北京市西城区2026届高三5月模拟测试试卷数学

北京市西城区2026届高三5月模拟测试试卷数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合A=nn=4k+1,k∈ZA．B⊆A B．B⊆∁ZA C．A∩B=B2．已知复数z满足iz=3−2i，则z=（）A．−2−3i B．2+3i C．2−3i D．−2+3i3．双曲线x2A．1 B．2 C．32 D．4．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，P−1,2为α终边上一点，则tanA．43 B．−43 C．45．已知函数fx在R上单调递增，设gx=fA．奇函数，且在R上单调递增 B．偶函数，且在R上单调递增C．奇函数，且在R上单调递减 D．偶函数，且在R上单调递减6．在长方形ABCD中，AD=4，AB=1，E是边BC上一点，则EA+A．1 B．2 C．3 D．47．设函数fx=x−alnx+bA．a+b>1 B．a+b<0 C．a2+b8．已知正方体W和平面α，则“正方体W的8个顶点中存在6个到平面α的距离相等”是“平面α将正方体W分成体积相等的两部分”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．某工厂2023年的年产值为a，这一年工厂制定10年规划，欲通过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%，以期2033年的年产值达到2023年的4倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年实际年平均增长率相同，那么2033年工厂的年产值为（）A．6a B．8a C．9a D．12a10．已知无穷数列an的各项均为正数，且对任意的正整数i，总存在正整数s，t（s≠t），满足aA．an可能为常数列 B．aC．an不可能为等比数列 D．a二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．在△ABC中，若a=5，b=6，c=8，则最大内角的余弦值为.12．在x3−213．已知向量a=−1,3，单位向量e=1,0，向量b满足b14．设函数fx=log2x−1,0<x≤4x−6,x>4，集合M=x15．在物理实验中，当相互垂直的两个简谐振动的频率比为简单整数比时，示波器上会显示出一条“利萨如曲线”.曲线C：x2①若Px,y为曲线C上一点，则x≤1，②曲线C上两点间距离的最大值为6；③曲线C所围成的区域的面积小于3；④过原点的直线与曲线C最多有3个公共点.其中，所有正确结论的序号是.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=1，BC=2，直线PC与底面ABC所成角的大小为π（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值.17．已知函数fx=sin（1）求函数fx（2）从条件①、条件②、条件③中选择一个条件作为已知，使得函数fx存在且唯一确定，当x∈0,π条件①：fπ条件②：函数fx在π条件③：函数fx+注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18．随着人们生活水平的提高，参观文博馆成为人们外出旅游的一项重要活动.某市2015年到2025年的文博馆接待的成年人和未成年人的参观次数（单位：万人次）统计图如下：假设各年的参观情况互不影响.（1）在2016年到2025年这10年中任选一年，求这一年与其前一年相比，该市未成年人参观文博馆次数出现增长的概率；（2）从2015年至2020年这6年中任选1年.再从2021年至2025年这5年中任选2年，记选出的3年中该市年参观文博馆总人次超过120万的年数为X，求X的分布列和数学期望；（3）记2015年至2025年该市未成年人和成年人年参观文博馆次数的方差为s12和s22、年参观文博馆总人次的方差为s32，给出19．已知椭圆C:x2a2+y2（1）求椭圆C的方程；（2）过点N−3,0的直线与C交于A，B两点，过点A作AP垂直直线MF于点P，记△BPN和△BPF的面积分别为S△BPN和S△BPF20．已知函数fx=1+（1）当a=1时，求曲线y=fx在点1,f（2）对于x∈0,+∞，讨论fx（3）当0<a<1时，证明：方程fx=1存在两个根x1，x21．给定正整数n（n≥3），记集合Sn={x1,x2,⋯,xnxi=0（1）在S3（2）证明：在S5（3）在S2026

答案解析部分1．【答案】D【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算【解析】【解答】解：集合A={n∣n=4k+1,k∈Z}，集合B={1,3,5,7}，

检验B中元素是否属于A：当k=0时，4×0+1=1∈A；

当k=1时，4×1+1=5∈A；3,7无法表示为4k+1（k∈Z）的形式，

则集合B中仅有1,5∈A，3,7∉AA、B⊆A，即B中所有元素都属于A，不成立，B、B⊆∁ZA，即BC、A∩B=B，等价于B⊆A，不成立，D、因为B中存在元素3,7∉A，故并集不等于A，A∪B≠A成立.

故答案为：D.

