2025-2026学年河北邢台市部分学校高二下册4月期中考试数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A. B. C.2 D.82.某天食堂供应4种不同的主食和8种不同的菜品，小张这天从该食堂选择1种主食和2种不同的菜品，则不同的搭配方案有（）A.32种 B.60种 C.84种 D.112种3.若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.4.假设书包里仅有4支水笔和6支铅笔，现从该书包中不放回地依次（每次取一支）取出两支笔，记事件表示“第一次取出的笔是铅笔”，事件表示“第二次取出的笔是水笔”，则（）A. B. C. D.5.已知奇函数f(x)=A. B. C.5 D.96.若随机变量的分布列如下：12340.40.30.20.1则随机变量的方差（）A.1 B.1.4 C.2 D.2.47.已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（）A. B.C. D.8.某校举办校园科技节，需从6名男生和4名女生中选派4人，分别担任编程、航模、机器人、实验四项不同活动的主持人，要求所选派的4人中至少有2名女生，且女生不主持编程活动，每项活动由1人主持，则不同的选派方案有（）A.504种 B.1080种 C.1224种 D.2304种二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列函数求导正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则10.将，，，，这五名实习医生分别安排到内科、外科、急诊科三个科室进行轮岗学习，要求每个科室至少安排一名实习医生，且每个实习医生只到一个科室轮岗学习，则下列判断正确的是（）A.若急诊科要安排两名实习医生，则有60种不同的安排方法B.若每个科室至多安排两名实习医生，则有180种不同的安排方法C.若，被安排在同一科室，则有36种不同的安排方法D.若被安排在内科，则有56种不同的安排方法11.已知函数，，则下列判断正确的是（）A.的极大值点为0B.曲线与不存在公切线C.若，，则的最小值为1D.当直线与，的图象的交点个数之和最多时，的值可以为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为______．13.某农场计划建造一个底面是正方形，且体积为216立方米的长方体形无盖蓄水池．已知池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为100元，当该蓄水池的高为______米时，建造该蓄水池的总造价（池底和池壁的造价之和，单位：元）最低．14.已知，则______，______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某奶茶店推出一款新奶茶——抹茶奶绿．已知从该店在售的奶茶中随机购买1杯，买到抹茶奶绿的概率是．（1）若顾客甲从该店在售的奶茶中随机购买3杯奶茶，求顾客甲购买的奶茶中恰好有2杯是抹茶奶绿的概率；（2）若顾客乙从该奶茶店已经做好的10杯奶茶（其中抹茶奶绿有3杯）中随机购买4杯，记顾客乙购买的奶茶中抹茶奶绿的数量为，求的分布列与数学期望．16.已知函数，曲线在点处的切线方程是．（1）求，的值；（2）求曲线过点的切线方程．17.已知展开式中前三项的二项式系数和为.（1）求的值；（2）求展开式中含的项的系数；（3）求展开式中系数最大的项.18.某校社团联合会开展“招新闯关挑战”，规则如下：闯关挑战由甲、乙两名同学接力完成，第一关的挑战者由抽签决定，甲、乙被抽中的概率均为0.5.若挑战者闯关成功，则由本人继续挑战下一关；若闯关失败，则换另一名同学挑战下一关．已知甲每次闯关成功的概率是0.7，乙每次闯关成功的概率是0.8，且甲、乙每次闯关是否成功都是相互独立的．记第关的挑战者是甲的概率为．（1）求；（2）求第二关和第三关的挑战者是同一人的概率；（3）求．19.已知函数.（1）求的单调区间.（2）设有3个不同的零点，且.（i）求的取值范围；（ii）证明.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A. B. C.2 D.8答案：A解析：解答过程：因为，所以．2.某天食堂供应4种不同的主食和8种不同的菜品，小张这天从该食堂选择1种主食和2种不同的菜品，则不同的搭配方案有（）A.32种 B.60种 C.84种 D.112种答案：D解析：解答过程：第一步，选择主食，有种不同的搭配方案；第二步，选择菜品，有种不同的搭配方案．