2025-2026学年海南省儋州市洋浦中学高二下册5月期中考试数学试题 含解析

/数学第Ⅰ卷（共58分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.某公交车上有6位乘客，沿途有4个停靠站，乘客下车的可能方式有（）A.种 B.种 C.种 D.种2.的展开式中的系数为（）A. B. C.20 D.403.的值是（

）A. B. C. D.4.2025年东南现代农博会·花博会在漳州东南花都隆重举行，活动现场的非遗区有三个项目：漆扇绘梦、糖画塑形、剪纸生花，主理人现场演示，游客可亲手体验.现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学在非遗区体验，三个非遗项目都有同学去体验，且每名同学只能体验一个项目，其中甲和乙选择体验漆扇绘梦，不同的体验方案共有（）A.6种 B.12种 C.18种 D.24种5.已知，，=，则=（）A. B. C. D.6.函数的单调增区间为（）A. B. C. D.7.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”.从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情形种数共有A. B. C. D.8.设，则（）A. B.C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.（多选题）下列求导运算错误的是（）A. B.C. D.10.下列选项正确的是（）A.从5男3女中选2人，若至少有1名女生，则有21种不同的选法B.5人排成一列，若甲，乙必须相邻，则有48种不同的排列方法C.3男3女排成一列，若女生互不相邻，则有144种不同的排法D.10个相同小球分给3个小朋友，若每人至少1个，则有42种不同的方法11.定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”．经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心．已知三次函数的对称中心为，则下列说法中正确的是（）A.，B.方程有三个根C.存在，，，使得不等式成立，则实数t的取值范围为D.若函数在区间上有最大值，则第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知,若，则__________．13.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_______．14.已知，若函数在区间上单调递减，则的最大值是___________．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数f(x)=ax2+lnx的导数为，（1）求；（2）若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．16.已知n的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.（1）求n的值；（2）求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．17.某智能手环可通过监测心率对佩戴者进行“心律失常”疾病的早期预警．据临床数据，其用户群体中该疾病的患病率约为0.5%，手环单次分析会给出“预警”或“无预警”结果，其性能如下：对于确实患病的用户，单次分析触发预警的概率为99%（灵敏度）；对于未患病的用户，单次分析误触发预警的概率为5%（误报率）．现从用户群体中随机抽取一人，进行单次分析．（1）求此次分析触发预警的概率；（2）记事件为“此次分析触发预警”，事件为“该用户确实患病”．（i）求；（ii）结合（1）和（2）（i）的结果，说明与在医学预警中的不同含义，并分析：若手环触发预警，哪个概率对用户决定是否就医的参考价值更大？为什么？18.已知函数，，．（1）若是的极大值点，求a的值；（2）当时，若函数有两个不同的零点，求实数b的取值范围．19.函数，（1），求的单调区间；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；（3）令函数，求证.

数学第Ⅰ卷（共58分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.某公交车上有6位乘客，沿途有4个停靠站，乘客下车的可能方式有（）A.种 B.种 C.种 D.种答案：B解析：思路：根据分步计数原理可得答案.解答过程：由题意，每一位乘客都有4种选择，故乘客下车的可能方式有4×4×4×4×4×4＝46种，故选：B．2.的展开式中的系数为（）A. B. C.20 D.40答案：D解析：解答过程：的展开式的通项为Tr+1=C解得，则的系数为C52−23.的值是（