【分析】分别取k=0、k=1验证1,5∈A，但3,7∉A，再根据集合的包含关系求解即可.2．【答案】A【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：复数z满足iz=3−2i，则z=3−2i故答案为：A.【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简求解即可.3．【答案】C【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：易知双曲线x2−y由对称性，不妨取其中一条渐近线方程为y=3x，即则右顶点到其渐近线的距离为3×1−032【分析】易知双曲线的右顶点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．4．【答案】A【知识点】二倍角的正切公式；任意角三角函数的定义【解析】【解答】解：点P−1,2为α终边上一点，由任意角的三角函数定义可得tan则tan2α=2tanα1−5．【答案】C【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性【解析】【解答】解：函数g(x)=f(−x)−f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称，满足g(−x)=f(x)−f(−x)=−f(−x)−f(x)=−g(x)，则因为f(x)在R上单调递增，所以f(−x)在R上单调递减，−f(x)在R上单调递减，则g(x)=f(−x)−f(x)=f(−x)+[−f(x)]在R上单调递减，综上，函数g(x)是奇函数，且在R上单调递减.

故答案为：C.【分析】先求函数g(x)的定义域，再利用奇偶性的定义判断函数g(x)的奇偶性，再由函数fx的单调性，可得f(−x)在R上单调递减，−f(x)在R上单调递减，从而判断函数g(x)6．【答案】B【知识点】向量的模；平面向量的线性运算【解析】【解答】解：取AD的中点F，则EA+当EF⊥AD时，EF取得最小值，最小值为1，所以EA+ED的最小值为

故答案为：B.

【分析】取AD的中点F，则EA+ED=2EF，当EF⊥AD时，EF7．【答案】C【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】解：函数fx=x−a因为fx<0的解集为∅，所以f(x)≥0在又因为y=x−a为单调递增函数，且零点为x=a，y=ln(x+b)为单调递增函数，且零点为所以要使f(x)≥0在定义域内恒成立，只需两函数零点相同，即a=1−b，则a+b=1，故A、B错误；a2+b2=【分析】先求函数fx的定义域，问题转化为f(x)≥0在−b，+∞内恒成立，根据函数的单调性及零点，可得y=x−a与y=ln(x+b)8．【答案】D【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；棱柱的结构特征【解析】【解答】解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，依次取棱则点A1,B1,D1与点A,B,D到平面MNPQRS正方体W的8个顶点中到平面α的距离相等的顶点不一定是6个，如在正方体ABCD−A1B只有4个顶点B,B1,D1所以“正方体W的8个顶点中存在6个到平面α的距离相等”是“平面α将正方体W分成体积相等的两部分”的既不充分也不必要条件.

故答案为：D.【分析】在正方体ABCD−A1B1C1D1中，依次取棱AB,AD,A1D1,A1B19．【答案】B【知识点】有理数指数幂的运算性质；“指数爆炸”模型【解析】【解答】解：设原规划年平均增长率为x%，由2023年的年产值为a，10年后（2033年）产值为4a得a(1+x%)10=4a由2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，得a(1+y即1+y%=(1+x%)32，因此2033年工厂的实际年产值为a(1+y%10．【答案】D【知识点】数列的函数特性；数列的应用；等差数列的性质；等比数列的性质【解析】【解答】解：A、若an为常数列，不妨设an=cB、若an为等差数列，设公差为d，易知d≤0当d>0时，数列an单调递增，则a∴as+atC、若an为等比数列，设a1>0若an=a解得q=−1+52即an可能为等比数列，当a1>0对任意的正整数i，总有ai=aD、由C易知，an为等比数列，a1>0，0<q=对任意的正整数i，总有ai即s=i+1,t=i+2时，即满足ai=as+at，则an可能为递减数列，故D正确．

故答案为：D.

【分析】若an为常数列，不妨设an=cc>0，ai=c≠as+at=2c即可判断A；若an为等差数列，设等差数列an的公差为d，易知d≤0时不符合题意，当11．【答案】−【知识点】余弦定理【解析】【解答】解：在△ABC中，若a=5，b=6，c=8，易知角C为最大内角，由余弦定理可得cosC=a2+b2−c2【分析】由题意，根据三角形大边对大角判定可得角C是最大内角，再利用余弦定理求三角形最大内角的余弦值即可.12．【答案】−32【知识点】二项展开式的通项【解析】【解答】解：x3−2令12−4r=0，解得r=3，则T4=C43【分析】写出x3−2x4展开式的通项，令x13．【答案】0（答案不唯一，取值范围为−2,0）【知识点】平面向量数量积的坐标表示；轨迹方程【解析】【解答】解：设OA=a，OB=b=因为b−a=1，即AB=1，所以点B的轨迹是以点可得b⃗⋅e⃗=【分析】设OA=a，OB=b=x0,y14．【答案】1,2​​​​​​​；140【知识点】函数的图象；指数式与对数式的互化；函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】解：函数y=f方程fx=m根的个数，可转换成函数y=fx,y=m图象的交点个数，

