2027届高考数学一轮总复习7.7利用空间向量求空间角和距离【课件】

第7节利用空间向量求空间角和距离课标解读

1.能用向量方法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序.2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题,并能描述解决这一类问题的程序.3.体会向量方法在研究几何问题中的作用.强基础•固本增分

图1图2图34.空间距离

(3)直线到平面的距离、平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离.[自主诊断]1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线上的任意一点到该直线的距离是0.(

)(2)直线外一点到该直线的距离就是该点与直线上任意一点连线的距离.(

)(3)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.(

)(4)两条异面直线所成的角一定不能为0°.(

)√×解析

直线外一点到直线的距离是该点到直线的垂线段长度,而非与直线上任意点连线的距离.×解析

异面直线所成角是方向向量夹角或其补角(取锐角或直角),不一定相等,故错误.√

A

3.(人A选一教材习题改编)如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1,已知AB=1,BC=2,AA1=3,则点B到直线A1C的距离为(

)

B

B

5.(人A选一教材例题改编)已知点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则平面AEF与平面ABC夹角的余弦值等于

.

解析

建立如图所示的空间直角坐标系.

D解析

由正方体的性质知AB1∥DC1,D1B1∥DB,AB1∩D1B1=B1,DC1∩DB=D,且AB1,D1B1⊂平面AB1D1,DC1,DB⊂平面BDC1,所以平面AB1D1∥平面BDC1,则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离.以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.

研考点•精准突破考点一异面直线所成的角

A

B

考点二直线与平面所成的角

规律方法

利用空间向量求线面角的解题步骤

考点三平面与平面的夹角(二面角)例3

(2025·全国2,17)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD的中点,点E在AB上,EF∥AD,AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A',使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°.(1)证明:A'B∥平面CD'F;(2)求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值.(1)证明

由题意知,EB∥FC,FC⊂平面CD'F,EB⊄平面CD'F,所以EB∥平面CD'F.又A'E∥D'F,D'F⊂平面CD'F,A'E⊄平面CD'F,所以A'E∥平面CD'F.又A'E∩EB=E,A'E,EB⊂平面A'EB,所以平面A'EB∥平面CD'F.又A'B⊂平面A'EB,所以A'B∥平面CD'F.(2)解

因为AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD的中点,CD=2AD,EF∥AD,所以四边形AEFD为正方形且FD'=FC,所以EF⊥FC,EF⊥FD',又平面EFD'A'∩平面EFCB=EF,FD'⊂平面EFD'A',FC⊂平面EFCB,所以∠D'FC为平面EFD'A'与平面EFCB所成的二面角的平面角,所以∠D'FC=60°,所以△D'FC为等边三角形.

(方法二)取FC中点G,连接D'G,则D'G⊥FC.过点G作GH∥EF,交BE于点H.由题可得EF⊥平面FCD',则GH⊥平面FCD',又D'G,FC⊂平面FCD',所以GH⊥D'G,GH⊥GC.以点G为坐标原点,分别以GH,GC,GD'所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

教考衔接(人A选一教材习题)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD满足AB⊥AD,AB⊥BC,SA⊥底面ABCD,且SA=AB=BC=1,AD=0.5.(1)求四棱锥S-ABCD的体积;(2)求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.

点评:高考真题与课本题在核心考查内容(如二面角求解,尤其是空间直角坐标系的建立与法向量应用)及解题方法上高度衔接,其中课本题作为基础,为真题的解题思路构建和相关能力考查提供了重要铺垫.规律方法

向量法求二面角的方法

(1)证明

因为△ABC内接于圆O,AB为圆O的直径,所以AC⊥BC.因为CD⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以CD⊥BC.又AC,CD⊂平面ACD,AC∩CD=C,所以BC⊥平面ACD.因为BC⊂平面BCE,所以平面BCE⊥平面ACD.(2)解

以C为坐标原点,CA,CB,CD所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

考点四利用空间向量求空间距离例4

(2025·湖北黄石模拟)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段DD1的中点,F为线段BB1的中点.(1)求点A1到直线B