2025-2026学年贵州省贵阳市南湖实验中学高一下册5月月考数学试题 含解析

/数学满分150分，考试时长：120分钟一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下面命题中，正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则2.已知复数，则的虚部是（）A. B. C. D.3.如图所示，观察四个几何体，下列选项中，错误的是（）A.①是棱台 B.②不是圆台 C.③是棱锥 D.④是棱柱4.已知向量，满足，，若与的夹角为，则（

）．A.1 B. C. D.35.已知向量，，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.在中，内角所对的边分别为，若，则（）A. B. C. D.7.已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.8.已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（）A. B. C. D.二、多选题（每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分）9.在中，，，，则（）A. B.若是的中线，则C.若是的高，则 D.若是的角平分线，则10.若复数，为虚数单位，则下列说法正确的有（）A.B.C.在复平面内对应的点位于第四象限D.若复数满足，则的最小值为11.如图，在直三棱柱中，，，点P、Q、M、N分别是、、、BC的中点，则（）A.P、Q、M、N四点共面 B.线段为直三棱柱外接球的直径C.三棱锥的体积为 D.直线MN与AC所成角余弦值为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三、填空题（每小题5分，共15分）12._______.13.如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中则原图形的面积为________.14.如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________．四、解答题（本大题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）15.已知，．（1）若，的夹角为，求；（2）若，求与的夹角θ的余弦值．16.记的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长．17.（1）已知复数（）是纯虚数，求m的值：（2）已知复数，在复平面上对应的点在第四象限，且满足.若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值.18.在中，内角对应的边分别为，且.（1）求角；（2）已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上中线的长.条件①：；条件②：；条件③.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19.已知向量，，，.（1）当时，求实数的值；（2）当时，求向量与的夹角的余弦值.

数学满分150分，考试时长：120分钟一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下面命题中，正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：D解析：解答过程：对A，若，则，错误；对B，向量不能比较大小，错误；对C，，但，不一定同向，所以，不一定相等，错误；对D，若，则，长度相等，且方向相同，所以，正确.2.已知复数，则的虚部是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，所以的虚部是.3.如图所示，观察四个几何体，下列选项中，错误的是（）A.①是棱台 B.②不是圆台 C.③是棱锥 D.④是棱柱答案：A解析：解答过程：图①不是由棱锥截到的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是棱锥．图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱．4.已知向量，满足，，若与的夹角为，则（