故若集合M中共有3个元素，则m的取值范围是1,2，若集合M中共有4个元素，由图象可知m的取值范围是0,1，设4个元素由小到大为x1则log2x1−1=mlog2x2−1=mx3−6=m，即xx4−6=m，即x所以x1故当m=1时，x1x2x3【分析】作出函数y=fx的图象，问题转化为函数15．【答案】①③④【知识点】函数的最大（小）值；曲线与方程；图形的对称性；函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】解：由方程得x2=−4y4+4y2又x2=4y2−4y4因为曲线C：x2+4y则Px,y关于原点的对称点P'−x,−y也在曲线C上，则PP'=2x令t=y2∈0,1，则所以最大值为f58=−16×582+20×由曲线关于两坐标轴对称，所以只看第一象限所围成面积S1，总的面积为4第一象限中，0<y≤1,0<x=2y1−y2，当0<y≤12当12≤y≤1时，由①知0<x≤1，所以这部分包含在矩形内，面积小于等于因此曲线在第一象限内面积S1<14+若直线过原点斜率不存在时，直线方程x=0，代入曲线C的方程，可得4y4−4y2当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx，代入曲线C方程可得x21+4k4x2−4k2=0，解得x=0或4k4x2=4k2【分析】由x2=−4y4+4y2=4y21−y2≥0求得y的范围，由x2=4y16．【答案】（1）证明：因为PA⊥平面ABC，所以∠PCA即为直线PC与底面ABC所成的角，即∠PCA=π在Rt△PAC中，PA=1，所以PC=1sinπ又AB=1，BC=2，所以AB2又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，因为AB∩PA=A，AB,PA⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB；（2）解：以B为原点，BA,BC为x，y轴正方向，作Bz垂直于平面ABC为z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则A(1,0,0),B(0,0,0),C(0,2所以PA=(0,0,−1),设平面PAC的法向量n=(x1所以−z1=0−x1+设平面PBC的法向量m=(x2所以x2+z2=02y则cos<m,n>=【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角【解析】【分析】（1）由PA⊥平面ABC，可得∠PCA即为直线PC与底面ABC所成的角，即∠PCA=π6，求出各个长度，根据勾股定理，证明AB⊥BC，再根据线面垂直的性质定理证明（2）以B为原点，BA,BC为x，y轴正方向，作Bz垂直于平面ABC为z轴正方向建立空间直角坐标系，求得各点坐标和所需向量坐标，分别求出平面PAC与平面PBC的法向量，利用空间向量法求二面角的余弦值即可.（1）因为PA⊥平面ABC，所以∠PCA即为直线PC与底面ABC所成的角，即∠PCA=π在Rt△PAC中，PA=1，所以PC=1sinπ又AB=1，BC=2，所以AB2又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，因为AB∩PA=A，AB,PA⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.（2）以B为原点，BA,BC为x，y轴正方向，作Bz垂直于平面ABC为z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A(1,0,0),B(0,0,0),C(0,2所以PA=(0,0,−1),设平面PAC的法向量n=(x1所以−z1=0−x1+设平面PBC的法向量m=(x2所以x2+z2=02y则cos<所以平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为3317．【答案】（1）解：函数fx则函数fx的最小正周期为2π（2）解：选条件①：由fπ12=f所以π6+φ=π即φ=π6+kπ,k∈Z，又φ∈−π当x∈0,π2时，2x+即函数fx的最大值为1，最小值为−选条件②：当x∈π3,π因为函数fx在π3,π上单调递减，所以π2+2kπ≤选条件③：由fx+因为fx+π6则φ=π6+kπ,k∈Z，又φ∈−π当x∈0,π2时，2x+π6∈π【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数诱导公式二~六【解析】【分析】（1）利用诱导公式，结合正弦的两角个公式化简可得fx（2）选①：由fπ12=fπ4，可得π6+φ+π2+φ=π+2kπ,k∈Z，求出φ=π6，再根据正弦函数的性质求函数fx的最值即可；