故不同的搭配方案有种．3.若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题意可得．因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，即，因为是关于的二次函数，对称轴为，所以函数在时取到最小值为0，故.4.假设书包里仅有4支水笔和6支铅笔，现从该书包中不放回地依次（每次取一支）取出两支笔，记事件表示“第一次取出的笔是铅笔”，事件表示“第二次取出的笔是水笔”，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据条件概率计算即可.解答过程：由题意可得，，则．5.已知奇函数，则（）A. B. C.5 D.9答案：A解析：解答过程：是奇函数，则，即−x3+(，则，求导得：，，解得，．6.若随机变量的分布列如下：12340.40.30.20.1则随机变量的方差（）A.1 B.1.4 C.2 D.2.4答案：A解析：解答过程：因为，所以．7.已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：令，则，因为，所以，即函数在上单调递增，由可得，当时，即时，必有，对于，等价于，故可得，解得或，即不等式的解集是.8.某校举办校园科技节，需从6名男生和4名女生中选派4人，分别担任编程、航模、机器人、实验四项不同活动的主持人，要求所选派的4人中至少有2名女生，且女生不主持编程活动，每项活动由1人主持，则不同的选派方案有（）A.504种 B.1080种 C.1224种 D.2304种答案：C解析：思路：根据题意，可分为男女或男女，结合女生不主持编程活动，每项活动由1人主持，利用排列数与组合数公式，即可求解.解答过程：根据题意，从6名男生和4名女生中选派4人，所选派的4人中至少有2名女生，且女生不主持编程活动，每项活动由1人主持，可分为男女或男女，①当男女，共有，先安排编程主持人，剩下的3人全排列，有种选法，由分步计数原理得，共有种选派方案；②当男女，共有，先安排编程主持人，剩下的3人全排列，有种选法，由分步计数原理得，共有种选派方案，再由分类计数原理得，共有种不同的选派方案.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列函数求导正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：ABD解析：解答过程：由，得，A正确．由，得，B正确．由，得，C错误．由，得，D正确．10.将，，，，这五名实习医生分别安排到内科、外科、急诊科三个科室进行轮岗学习，要求每个科室至少安排一名实习医生，且每个实习医生只到一个科室轮岗学习，则下列判断正确的是（）A.若急诊科要安排两名实习医生，则有60种不同的安排方法B.若每个科室至多安排两名实习医生，则有180种不同的安排方法C.若，被安排在同一科室，则有36种不同的安排方法D.若被安排在内科，则有56种不同的安排方法答案：AC解析：思路：根据排列、组合的定义，结合分类计数原理、分步计数原理逐一求解判断即可.解答过程：若急诊科要安排两名实习医生，则有种不同的安排方法，A正确．若每个科室至多安排两名实习医生，则有种不同的安排方法，B错误．若，被安排在同一科室，则有C32A当内科只安排一名实习医生时，有C4当内科安排两名实习医生时，有种不同的安排方法；当内科安排三名实习医生时，有种不同的安排方法．故被安排在内科，有种不同的安排方法，D错误．11.已知函数，，则下列判断正确的是（）A.的极大值点为0B.曲线与不存在公切线C.若，，则的最小值为1D.当直线与，的图象的交点个数之和最多时，的值可以为答案：ACD解析：思路：先对求导，利用导数符号确定的单调区间和极值点，从而判断选项A，并为选项D中水平直线与图象的交点个数作准备；对选项B，按照公切线的判定思路，设两条曲线切线斜率相同，再比较切线截距，通过构造连续函数并利用零点存在定理说明公切线存在；对选项C，把不等式fx≥ax−b理解为直线不在曲线上方，先由得到，再验证取切线y=e2x−1时等号可以成立；对选项D，结合的单调性和二次函数的图象，判断交点个数之和最多时所在的范围，再验证m=−解答过程：，求导可得，当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增，选项A：因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值点为；选项B：要判断与是否存在公切线，即是否存在实数使得切线斜率相等且截距相等，设公切线斜率为，则，，求导可得，代入可得，解得，对应的截距，同理对于函数，截距为，设函数，则公切线存在当且仅当有解，当时，，，，所以，当时，，，，所以，所以存在使，即与存在公切线；选项C：若，，则图象上的每个点都不在直线的下方，因为，代入得0≥a−b又当时，，若，则ax−b→+∞，与f所以．