小学五年级数学《倍数与因数：概念建构与有序探究》教学设计

小学五年级数学《倍数与因数：概念建构与有序探究》教学设计一、教学基本信息【课题】倍数与因数：概念建构与有序探究【学科】小学数学【年级】小学五年级下册【课时】第1课时（共1课时）【教材】西南师范大学出版社（西师大版）五年级下册第一单元第1节【课型】新授课【【重要】设计核心】本设计以“相互依存的关系”为哲学基点，以“形数结合”为认知桥梁，以“有序思考”为思维主线，旨在帮助学生完成从感性操作到理性抽象的跨越，建立初步的数论思想。二、教学目标与核心素养指向（一）知识与技能1.【基础】结合具体情境，借助乘法算式，理解倍数与因数的意义，能正确判断两个非零自然数之间是否存在倍数与因数的关系。2.【【重要】重点】掌握找一个数的倍数与因数的基本方法，能够有序、不重复、不遗漏地找出100以内某个自然数的所有倍数（10以内）及所有因数。3.理解并掌握一个数的倍数和因数的基本特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。（二）过程与方法1.通过“拼长方形”的操作活动，经历“由形到数、再由数到形”的抽象过程，初步体会数形结合的思想。2.在探究找一个数的因数和倍数的方法时，通过自主探索、小组交流、全班辨析，体验从无序到有序的思维过程，感悟分类讨论和有序思考的数学方法。3.通过观察、比较、归纳，从特殊到一般，概括出一个数的倍数和因数的特征，培养初步的归纳推理能力。（三）情感、态度与价值观1.在描述数与数的关系（如“12是4的倍数，4是12的因数”）中，深刻体会数学概念的“相互依存”关系，感受数学语言的严谨性与逻辑美。2.通过探究活动，培养对数学的好奇心和求知欲，获得成功的体验，建立学习自信心。3.了解“完美数”等数学文化，感受数学的奇妙与历史的悠久，激发探索数学奥秘的持久兴趣。三、教学重难点（一）教学重点1.理解倍数和因数的意义，掌握其相互依存的关系。2.掌握有序地找一个数的倍数和因数的方法。（二）教学难点3.【【难点】核心难点】有序、不重复、不遗漏地找出一个数的所有因数。4.理解“1是所有非零自然数的因数”以及“一个数本身既是它最大的因数，也是它最小的倍数”。四、学情分析与教学策略（一）学情分析1.【知识基础】学生已经熟练掌握了整数乘除法，对“倍”的概念有清晰的认识（如12是3的4倍），这为理解“倍数”提供了生长点。但对“因数”的概念是全新的，且容易将“因数”与乘法算式中的“乘数”或后续要学的“公因数”混淆。2.【认知特点】五年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。他们能够进行简单的归纳和推理，但思维的严密性和深刻性有待发展。在找一个数的因数时，学生往往会无序列举，导致遗漏或重复。3.【生活经验】学生对生活中“相互依存”的关系（如母子、师生、同桌）有深刻的感性认识，可以以此为切入点，化解概念“相互依存性”的理解难点。（二）教学策略1.【情境策略】采用“关系”话题引入，利用“拼图”活动创设探究情境，使抽象的数学概念植根于直观的操作和具体的情境中。2.【对话策略】以核心问题链驱动教学（如“怎么拼的？”“能用算式表示吗？”“谁是谁的什么？”“怎样找才能既不重复又不遗漏？”），在师生、生生的互动对话中，不断深化理解，建构知识。3.【探究策略】对于找因数、倍数的方法，不直接灌输，而是让学生在“尝试—出错—对比—反思—修正”的自主探究过程中，悟出有序思考的必要性和具体方法，实现深度学习。五、教材分析与处理（一）教材地位“倍数与因数”是数论领域的基础内容，是学生后续学习2、3、5的倍数的特征、质数与合数、最大公因数与最小公倍数以及约分、通分的知识根基。本节课作为单元的起始课，其概念建构的牢固与否，直接影响整个单元乃至后续分数运算的学习质量。（二）教材处理1.【活用素材】教材提供了“36人队列操练”的情境，本设计将其调整为更具操作性的“用12个小正方形拼长方形”的活动。因为12的因数个数适中，更便于学生通过动手操作，直观感受“乘法算式”与“因数”的对应关系，同时渗透了“一个数的因数个数是有限的”这一事实。2.【重构顺序】教材通常先教倍数再教因数，或混在一起教。本设计遵循学生的认知规律：先通过拼图建立乘法模型，深刻理解因数与倍数的概念；然后先探究找因数（因为因数个数有限，更容易让学生体会到有序思考的价值），再探究找倍数（因为倍数个数无限，学生已有经验，更易迁移）。最后进行对比总结，揭示两者特征。3.