2025-2026学年江苏省苏州市第十中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省苏州市第十中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.设直线l的方向向量是，平面α的法向量是，则“l∥α”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.函数f（x）=x2-4lnx的单调递减区间是（）A.（-2，2） B.（0，2） C.（2，+∞） D.（0，+∞）3.已知函数f（x）=ax2+b的图像开口向下，，则a=（）A. B. C.2 D.-24.如图，在多面体EF-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AE⊥底面ABCD，CF⊥底面ABCD，且AE=CF，M是正方形ABCD的中心，若，则AE=（）A.2

B.

C.5

D.

5.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），f′（x）是f（x）的导函数，满足xf′（x）-f（x）＜0，且f（2）=2，则不等式f（2x）-2x＞0的解集是（）A.（-∞，3） B.（-∞，2） C.（-∞，1） D.（-∞，0）6.在同一平面直角坐标系内，函数y=f（x）及其导函数y=f′（x）的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为（0，1），则（）A.函数y=f（x）+x的最大值为1

B.函数的最小值为1

C.函数y=f（x）•ex的最大值为1

D.函数的最小值为17.曲线y=lnx与曲线y=ln（x-1）+1的公切线方程是（）A.x-ey=0 B.2x-y+1-ln2=0 C.x-2y-2+2ln2=0 D.x-y-1=08.已知函数f（x）=（kx-1）ex+kx+1有3个零点，则k可以是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列关于空间向量的命题中不正确的是（）A.已知两个向量，，则与的夹角为锐角

B.已知过点A（1，2，3）的平面α法向量为，则点P（2，-1，3）到平面α距离为

C.若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底

D.已知，，则在上的投影向量坐标为10.定义：设f（x）为三次函数，f′（x）是f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为三次函数y=f（x）图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数f（x）=ax3-x2+b（a≠0）的对称中心为（1，1），则下列说法中正确的是（）A.

B.方程f（x）-1=0有三个根

C.存在x1，x2∈[2，3]，x1≠x2，使得不等式成立，则实数t的取值范围为t＞3

D.若函数f（x）在区间（m,1-2m）上有最大值，则m∈[-1，0）11.已知函数f（x）=（ex+a）x,g（x）=（x+a）lnx,则下列说法正确的是（）A.当a=1时，函数y=g（x）在（0，+∞）上单调递增

B.当a=1时，若存在x≥1，使不等式f（mx）≥f（（x2+x）lnx）成立，则实数m的最小值为0

C.若函数y=f（x）存在两个极值，则实数a的最大值为

D.当a=1时，若f（x1）=g（x2）=t（t＞0），则x1（x2+1）•lnt的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，A（a，1，0），B（0，a，1），若a=2，则|AB|=______，若∠AOB=，则a=______.13.某种圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位，当它的底面半径和高的比值为______时，可使得所用材料最省．14.若函数y=|ex-1|的图象在A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点处的切线相互垂直，则ln（y2-y1）-ln（y2y1）=

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f（x）=x3-ax2-3x（a∈R）.

（1）若x=3为y=f（x）的一个极值点，求f（x）在[1，4]上的最小值和最大值；

（2）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围.16.(本小题15分)

如图所示，平行六面体ABCD-A′B′C′D′的底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，∠BAA′=∠DAA′=120°.

（1）求对角线BD′的长.

（2）求异面直线BD′与AC所成角的余弦值.17.(本小题15分)

如图，四棱锥P-ABCD底面为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，△PCD是边长为2的等边三角形，，点E为CD中点，点M为线段PE上一点（与点P，E不重合）.

（1）当AM为何值时，直线AM与平面BDM所成的角为.

（2）在（1）的条件下，求平面PBC与平面BDM夹角的余弦值.18.(本小题17分)

已知函数f（x）=lnx-mx2+（1-2m）x+1．

（1）若m=1，求f（x）的极值；

（2）若对任意x＞0，f（x）≤0恒成立，求整数m的最小值．19.(本小题17分)

已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；

（3）若，（其中a,b＞0），∀x1∈R，∃x2∈（0，+∞），都有f（x1）≥g（x2），求ab的取值范围.

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】AC

10.【答案】ABD

11.【答案】AB

12.【答案】

1

13.【答案】

14.【答案】0

15.【答案】解：（1）f（x）的定义域为R，f′（x）=3x2-2ax-3，f′（3）=0，

则27-6a-3=0，解得a=4，

故f′（x）=3x2-8x-3，令f′（x）=0，即3x2-8x-3=（3x+1）（x-3）=0，

解得或x=3，

当或x＞3时，f'（x）＞0，当时f'（x）＜0，

所以f（x）在和（3，+∞）上单调递增，在上单调递减，

所以x=3是f（x）的极小值点，故f（x）=x3-4x2-3x,

所以f（1）=-6，f（3）=-18，f（4）=-12，

故f（x）在[1，4]上的最小值是f（3）=-18，最大值是f（1）=-6；

（2）f′（x）=3x2-2ax-3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，故，

设，当x≥1时，是增函数，其最小值为g（1）=0，

故a≤0，即实数a的取值范围为（-∞，0]．

16.【答案】

17.【答案】AM=2

18.【答案】解：（1）当m=1时，f（x）=lnx-x2-x+1，=．

当时，f'（x）＞0，则f（x）在上单调递增，

当时，f'（x）＜0，则f（x）在上单调递减；

所以f（x）在时取得极大值且极大值为，无极小值．

（2）因为对任意x＞0，f（x）≤0恒成立，

所以lnx+x+1≤m（x2+2x）在（0，+∞）上恒成立，

即在（0，+∞）上恒成立．

设，则．

设φ（x）=-（x+2lnx），

显然φ（x）在（0，+∞）上单调递减，

因为φ（1）=-1＜0，，

所以，使得φ（x0）=0，即x0+2lnx0=0．

当x∈（0，x0）时，φ（x）＞0，