选②：由正弦函数的单调性结合题设可得到φ（1）由fx则函数fx的最小正周期为2π（2）选条件①：由fπ12=f所以π6+φ=π即φ=π6+kπ,k∈Z，又φ∈−π当x∈0,π2时，2x+所以函数fx的最大值为1，最小值为−选条件②：当x∈π3,π因为函数fx在π所以π2+2kπ≤2π3+φ选条件③：由fx+因为fx+π6则φ=π6+kπ,k∈Z，又φ∈−π当x∈0,π2时，2x+所以函数fx的最大值为1，最小值为−18．【答案】（1）解：2016年到2025年共10年，依次与前一年比较未成年人参观次数，其中增长的年份共8年，

则所求概率为P=8（2）解：2015-2020年共6年，总人次超过120万的年份有2个，不超过的有4个；2021-2025年共5年，总人次超过120万的年份有2个，不超过的有3个，X的可能取值为0，1，2，3，分别计算概率：PX=0=CPX=2=C故X的分布列为：X0123P1141EX（3）解：未成年人数据：波动较小（22，25，26，29，30，32，14，20，16，32，35），波动范围在14–35；成年人数据：波动大（62，68，75，86，92，102，48，65，48，108，120），

波动范围在48–120，且有明显下降回升，总人次：波动更大（84，93，...，155），因为两个序列叠加且趋势类似，由此从数据波动幅度可看出：总人次波动最大，其次是成年人，最后是未成年人，故s1【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布【解析】【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解即可；（2）由题意可得随机变量X的可能取值，利用超几何分布求得每个值相应的概率，列分布列，再求数学期望即可；（3）根据数据的变化趋势以及波动情况即可得结论.（1）2016年到2025年共10年，依次与前一年比较未成年人参观次数，其中增长的年份共8年，因此所求概率为P=8（2）2015-2020年共6年，总人次超过120万的年份有2个，不超过的有4个；2021-2025年共5年，总人次超过120万的年份有2个，不超过的有3个。X的可能取值为0，1，2，3，分别计算概率：PX=0=CPX=2=C故X的分布列为：X0123P1141EX（3）未成年人数据：波动较小（22，25，26，29，30，32，14，20，16，32，35），波动范围在14–35；成年人数据：波动大（62，68，75，86，92，102，48，65，48，108，120），波动范围在48–120，且有明显下降回升，总人次：波动更大（84，93，...，155），因为两个序列叠加且趋势类似，由此从数据波动幅度可看出：总人次波动最大，其次是成年人，最后是未成年人，故s119．【答案】（1）解：因为点M−1,233又因为椭圆的左焦点为F−1,0，所以c=1，则c2=a2−则椭圆C的方程为x2（2）解：由题意，直线AB的斜率显然存在且不为0，设直线AB的方程为x=ty−3t≠0，Ax1联立x=ty−3x23则Δ=144t2−42且y1+y而S=1S=12⋅【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）根据点M−1,233在椭圆方程可得1a（2）由题意，直线AB的斜率显然存在且不为0，设直线AB的方程为x=ty−3t≠0，Ax1,y（1）由点M−1,23而左焦点为F−1,0，则c=1，即c2=则椭圆C的方程为x2（2）略20．【答案】（1）解：当a=1时，函数fx=1+lnxx的定义域为0,+∞则曲线y=fx在点1,f1处的切线方程（2）解：函数fx=1+lnx可得fx因为x∈0,+∞，且a>0，则令gx=1−则g'令hx=2lnx+1令h'x>0，解得x>1；令h可知hx在0,1内单调递减，在1,+∞内单调递增，则即g'x≥0，可知gx在当0<x<1时，则gx<0，可得fx当x=1时，则gx=0，可得fx当x>1时，则gx>0，可得fx综上所述：当0<x<1时，fx<f1x；当x=1时，fx（3）解：fx=1+lnxax的定义域为令f'x>0，解得0<x<1；令f可知fx在0,1内单调递增，在1,+∞内单调递减，则且当x趋近于0时，fx趋近于−∞；当x趋近于+∞则y=fx与y=1有2个交点，所以方程fx=1存在两个根x不妨设x1<x2，则由（2）可知：当0<x<1时，fx则fx1<f又因为x2>1，1x1>1则x2>1【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明；函数的零点与方程根的关系【解析】【分析】（1）将a=1代入，求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；（2）求函数fx的定义域，再求f1x的解析式，利用作差法可得fx−f1x=1−（3）求导，利用导数判断fx的单调性，求最值，则y=fx与y=1有2个交点，即可证方程fx=1存在两个根（1）若a=1，则fx=1+可得f1=1，所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程（2）由题意可知：fx=1+lnx可得fx因为x∈0,+∞，且a>0，则令gx=1−则g'令hx=2lnx+1令h'x>0，解得x>1；令h可知h