【文化渗透】将“完美数”等数学文化作为拓展延伸，融入课堂练习或结尾，增加课堂的厚度与趣味性，体现数学的人文精神。六、教学准备1.【教具】多媒体课件（PPT），包含12个小正方形动态拼图、数轴演示、集合圈展示等。2.【学具】每人准备12个大小相同的小正方形学具（或棋子、圆片），自板笔，探究学习单。七、【核心环节】教学实施过程（一）创境引入，感知“相互依存”1.【师生对话，唤醒经验】同学们，咱们相处已经五年了，谁能用一个词来描述一下我和你们之间的关系？（预设：师生关系）那你们之间呢？（预设：同学关系、同桌关系、朋友关系……）。是的，这些关系都是相互的，不能单独存在。我们不能说“我是老师”，必须说“我是你们的老师”；也不能说“你是学生”，必须说“你是我的学生”。（板书核心词：相互依存）2.【迁移到数，揭示课题】其实，在数学王国里，数和数之间也存在着这样相互依存的关系。今天，就让我们一起走进数的世界，去探索“倍数与因数”这对神秘的朋友。（板书课题：倍数与因数）（二）操作建构，理解概念本质1.【操作活动】“形”中建“模”（1）任务驱动：请大家拿出准备好的12个小正方形，用它们拼成一个长方形。想一想，可以怎么拼？每排摆几个，摆了几排？你能不能用一道乘法算式来表示你的摆法？看看谁想到的摆法最多。（2）学生操作：教师巡视，指导学生将摆好的长方形“固定”在桌面上，并写出对应的乘法算式。（3）汇报展示，【数形结合】：﹂预设1：我摆的是每排4个，摆了3排。算式是4×3=12。（教师利用课件动态演示摆法）﹂预设2：我摆的是每排6个，摆了2排。算式是6×2=12。﹂预设3：我摆的是每排12个，摆了1排。算式是12×1=12。（4）追问与归纳：还有不同的摆法吗？（预设：有学生认为可以摆每排3个，摆4排。引导学生明确，这只是把前面的长方形旋转了一下，本质上是同一种摆法）。所以，用12个小正方形，我们一共找到了3种不同的乘法算式。2.【概念揭示】“数”中定“义”（1）以例析理：同学们请看大屏幕（聚焦4×3=12）。在这个乘法算式中，4、3、12都是什么数？（预设：自然数，非零自然数）。在数学上，我们就赋予它们一种特殊的关系。因为4×3=12，所以我们就说：12是4的倍数，12也是3的倍数；反过来，4是12的因数，3也是12的因数。（板书：12是4和3的倍数；4和3是12的因数）（2）强调【相互依存】：大家注意看，我们在说“倍数”或“因数”的时候，能单独说“12是倍数”吗？（预设：不能）对！必须说清“12是谁的倍数”。倍数和因数就像一对形影不离的好朋友，谁也离不开谁，它们是相互依存的。（3）即时模仿，迁移运用：﹂师：谁能根据6×2=12这个算式，像老师刚才那样，说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数？﹂生：12是6的倍数，12也是2的倍数；6是12的因数，2也是12的因数。﹂师：说得非常完整！那根据12×1=12，你又会说吗？﹂生：12是12的倍数，12也是1的倍数；12是12的因数，1也是12的因数。（4）引发思辨，深化认知：大家听出来了吗？在这个算式中，有一句话听起来有点特别。（预设：12是12的倍数，12也是12的因数）对啊，一个数居然既是它自己的倍数，又是它自己的因数！这正体现了数学的奇妙之处。同时，我们也要注意，为了研究方便，我们所说的倍数和因数，一般指的是非零自然数。3.【概念泛化】沟通乘除（1）出示算式：18÷3=6。师：这是一个除法算式，你能从中找到谁是谁的倍数，谁是谁的因数吗？（2）小组讨论，代表发言：18是3和6的倍数，3和6是18的因数。（3）总结提升：看来，不论是乘法还是除法，只要满足“a×b=c”（a、b、c都是非零自然数），或者“c÷a=b”（a、b、c都是非零自然数），我们都可以说，c是a和b的倍数，a和b是c的因数。除法是乘法的逆运算，它们本质上是相通的。（三）深度探究，掌握“有序”方法1.【重点突破】探究找因数的方法（1）问题驱动：刚才我们根据算式，知道了12的因数有1、2、3、4、6、12。（板书这些数）。那老师想问问大家，36的因数有哪些呢？你能把它们全部找出来吗？（2）自主探究（学习单1）：学生独立尝试找出36的所有因数。教师巡视，收集典型作品。这是本课的【难点】所在，学生会出现各种情况：无序乱找、遗漏、重复等。（3）作品展示，对比辨析：﹂展示“无序遗漏”的作品（如：2、4、6、9、36）。引导提问：你们觉得他找全了吗？有什么建议？（预设：不全，缺少1、3、12、18……）﹂展示“有序成对”的作品（如：1、36、2、18、3、12、4、9、6）。