九年级数学上册《圆》单元知识清单

九年级数学上册《圆》单元知识清单一、圆的定义与相关概念【基础】1、圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆。其固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。从集合角度定义，圆可以看作是到定点的距离等于定长的所有点的集合。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小14。▲2、弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最长的弦，是半径的两倍。这里需特别注意，弦不一定是直径，但直径一定是弦246。3、弧的分类：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧叫做优弧（通常用三个字母表示），小于半圆的弧叫做劣弧（通常用两个字母表示）。半圆既不是优弧也不是劣弧，而是直径的两个端点分圆所成的两条弧。【易错点】等弧必须在同圆或等圆中，能够完全重合的弧，长度相等是必要非充分条件14。4、圆心角与圆周角：顶点在圆心的角叫做圆心角。顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。这是两个最重要的角，是后续定理推导的基础12。二、圆的基本性质与重要定理【高频考点】（一）圆的对称性1、旋转不变性与中心对称：圆是中心对称图形，对称中心是圆心。绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合1。2、轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴（或者说经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴）。圆有无数条对称轴15。（二）垂径定理及其推论【★★★★★必考】★1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（包括优弧和劣弧）。几何语言表述：如图，∵CD是直径，CD⊥AB于点E，∴AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC15。2、核心推论（知二推三）：对于一条直线，如果它具有以下五个性质中的任意两个，那么它就具备其余三个性质：①经过圆心（是直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。【特别注意】当条件为“平分弦”时，被平分的弦不能是直径，否则结论不一定成立（因为两条直径互相平分，但不一定垂直）15。3、解题模型与常用辅助线：在垂径定理的应用中，常利用半径、弦长的一半（半弦）、弦心距（圆心到弦的距离）构造直角三角形，然后利用勾股定理求解。设半径为r，弦长为a，弦心距为d，则有公式：(a/2)²+d²=r²。【非常重要】这是解决弦长、拱高、半径等问题最基本的方法9。（三）弧、弦、圆心角之间的关系【重点】1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等1。2、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。【理解要点】此定理成立的先决条件是“同圆或等圆”，不能忽略5。（四）圆周角定理及其推论【★★★★★必考】1、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。这是圆中角计算的核心依据15。2、重要推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等1。（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。【高频考点】见到直径，往往要构造直径所对的圆周角以得到直角；反之，见到直角，要想到它对应的弦可能是直径19。（3）圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。【拓展】这是圆内接四边形的重要性质，常用于角度转化15。三、与圆有关的位置关系（一）点与圆的位置关系【基础】设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP=d，则有：（1）点P在圆内⇔d<r；（2）点P在圆上⇔d=r；（3）点P在圆外⇔d>r58。（二）确定圆的条件1、不在同一直线上的三个点确定一个圆。2、三角形的外接圆与外心：（1）定义：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。（2）性质：外心到三角形三个顶点的距离相等（等于外接圆的半径）5。（3）位置特点：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形外部。【难点】利用外心解直角三角形斜边中线问题5。（三）直线与圆的位置关系【重要】设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线与圆有三种位置关系：（1）相离：没有公共点⇔d>r；（2）相切：只有一个公共点⇔d=r；（3）相交：有两个公共点⇔0≤d<r（此时直线叫割线）58。