）．A.1 B. C. D.3答案：C解析：解答过程：根据向量模长公式，，展开得.由已知，，与夹角，向量点积，代入模长公式得.5.已知向量，，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：根据平面向量平行的坐标性质，若，，则，代入，得：，即，解得或，判断充分必要性：若，一定能推出，充分性成立；若，还可以取，不能推出，必要性不成立，因此是的充分而不必要条件.6.在中，内角所对的边分别为，若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由正弦定理得：,设,由余弦定理的推论得：，.7.已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：设该圆锥的高为，所以，解得，设球的半径为，由题意知，解得，所以球的表面积为．8.已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据题意，结合向量模的运算，数量积的运算律得，再结合投影向量的公式求解即可.解答过程：设向量，的夹角为，由题意知，，因为，所以，即，解得，所以，所以向量在向量方向上的投影向量为，二、多选题（每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分）9.在中，，，，则（）A. B.若是的中线，则C.若是的高，则 D.若是的角平分线，则答案：BD解析：思路：利用余弦定理求解判断A；利用数量积运算律求解判断B；利用三角形面积列式求解判断CD.解答过程：对于A，由余弦定理，得，A错误；对于B，由是的中线，得，则，B正确；对于C，由是的高，得，则，C错误；对于D，由是的角平分线，得，由，得，则，D正确.10.若复数，为虚数单位，则下列说法正确的有（）A.B.C.在复平面内对应的点位于第四象限D.若复数满足，则的最小值为答案：BCD解析：解答过程：.对于A：，A错误.对于B：，B正确.对于C：在复平面内对应的点为，位于第四象限，C正确.对于D：表示复数在复平面内对应单位圆上的点，表示单位圆上的点到点的距离.点到原点的距离为，所以单位圆上的点到点的最小距离为，D正确.11.如图，在直三棱柱中，，，点P、Q、M、N分别是、、、BC的中点，则（）A.P、Q、M、N四点共面 B.线段为直三棱柱外接球的直径C.三棱锥的体积为 D.直线MN与AC所成角余弦值为答案：BCD解析：思路：由异面直线的判定判断A；补形成正方体判断B；利用等体积法求出体积判断C；求出异面直线夹角判断D.解答过程：对于A，直线平面，点平面，而直线，点平面，因此直线与直线是异面直线，则四点不共面，A错误；对于B，将三棱柱补形为正方体，为该正方体共点的三条棱，矩形为该正方体对角面，则为三棱柱外接球直径，B正确；对于C，点到平面的距离为，则，C正确；对于D，取中点，连接，由是中点，得，则是异面直线与所成角或其补角，由已知，，，平面，所以平面，故平面，又平面，于是，而，则，因此，D正确.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三、填空题（每小题5分，共15分）12._______.答案：解析：解答过程：13.如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中则原图形的面积为________.答案：解析：思路：解答过程：在直观图中，，直观图面积，原图形面积.14.如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________．答案：解析：解答过程：已知，，，则，由正弦定理得，则，，已知，，，故．四、解答题（本大题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）15.已知，．（1）若，的夹角为，求；（2）若，求与的夹角θ的余弦值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用向量的平方与向量模的关系可求向量的模；（2）由已知可得，计算可求得.（1）因为，所以，所以（2）若，则，即，所以，即，所以．16.记的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得结果；（2）根据三角形面积公式可得，结合余弦定理可得，即可得结果.（1）因为，由正弦定理可得，则，又因为，则，可得，即，所以.（2）因为的面积为，可得，由余弦定理可得，即，可得，所以的周长为.17.（1）已知复数（）是纯虚数，求m的值：（2）已知复数，在复平面上对应的点在第四象限，且满足.若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值.答案：（1）；（2）4解析：解答过程：（1）因为复数是纯虚数，所以且，由，解得或.当时，

，符合要求；当时，，不符合要求，舍去，所以m的值为；（2）依题意，点在第四象限，则，由，得，即，所以，，由复数z是关于x的方程的根，得，整理得，而，因此，解得，所以.18.在中，内角对应的边分别为，且.（1）求角；（2）已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上中线的长.条件①：；条件②：；条件③.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.答案：（1）（2）答案见解析解析：思路：（1）方法一：利用正弦定理将边化为角,结合两角和正弦公式与三角形内角和关系化简,消去后求得,进而结合角的范围算出角；方法二：借助余弦定理把式子中余弦转化为边的表达式,代入等式化简整理,得到边的关系式,再由余弦定义求出,结合内角范围解得.（2）选条件①由求出,利用内角和与两角和正弦公式算出,结果为负,与三角形内角正弦为正矛盾,故此三角形不存在；选条件②结合与角,由余弦定理列方程解出边长,利用中线向量公式平方运算,结合向量数量积,代入数值求出中线长度；选条件③已知两边与夹角,直接运用中线向量结论,结合向量模长与数量积运算,整体代入计算,求得中线的长,三角形唯一存在.（1）方法一：由正弦定理，为三角形外接圆半径，代入，得，即.由，，故.因为，所以，又，所以.方法二：因为，由余弦定理得，化简得即.又，所以.（2）选条件①：，，，因为，所以，.则.三角形内角正弦值必为正，故不存在.选条件②：，，.由余弦定理，得，即，整理得，解得或（舍去）.故，三角形唯一确定.因为为边上中线，由向量关系得，两边平方得，代入，，，得，所以.选择条件③：，，，为边