3.2　3.2.2　第2课时　函数奇偶性的应用-高一上学期数学必修一课件人教A版

第2课时函数奇偶性的应用素养目标思维导图结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义(数学抽象、直观想象).课堂合作探究

【解析】(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),于是当x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2;(2)要使f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象知-1<a-2≤1,所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3].

【类题通法】利用奇偶性求参数的两种类型及解法(1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.(2)解析式中含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,利用待定系数法求解.

【思维导引】

【类题通法】利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设.(2)要利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).提醒:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,但若为偶函数,未必有f(0)=0.【定向训练】1.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)=x2-3x-1,则当x>0时,f(x)=(

)A.-x2-3x+1 B.x2+3x-1C.-x2+3x+1 D.x2-3x-1【解析】选B.根据题意,当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-3(-x)-1=x2+3x-1,又由f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)=x2+3x-1.

探究点三

函数奇偶性的应用【典例3】(1)已知偶函数f(x)的定义域为R,f(x)在[0,+∞)上单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是(

)A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2)D.f(π)<f(-2)<f(-3)(2)设f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,且在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),则实数m的取值范围为

.

【思维导引】(1)先转化为同一单调区间,再利用单调性进行判断.(2)由偶函数定义:f(x)=f(-x)=f(|x|),利用在[0,2]上单调递减,列不等式求解,即可得答案.【解析】(1)选A.因为f(x)在R上是偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).因为2<3<π,且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,所以f(2)<f(3)<f(π),所以f(-2)<f(-3)<f(π).

【类题通法】1.比较大小的求解策略看自变量是否在同一单调区间上.(1)在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小;(2)不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.2.解不等式的策略(1)解决不等式问题时,一定要充分利用已知的条件,把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式,再根据函数的奇偶性与单调性列出不等式(组),要注意函数定义域对参数的影响.(2)利用偶函数的性质:f(x)=f(-x)=f(|x|),其优点在于避免讨论.

课堂练习

√√3.定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,若f(a)<f(b),则一定可得(

)A.a<b B.a>bC.|a|<|b| D.0≤a<b或a>b≥0【解析】选C.因为f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,所以由f(a)<f(b)可得|a|<|b|.4.已知奇函数f(x)的定义域为R,且对于任意实数x都有f(x+4)=f(x),又f(1)=4,那么f(f(7))=

.

【解析】因为f(7)=f(3+4)=f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-f(1)=-4,所以f(f(7))=f(-4)=f(-4+4)=f(0)=0.答案:0√5.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+x-2,求f(x),g(x)的解析式.【解析】f(-x)+g(-x)=x2-x-2,由