请这位同学上台分享他的思考过程。﹂生分享：我是从1开始，想1×36=36，所以1和36就是一对；然后想2×18=36，找到2和18；接着3×12=36，找到3和12；4×9=36，找到4和9；最后6×6=36，因为6重复了，就只写一个6。﹂师总结方法（【重要】）：大家听明白了吗？他的秘诀就是——按顺序，一对一对地找。从1开始，用除法或乘法去试，一直找到两个数非常接近或者重复为止。这样既能保证不重复，又能保证不遗漏。（4）巩固练习（学习单2）：请用刚才学会的“有序成对”法，找出15和16的所有因数。﹂生汇报：15的因数有1、3、5、15。16的因数有1、2、4、8、16。（5）观察发现，总结【特征】：请大家仔细观察12、36、15、16的因数，你发现一个数的因数有什么共同的特征？（小组讨论）﹂最小的因数都是1。﹂最大的因数都是它本身。﹂一个数的因数的个数是有限的。（板书：因数：个数有限，最小是1，最大是本身）2.【方法迁移】探究找倍数的方法（1）问题驱动：刚才我们研究了因数，现在我们来看看倍数。谁能告诉我，3的倍数有哪些？看谁写得多。（2）自主探究（学习单3）：学生在1分钟内写出3的倍数。时间到后，统计数量，最多的写了几个？（3）汇报交流，提炼方法：﹂师：你是怎么写3的倍数的？﹂生：我用3×1=3，3×2=6，3×3=9……这样一直乘下去。﹂师：为什么要用1、2、3……去乘？这样有什么好处？﹂生：这样按顺序乘，不会漏掉任何一个倍数。﹂师总结：找一个数的倍数，就用这个数依次去乘非零自然数1、2、3……所得的积就是这个数的倍数。（4）对比感悟，发现【特征】：﹂师：刚才大家在写3的倍数时，有没有写完？（预设：没有，还有很多很多）。这说明什么？﹂生：说明一个数的倍数的个数是无限的。﹂师：那最小的倍数是几？（预设：3本身）有最大的倍数吗？（预设：没有）﹂板书：倍数：个数无限，最小是本身，没有最大的。（5）规范书写：在100以内找7的倍数。引导学生明确，由于个数太多，通常用省略号表示无限。或者指定范围，如“100以内7的倍数”。（四）练习巩固，深化理解应用1.【基础性练习】判断与辨析（手势判断）（1）8是倍数，2是因数。（×，【重要】强调相互依存，必须说谁是谁的倍数/因数）（2）24÷6=4，所以24是6的倍数。（√）（3）一个数的因数一定比这个数小。（×，引导学生找出反例：它本身）（4）1是所有非零自然数的因数。（√，这是一个非常重要的推论）2.【【高频考点】综合性练习】填空（1）30的因数有（），其中最小的因数是（），最大的因数是（）。（2）50以内8的倍数有（），其中最小的倍数是（）。3.【拓展性练习】数学文化渗透——“完美数”（1）课件出示：6的因数有1、2、3、6。这几个因数中，把6本身去掉，剩下的1、2、3加起来，你发现了什么？（1+2+3=6）（2）介绍：像这样，一个数所有不是它本身的因数之和正好等于它本身，这个数就叫做“完美数”或“完全数”。6就是最小的完美数。古希腊的毕达哥拉斯学派对它推崇备至，认为它象征着“完满”。其实，数学家们至今仍在寻找更大的完美数。感兴趣的同学课后可以去查一查资料，看看下一个完美数是多少？（28）（五）全课总结，构建认知结构1.【知识梳理】同学们，今天这节课我们一起研究了“倍数与因数”。回想一下，我们是怎样认识它们的？（通过拼长方形、写乘法算式）我们学会了什么？（找因数和倍数的方法）我们又发现了什么？（因数个数有限，倍数个数无限……）2.【思想提炼】在这个过程中，你觉得哪种思考方法对你帮助最大？（预设：有序思考，一对一对地找）对，有序思考不仅能帮我们学好数学，更能帮我们有条理地解决生活中的各种问题。3.【尾声】数学王国的奥秘是无穷的，两个自然数之间除了倍数和因数的关系，还有着其他千丝万缕的联系。带着我们今天学到的本领和思想，继续去探索吧！八、板书设计小学五年级数学《倍数与因数》┌─────────────────────┐│相互依存a×b=c(非0自然数)││（c是a和b的倍数）││（a和b是c的因数）│├─────────────────────┤│找因数│找倍数││（有序成对）│（依次乘1，2，3…）││36的因数：│3的倍数：││1，36，│3，6，9，12，15……││2，18，├─────────────────────┤│3，12，│特征：││4，9，│倍数：个数无限││6│最小是本身│├─────────────────────┤无最大││特征：│││因数：个数有限│││最小是1