）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据组合数、排列数计算公式求解.解答过程.故选：A4.2025年东南现代农博会·花博会在漳州东南花都隆重举行，活动现场的非遗区有三个项目：漆扇绘梦、糖画塑形、剪纸生花，主理人现场演示，游客可亲手体验.现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学在非遗区体验，三个非遗项目都有同学去体验，且每名同学只能体验一个项目，其中甲和乙选择体验漆扇绘梦，不同的体验方案共有（）A.6种 B.12种 C.18种 D.24种答案：B解析：思路：分类讨论，漆扇绘梦有甲、乙两人体验，丙、丁、戊有一人体验漆扇绘梦，剩下两人分别体验另外两个项目，第二类是漆扇绘梦有甲、乙两人体验，糖画塑形、剪纸生花任选一个有两人体验，剩下一人体验剩余的项目根据分类原理即可计算.解答过程：根据题意可知第一类是漆扇绘梦有甲、乙两人体验，丙、丁、戊有一人体验漆扇绘梦，剩下两人分别体验另外两个项目，则有种方案，第二类是漆扇绘梦有甲、乙两人体验，糖画塑形、剪纸生花任选一个有两人体验，则有种方案，综上总共有种方案.故选：5.已知，，=，则=（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用条件概率公式和并事件的概率公式即可求解.解答过程：代入，，.6.函数的单调增区间为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：易知函数定义域为，且，令，即;解得，即函数的单调增区间为.7.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”.从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情形种数共有A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：分析：先排乙，再排甲，最后排剩余三人.详解：先排乙，有种，再排甲，有种，最后排剩余三人，有种因此共有，选D.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——“间接法”；（5）“在”与“不在”问题——“分类法”.8.设，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：令，，利用导数可求得的单调性，从而确定，，令即可得到大小关系.解答过程：令，，则，在上单调递增，，即；取，则令，，则，在上单调递增，，即；取，则，即，即，综上，.故选：A.方法提示：关键点点睛：本题考查采用构造函数的方式比较大小的问题，解题关键是能够根据的形式的共同点，准确构造函数和，利用导数求得函数单调性后，通过赋值来确定大小关系.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.（多选题）下列求导运算错误的是（）A. B.C. D.答案：ABD解析：解答过程：对于A，是常数，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.10.下列选项正确的是（）A.从5男3女中选2人，若至少有1名女生，则有21种不同的选法B.5人排成一列，若甲，乙必须相邻，则有48种不同的排列方法C.3男3女排成一列，若女生互不相邻，则有144种不同的排法D.10个相同小球分给3个小朋友，若每人至少1个，则有42种不同的方法答案：BC解析：思路：根据对立事件法可判断A；根据捆绑法可判断B，根据插空法可判断C；根据隔板法可判断D.解答过程：对于A：从8人中选2人，总选法为，全是男生的选法为，因此至少1名女生的选法为，A错误；对于B：将甲乙看作1个整体，共4个元素全排列，再乘甲乙内部的排列：

