意，利用正弦定理求得，进而求得的值；（2）设的外接圆的半径为，根据正弦定理求得，进而得到，结合三角形的面积公式，即可求解.（1）解：因为，由正弦定理得，又因为，可得，所以，可得，因为，可得.（2）解：由（1）知，因为，设的外接圆的半径为，可得，所以，因为，可得，所以的面积为.18.如图1，平面五边形是由正和直角梯形组成的，已知，，，，以为折痕把折起，使点到达点位置，如图2．（1）若，证明：平面平面．（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明见解析（2）．解析：思路：（1）通过证明线面垂直进而证明面面垂直；（2）建立空间直角坐标系