故由0≥a−b得下面证明等号可以取到．取直线y=e2x−1当时，有x2e2x≤e2，从而从而fx≥e所以当，b=e2时，满足题意，且．因此的最小值为，选项C正确．选项D：由前面单调性可知，直线与的交点个数最多为；而gx=−x2+8x−14因此交点个数之和最多为，因为，，且，所以当直线与，的图象的交点个数之和最多时，的值可以为.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为______．答案：解析：解答过程：由题意可得，则．13.某农场计划建造一个底面是正方形，且体积为216立方米的长方体形无盖蓄水池．已知池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为100元，当该蓄水池的高为______米时，建造该蓄水池的总造价（池底和池壁的造价之和，单位：元）最低．答案：6解析：思路：通过设底面边长为变量，建立总造价的函数，利用导数求函数的最小值，进而得到对应的蓄水池高度.解答过程：设该蓄水池的底面边长为米，则该蓄水池的高为米，所以建造该蓄水池的总造价fx所以．由，得，则在上单调递增；由，得，则在上单调递减，故当时，取得最小值，此时该蓄水池的高度为21662=6即当该蓄水池的高为6米时，建造该蓄水池的总造价最低．14.已知，则______，______．答案：①.②.0解析：思路：运用二项式的通项公式，结合求导的运算法则进行求解即可.解答过程：展开式的通项，令，得，则，即．设，则．令，得．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某奶茶店推出一款新奶茶——抹茶奶绿．已知从该店在售的奶茶中随机购买1杯，买到抹茶奶绿的概率是．（1）若顾客甲从该店在售的奶茶中随机购买3杯奶茶，求顾客甲购买的奶茶中恰好有2杯是抹茶奶绿的概率；（2）若顾客乙从该奶茶店已经做好的10杯奶茶（其中抹茶奶绿有3杯）中随机购买4杯，记顾客乙购买的奶茶中抹茶奶绿的数量为，求的分布列与数学期望．答案：（1）（2）分布列见解析，解析：思路：（1）用二项分布的概率公式计算即可；（2）用超几何分布公式算出各个取值的概率，列出分布列，进而可求期望.（1）由题意可得顾客甲购买的奶茶中恰好有2杯是抹茶奶绿的概率P=（2）由题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，，所以的分布列为0123故．16.已知函数，曲线在点处的切线方程是．（1）求，的值；（2）求曲线过点的切线方程．答案：（1），（2）或解析：思路：（1）结合切点既在曲线上又在切线上的条件，列方程组即可求解；（2）通过设切点，利用切线方程过已知点的条件，即可求解.（1）因为，所以，则，解得，．（2）由（1）可知，则．当切点是时，所求切线斜率，则所求切线方程为，即．当切点不是时，设与曲线相切的切点为，由导数的几何意义可得，整理得，即，解得（舍去），则所求切线斜率，故所求切线方程为，即．综上，所求切线方程为或．17.已知展开式中前三项的二项式系数和为.（1）求的值；（2）求展开式中含的项的系数；（3）求展开式中系数最大的项.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据及组合数公式得到方程，解得即可；（2）写出展开式的通项，利用通项计算可得；（3）设第项的系数最大，得到关于系数的不等式组，求出，再代入通项计算可得.（1）因为展开式中前三项的二项式系数和为，所以，即，解得或（舍去），所以；（2）因为展开式的通项为（其中且），令，解得，所以，所以展开式中含的项的系数为；（3）设第项的系数最大，所以，即，解得，又，所以，所以，所以展开式中系数最大的项为.18.某校社团联合会开展“招新闯关挑战”，规则如下：闯关挑战由甲、乙两名同学接力完成，第一关的挑战者由抽签决定，甲、乙被抽中的概率均为0.5.若挑战者闯关成功，则由本人继续挑战下一关；若闯关失败，则换另一名同学挑战下一关．已知甲每次闯关成功的概率是0.7，乙每次闯关成功的概率是0.8，且甲、乙每次闯关是否成功都是相互独立的．记第关的挑战者是甲的概率为．（1）求；（2）求第二关和第三关的挑战者是同一人的概率；（3）求．答案：（1）