，B正确；对于C：先排3名男生，全排列得，3名男生共形成4个空位，从4个空位中选3个排入3名女生，得，总排法为，C正确；对于D：个相同元素分给个对象、每人至少1个，公式为，代入得，D错误.11.定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”．经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心．已知三次函数的对称中心为，则下列说法中正确的是（）A.，B.方程有三个根C.存在，，，使得不等式成立，则实数t的取值范围为D.若函数在区间上有最大值，则答案：BD解析：思路：求出，令，结合的对称中心、求出a，b可判断A；令，求出x可判断B；设，转化为使得不等式成立，令，根据在为单调递减函数求出t可判断C；利用导数求出极值，再结合图象求出m可判断D.解答过程：对于A，，，令，可得，解得，所以，再由，解得，故A错误；对于B，由A知，由，即x3=(x可得，或，解得，或，，所以方程有三个根，故B正确；对于C，设，则，要使得不等式成立，即成立，令，可得在为单调递减函数，即，可得，令，由在单调递增，可得，则实数t的取值范围为，故C错误；对于D，令，解得，或，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，可得在处有极大值，为，在处有极小值，为，且由解得，或，若函数在区间上有最大值，则0<1−2m≤3m解得，故D正确.第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知,若，则__________．答案：解析：思路：利用赋值法求得参数，再由二项式定理结合条件求.解答过程：令，得，∴，,∴，故－5.方法提示：方法点睛：在二项式定理中求展开式中的系数和通常用赋值法，例如，，，，等等，可根据表达式的形式确定所赋值.13.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_______．答案：解析：思路：先求出的导函数，将切点的横坐标代入求出的是切线的斜率，利用点斜式得到的切线方程，这个切线方程就是曲线的切线方程，求的导函数，则这个等于切线的斜率，从中求出曲线的切线的切点的横坐标，将其代入切线方程，从而得到曲线的切线的切点，将这个切点代入得到值.解答过程：由，求导可得，将切点的横坐标代入，得到切线的斜率，则切线方程为，即，由，求导可得，由曲线在点处的切线与曲线相切，则曲线的切线为，令，解得，将代入，可得，得到曲线上切线的切点为，将代入，可得，解得．故答案为:．14.已知，若函数在区间上单调递减，则的最大值是___________．答案：解析：思路：由题意得在上恒成立，令，利用导数研究单调性，进而得，即，令，利用导数研究单调性求最大值即可.解答过程：由题意得：，又在上单调递减，所以在上恒成立，即，令，所以，当时，，所以在单调递减，所以在上恒成立，所以，所以，又，令，所以，令，解得，由，由，所以在单调递增，在单调递减，所以，所以.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数f(x)=ax2+lnx的导数为，（1）求；（2）若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．答案：（1）3a＋1；（2）.解析：思路：(1)先求导得，再分别计算与即可得解；(2)根据给定条件可得切线斜率为0，利用方程在内有解即可计算作答.解答过程：（1）依题意，f(x)=ax2+lnx的定义域为(0，+∞)，由f(x)=ax2+lnx求导得：，于是得，而，所以；（2）因曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，则此时切线斜率为0，由导数的几何意义知，方程在内有解，于是得方程，即在内有解，则，所以实数a的取值范围是.16.已知n的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.（1）求n的值；（2）求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．答案：（1）9；（2）T2＝－18x3，9.解析：思路：（1）写出二项式的展开式的特征项，当x的指数是2时比x的指数是1时的系数要大162，所以，即可求解n的值；（2）根据上一问写出的特征项以及已经求出的n值即可计算展开式中含x3的项即：．解答过程：（1）因为，，依题意得，所以，所以n2＝81，又n∈N*，故n＝9；（2）设第k＋1项含x3项，则，所以，k＝1，所以含x3的项为二项式系数为．17.某智能手环可通过监测心率对佩戴者进行“心律失常”疾病的早期预警．据临床数据，其用户群体中该疾病的患病率约为0.5%，手环单次分析会给出“预警”或“无预警”结果，其性能如下：对于确实患病的用户，单次分析触发预警的概率为99%（灵敏度）；对于未患病的用户，单次分析误触发预警的概率为5%（误报率）．现从用户群体中随机抽取一人，进行单次分析．（1）求此次分析触发预警的概率；（2）记事件为“此次分析触发预警”，事件为“该用户确实患病”．（i）求；（ii）结合（1）和（2）（i）的结果，说明与在医学预警中的不同含义，并分析：若手环触发预警，哪个概率对用户决定是否就医的参考价值更大？为什么？答案：（1）0.0547（2）（i）（ii）答案见解析解析：（1）事件为“用户患病”，事件为“分析触发预警”．由题知：，，，．由全概率公式：所以，触发预警的概率为0.0547．（2）（i）由贝叶斯公式：，所以，在预警条件下确实患病的概率约为．（ii）含义解释：由（i），表示“在手环预警的条件下用户确实患病”的概率，它衡量了预警结果的可靠性，回答了“预警是否意味着真患病”的个人风险问题；是灵敏度，表示“用户真患病的条件下手环触发预警”的概率，反映了该手环识别真实病例的能力；决策参考分析：对收到预警的个人而言，的参考价值更大、更直接．理由：该值从群体基础患病率（）显著提升至，构成了明确的个人健康风险信号，用户应结合自身症状，将此作为是否需要进一步医疗检查的关键依据．而描述的是该手环的整体性能，无法直接量化个人当前风险，故对个人就诊决策的参考相对间接．18.已知函数，，．（1）若是的极大值点，求a的值；（2）当时，若函数有两个不同的零点，求实数b的取值范围．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）对求导后利用处导数为求出的候选值，再验证单调性确定为极大值点对应的值.（2）当时求的导函数分析单调性与最小值，结合零点存在性定理确定函数有两个零点时的取值范围.（1）由题意，，，∴.∵是的极大值点，∴，即，解得或.①当时，，∵，∴，∴当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴是的极小值点，不符合题意，舍去.②当时，，∵，∴，∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴是的极大值点，符合题意.综上，的值为.（2），则，，令得，即在递减；令得，即在递增，故最小值为，①当，即时，恒成立，故无零点，不满足题意；②当，即时，当时恒成立，故有个零点，不满足题意；③当，即时，0<eb<1，且feb=e由零点的存在性定理可知在上有个零点，又，则，则在上递增，上递减，则，即，则f(x)≥则，，（时，），故由零点的存在性定理可知在上有个零点，即在上有两个零点，综上：有两个零点，则．方法提示：方法归纳：本题考查利