（四）圆的切线【★★★★★必考】1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。【解题思路】证明切线有两种常用方法：①“连半径，证垂直”（直线与圆有已知公共点时）；②“作垂直，证半径”（未明确给出公共点时）59。2、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。【辅助线技巧】遇到切线，通常连接圆心与切点，构造垂直关系59。3、切线长定理：（1）定义：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到切点之间的线段长叫做切线长。（2）定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。【应用】利用该定理可进行等线段转换和角平分线证明57。4、三角形的内切圆与内心：（1）定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。（2）性质：内心到三角形三边的距离相等（等于内切圆的半径）5。（3）常用公式：对于任意三角形，设面积为S，周长为C，内切圆半径为r，则S=(1/2)C·r。特别地，对于直角三角形，设两直角边为a、b，斜边为c，则内切圆半径r=(a+bc)/27。四、圆与其他图形的综合1、圆与正多边形：（1）正多边形的中心、半径、边心距、中心角：正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。中心角α=360°/n57。（2）正多边形与圆的关系：把圆分成n(n≥3)等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这个圆是这个正n边形的外接圆5。2、圆与圆的位置关系（拓展了解，部分地区选学或高中衔接）：设两圆的半径分别为R和r(R≥r)，圆心距为d，则：（1）外离：d>R+r；（2）外切：d=R+r；（3）相交：Rr<d<R+r；（4）内切：d=Rr(R>r)；（5）内含：0≤d<Rr(R>r)58。五、与圆有关的计算【高频考点】（一）弧长与扇形面积1、圆的周长：C=2πR；圆的面积：S=πR²。★2、弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l=(nπR)/180。【注意】公式中的n表示圆心角的度数，不带单位57。★3、扇形面积公式：（1）已知圆心角n°和半径R：S扇形=(nπR²)/360。（2）已知弧长l和半径R：S扇形=(1/2)lR。（类似于三角形面积公式，记忆更方便）57。4、弓形面积：弓形的面积可以转化为扇形面积与三角形面积的和或差来计算7。（二）圆锥的侧面积与全面积【难点】1、相关概念：圆锥的母线l、底面半径r、高h之间满足关系：h²+r²=l²。★2、圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长l，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长2πr57。★3、侧面积公式：S圆锥侧=πrl（其中r是底面半径，l是母线长）。4、全面积公式：S圆锥全=πrl+πr²57。六、解题方法与思维拓展【能力核心】1、常用辅助线口诀：（1）“见弦作垂径”：有关弦长、弦心距的问题，常过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理。（2）“见直径构直角”：题目中出现直径，常将直径与圆上一点（非端点）连接，得到直角三角形。（3）“遇切线连半径”：题目中出现切线，常连接圆心和切点，得到垂直关系9。2、分类讨论思想：圆是轴对称图形，很多问题由于位置不确定，需要分类讨论。（1）点与圆的位置：点在圆内或圆外，导致弦所对圆周角有两种情况（锐角或钝角）。（2）弦与圆心的位置：平行弦可能在圆心同侧或异侧，计算两弦距离时要分情况。（3）圆心角与圆周角：同弦所对圆周角相等或互补（顶点在优弧和劣弧上）【易错点】6。3、转化思想：（1）将圆周角问题转化为圆心角问题。（2）将不规则图形面积转化为规则图形的和或差（割补法）。（3）将切线的证明转化为垂直关系的证明9。七、典型考点与考向分析1、基础概念题：主要考查圆的相关定义，如判断下列语句是否正确：“长度相等的弧是等弧”、“过圆心的线段是直径”、“三点确定一个圆”等。【易错点】需注意“在同圆或等圆中”这一前提条件4。2、垂径定理的应用题：（1）给出弦长和半径，求弦心距或拱高。（2）给出弦心距和半径，求弦长。（3）结合实际情景，如“赵州桥问题”、“圆柱油槽中油面宽度问题”等，建立数学模型求解。【解题步骤】①作垂线构造直角三角形；②用勾股定理列方程；③解方程13。3、圆周角与圆心角的计算题：（1）利用同弧所对圆周角是圆心角的一半进行计算。（2）利用直径所对圆周角是直角构造直角三角形，结合勾股定理或三角函数求解。（3）圆内接四边形中，利用对角互补或外角等于内对角进行角度转换35。4、切线的证明与性质应用：（1）切线的判定：常见于解答题第一问，需严格按照判定定理的两个条件（过半径外端、垂直于半径）进行证明。（2）切线长定理的应用：常与三角形周长、面积结合，进行等线段转换。【高频考