2025-2026学年河北邯郸冀南新区凌云中学高一下册5月期中考试数学试题 含解析

/数学第I卷（选择题，共58分)一、单项选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.等于（）A. B. C. D.2.设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和3.已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（）A.相交 B.相交或异面C.平行或异面 D.相交、平行或异面4.已知为虚数单位，则（）A. B.C. D.5.如图，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（）A.2 B.4 C.6 D.86.在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（）A. B. C. D.或7.如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（）.A. B.100m C. D.8.如图，为正四棱锥的底面中心，，分别是，上的动点，若是边长为2的正三角形，则的最小值为（）A.1 B. C.2 D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的有（）A.长方体是平行六面体B.正四棱柱是正方体C.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥D.棱台的侧面是梯形10.（多选）已知复数z满足，则（）A. B. C. D.的最大值为211.设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（）A.B.C.在上的投影向量的坐标为D.第II卷（非选择题，共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，的夹角为45°，且，，则______.13.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为__．14.在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点，若，则的最小值为___________．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.实数取什么值时，复数是（1）实数；（2）纯虚数.16.已知向量，O为坐标原点.（1）若，求实数k的值；（2）在（1）的条件下，求向量与的夹角余弦值.17.如图，中，，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N），将绕直线BC旋转一周得到一个旋转体.（1）求该旋转体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.18.在中，内角所对的边分别为，．（1）求的值；（2）若的面积为，求的值．19.如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点.（1）求证：；（2）求证：平面；（3）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由.

数学第I卷（选择题，共58分)一、单项选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.等于（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程.2.设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和答案：C解析：思路：根据基底的定义，结合共线向量的性质判断即可.解答过程：平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，C选项中，，即和为共线向量，所以它们不能作为基底．其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底．故选：C3.已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（）A.相交 B.相交或异面C.平行或异面 D.相交、平行或异面答案：B解析：思路：根据空间中线线的位置关系判断即可.解答过程：因为与相交，所以与确定一个平面，不妨设为，又，所以或，若，则与相交，若，则与异面；综上可得与的位置关系是相交或异面.故选：B4.已知为虚数单位，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简求解即可.解答过程.5.如图，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（）A.2 B.4 C.6 D.8答案：D解析：解答过程：因为正方形的边长为1，所以，，将直观图还原为原图形，如图：由直观图的作法可知，中，，，所以，，所以原图形的周长是.6.在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（）A. B. C. D.或答案：A解析：解答过程：在中，由，有，所以.又，故，所以.7.如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（）.A. B.100m C. D.答案：C解析：思路：先由正弦定理解得，再解直角三角形即可得解.解答过程：由题意，而，由正弦定理可得，即，解得，注意到，从而.故选：C.8.如图，为正四棱锥的底面中心，，分别是，上的动点，若是边长为2的正三角形，则的最小值为（）A.1 B. C.2 D.答案：B解析：思路：根据与全等，绕PO折叠至，由点A到PC的距离求解.解答过程：因为棱锥是正四棱锥，且为底面中心，所以与全等，将绕PO折叠至，因为折叠前后EF的长度不变，所以的最小值即为点A到PC的距离，又因为是边长为2的正三角形，，故选：B二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的有（）A.长方体是平行六面体B.正四棱柱是正方体C.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥D.棱台的侧面是梯形答案：ACD解析：思路：根据各个几何体的结构特征，逐项进行分析即可.解答过程：对于A，平行六面体的定义是六个面均为平行四边形的棱柱，长方体的每个面都是矩形（属于平行四边形），且侧棱与底面垂直，因此长方体是特殊的平行六面体，故A正确.对于B，正四棱柱要求底面为正方形且侧棱与底面垂直，但未限定侧棱长度必须等于底面边长.若侧棱长度与底面边长相等，则为正方体，否则仅为长方体.因此，正四棱柱不一定是正方体，故B错误.对于C，侧面均为相交于一点的三角形，底面为多边形的几何体为棱锥，根据底面的边数，分为三棱锥、四棱锥等.若某棱锥有一个面为平行四边形，由棱锥定义可知，该面一定为棱锥的底面，因此有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故C正确.对于D，棱台由平行于棱锥底面的平面截棱锥而得到，原棱锥的侧面为三角形，截后变为梯形，故D正确.故选：ACD.10.（多选）已知复数z满足，则（）A. B. C. D.的最大值为2答案：ABD解析：解答过程：设复数（a，），由可得，.选项A：，正确；选项B：，正确；选项C：，只有当时才等于1，不是恒成立，错误；选项D：，因为，当时，的最大值为，正确.11.设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（）A.B.C.在上的投影向量的坐标为D.答案：ACD解析：思路：对于A，由向量模的计算公式可得答案；对于B，由数量积的运算律计算可得答案；对于C，由向量投影向量计算公式可得答案；对于D，由向量减法坐标计算公式可得答案.解答过程：由题可得，，，，对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，在上的投影向量为，由B分析可得，又，则，故C正确；对于D，，故D正确.故选：ACD第II卷（非选择题，共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，的夹角为45°，且，，则______.答案：解析：思路：利用向量模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.解答过程：因为向量，的夹角为45°，且，，所以.故答案为.13.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为__．答案：6解析：思路：利用相似得到水的体积和容器体积的比，再结合水的体积相等列等式，解方程即可求解.解答过程：当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，设△ABC的面积为S，则S梯形S，水的体积V水S×AA1＝6S，当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，则有V水＝Sh＝6S，得h＝6，即当底面ABC水平放置时，液面高为6．故6．14.在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点，若，则的最小值为___________．答案：解析：思路：设，再利用平面向量线性运算与平面向量基本定理计算用表示，最后利用基本不等式计算即可得解.解答过程：设，则，则，故，，故，当且仅当，即时，等号成立.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.实数取什么值时，复数是（1）实数；（2）纯虚数.答案：（1）或；（2）.解析：思路：依据复数的概念分别列等式求解即可.解答过程：解：（1）当复数是实数时，只需，即或；（2）当复数是纯虚数时，，解得.16.已知向量，O为坐标原点.（1）若，求实数k的值；（2）在（1）的条件下，求向量与的夹角余弦值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据向量的运算法则以及向量垂直的坐标表示求解；（2）根据向量的运算法则以及向量的夹角计算求解.（1）由已知得，，∵，∴，，∴.（2）∵∴，设向量与的夹角为，∵，∴，，，17.如图，中，，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N），将绕直线BC旋转一周得到一个旋转体.（1）求该旋转体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）求出空心球的半径，即可得答案；（2）旋转一周后得到的组合体为一个圆锥中挖去一个球，由此可求答案.（1）连接OM，则，设，，在中，，∴.（2）∵，，，∴，∴.18.在中，内角所对的边分别为，．（1）求的值；（2）若的面积为，求的值．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得.（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及正弦定理求解即得.（1）在中，由正弦定理及，得，即，由余弦定理得，又，所以.（2）依题意，，即，由正弦定理得，而，则，解得，由正弦定理得，所以.19.如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点.（1）求证：；（2）求证：平面；（3）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在，证明见解析解析：思路：（1）根据线面平行的性质定理即可证明；（2）由中位线、线面平行的性质可得四边形