湖南省长沙市岳麓区2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）（解析版）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页湖南省长沙市岳麓区2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷数学试题（解析版）题号12345678910答案BCBABADBCDAC题号11答案AC1．B【详解】由，解得或，则集合，因为集合，所以．2．C【详解】因为，，所以，故虚部为．3．B【分析】由线、面之间的位置关系的判定定理和性质逐一判断即可.【详解】对于A，如果，则，故A正确；对于B，若，则或，故B错误；对于C，因为，所以存在直线，使得，又，所以或，当时，因为，，所以由线面平行性质定理可知，所以由平行传递性可得；当时，因为，，所以直线与直线重合，故.综上，若，，则，故C正确；对于D，若，，所以或，当时，存在直线，使得，又因为，所以，则；当时，因为，所以.综上，若，则，故D正确.4．A【分析】由向量的线性运算求解即可.【详解】因点E是的中点，点D是的中点，所以.5．B【分析】利用等体积法，由求解即可.【详解】由直三棱柱的体积为6，可得，设到平面的距离为，由，，，解得，即到平面的距离为.故选：B.6．A【分析】根据正弦定理，结合分类讨论的方法，可得结果.【详解】由化简得：当时，可知△ABC为直角三角形当时，所以则化简得：即所以可知△ABC为等腰三角形综上所述：△ABC为等腰三角形或直角三角形故选：A【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角形的形状，属基础题.7．D【分析】由题目中条件分别在和中利用正弦定理解方程组可得.【详解】根据题意可知，在中，利用正弦定理可得，所以；又易知，在中，利用正弦定理可得，所以；又，因此可得，因此.故选：D8．B【分析】首先根据圆台的结构特征和边角关系求出圆台上下底面的半径，然后求出圆台的高，然后将等腰梯形补成等边三角形求出内切圆半径，即可求出球的表面积的最大值.【详解】设圆台的上、下底面的半径分别为，，则，易知圆台的轴截面是一个等腰梯形，又母线与底面所成的角为，则等腰梯形的底角为．由于，即，解得，，则圆台的高为，将梯形补成边长为10的等边三角形，所以该等边三角形的内切圆的半径为，又，所以圆台加工成一个球体的半径最大值为，所以球的表面积最大值为．故选：B．9．CD【分析】先对复数化简，再根据复数的性质一一验证.【详解】，在复平面内，对应的点为，位于第三象限，选项A错误；，选项B错误；，选项C正确；，，选项D正确.10．AC【分析】应用二倍角正弦公式结合同角三角函数关系计算判断A，应用余弦定理结合二倍角余弦公式计算判断B，应用平面数量积公式计算判断C，应用正弦定理判断D.【详解】对于A，在中，，则，则，故A正确；对于B，因为，，，由余弦定理，得，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，设外接圆半径为，由正弦定理，得，则外接圆半径为，故D错误；11．AC【分析】对于选项A，过作的垂直，再根据条件即可求出，从而判断出选项A的正误；对于选项BCD，通过建立平面直角从标系，求出各点坐标，逐一对BCD分析判断即可得出结果.【详解】选项A，过作的垂直，交于，所以，又，，，，，所以，故选项A正确；建立如图所示平面直角坐标系，则，，，，选项B，因为为线段的中点，则，，，所以，由，得到，所以，故选项B错误；设，则，，选项C，由，得到，解得，故选项C正确；选项D，，，所以，令，对称轴为，又，当时，所以的最小值为，故选项D错误；

故选：AC.12．【分析】用向量表示，再利用点M，O，N共线列式计算作答.【详解】因平行四边形的对角线相交于点，则，而，于是得，又点M，O，N共线，因此，，即，又，解得，所以.故答案为：13．5【分析】由几何关系得出，由同角三角函数的平方关系得出，进而得出，即可得出，再根据平面向量数量积的运算律即可求解．【详解】在中，，，所以，因为，，所以（*），两边平方得，即，因为是锐角，所以，，所以（**），将（*）式与（**）式联立解得，，所以，，因为点是的中点，所以，因为，所以．14．【分析】由为等腰三角形，结合布洛卡角的等角条件，推导三个小三角形的内角关系，结合正弦定理和已知的线段比例，得到的关系，进而利用三角形内角和找到与内角的关系，利用三角恒等变换公式计算.【详解】设，由，得，.已知，即中，，且.在中由正弦定理可得：.在中，，由正弦定理得：.同理在中，，得：.由，可得，整理得.又，故，代入得：，，故，即，所以，.由，可得：，即，代入：，由，为锐角，可得：.15．(1)(2)实部为，虚部为(3)【分析】（1）先根据虚数单位的幂次规律化简，再根据共轭复数的定义求出；（2）先求出，再根据复数实部和虚部的定义确定其实部和虚部；（3）先求出的表达式，再根据复数在复平面内的坐标表示以及第四象限内点的坐标特征列出不等式组，求解的取值范围.【详解】（1）因为，所以.所以.（2）由（1）知，则，所以的实部为，虚部为.（3）已知，则，复数在复平面内对应的点的坐标为，因为该点位于第四象限，则，所以不等式组的解集为，即的取值范围是.16．(1)，样本平均数75，样本方差129；(2)建议选择乙工厂生产的产品.【分析】（1）根据频率分布直方图中频率之和为1，可计算出，再利用平均数和方差公式计算即可；（2）利用公式计算出乙工厂生产的产品质量指标平均数和方差，与甲工厂生产的产品质量指标数据比较大小，即可得出结论.【详解】（1）因为，所以，所以甲工厂生产的产品质量指标平均数为，方差为.（2）乙工厂生产的产品质量指标平均数为，方差为，所以，以样本估计总体，甲、乙两家工厂产品的质量指标平均数相当，但乙工厂生产的产品质量指标值方差比较小，产品质量比较稳定，故建议选择乙工厂生产的产品．17．(1)，(2)【分析】（1）根据最值求出，根据周期求出，然后利用求出，即可求出的解析式，最后令即可求出对称中心；（2）根据图象变换得出，最后结合正弦函数图象即可求出.【详解】（1）由图象可得，得，由图象可知，所以，即，即；又因为，即，所以，则，结合，可得，所以；令得，所以曲线的对称中心为．（2）把曲线向右平移个单位后的曲线为；把曲线上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线；把曲线向上平移个单位，得到曲线；令，得，结合正弦函数图象可得不等式的解集为.18．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连结，连结，先利用平行四边形证得，再利用线面平行的判定定理得到平面；（2）利用线面垂直的判定定理，由，证得平面，再由证得平面.【详解】（1）如图，连结，连结，因为在正方体中，面是正方形，所以，是的中点，又因为是的中点，所以且，因为是的中点，所以，又，所以，所以四边形是平行四边形，故，又面，面，所以平面；（2）由（1）知，易得平面，又面，故,又因为，面，所以平面，又，所以平面.19．(1)(2)【分析】（1）连接，交于点，连接，则为的中点，由线面平行的性质定理得，从而可得为的中点，进而得实数的值；（2）过点作于点，可证得平面平面，延长交于点，过点作交于点，过点作于点，则是平面与平面所成锐二面角的平面角，然后在中求解即可.【详解】（1）连接，交于点，连接，因为四边形为矩形，所以为的中点，因为平面平面，平面，平面，所以，所以为的中点，即实数的值为；（2）在直三棱柱中，平面平面，所以，因为，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，过点作于点，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，延长交于点，过点作交于点，过点作于点，因为，所以，因为，所以,因为，所以∽，所以，所以，得，因为，平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，所以是平