小学数学五年级上册《小数除法-除数是整数的算理与算法》教学设计

小学数学五年级上册《小数除法——除数是整数的算理与算法》教学设计

  一、设计理念与依据

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，深度融合建构主义学习理论与现代认知心理学原理。设计核心摒弃传统“告知—模仿—训练”的单一技能传授模式，转向“情境—探究—建模—迁移”的素养生成范式。我们深刻认识到，“小数除法”并非孤立的知识点，而是学生数系认识从“等分”整数到“细分”小数的关键飞跃，是整数除法意义、分数意义、位值原则、十进制计数法等核心概念的融会贯通与综合应用。因此，本课着力于搭建理解的阶梯，将抽象的算法还原于生动的现实情境与直观的数学模型之中，引导学生在“分物”的操作与思辨中，自发生长对算理的深刻洞察，进而自主建构出清晰、稳固的算法程序。我们强调跨学科视野的渗透，将数学问题置于经济、科学、生活管理等真实背景之下，培养学生用数学眼光观察世界、用数学思维分析世界、用数学语言表达世界的能力。教学全程贯穿“以学生为主体，以问题为导向”的原则，通过精心设计的层次性任务链、协同探究的小组活动和指向高阶思维的深度对话，激发学生的认知冲突，促进其数学思维从具体运算阶段向形式运算阶段的有效过渡。

  二、教学目标

  （一）知识与技能

  1.结合具体情境，理解并掌握除数是整数的小数除法的计算方法，能正确进行笔算。

  2.理解小数除法中“商的小数点要与被除数的小数点对齐”的算理，并能清晰表述其依据。

  3.能处理计算过程中遇到的“整数部分不够商1”、“除到被除数末尾有余数需添0继续除”等特殊情况。

  （二）数学思考与问题解决

  1.经历从现实问题抽象出数学问题，并通过操作、类比、推理探索计算方法的过程，发展抽象概括和逻辑推理能力。

  2.在探索算理、归纳算法的活动中，体会“转化”的数学思想（将未知的小数除法转化为已知的整数除法或分数意义来解决），初步建立数学模型。

  3.能运用所学知识解决简单的实际问题，并能在解决问题的过程中进行估算和结果合理性判断。

  （三）情感态度与价值观

  1.在探索与发现的过程中，体验数学思考的条理性和结论的确定性，获得成功的体验，增强学习数学的自信心。

  2.感受数学与生活的紧密联系，体会小数除法在解决实际问题中的价值。

  3.在小组合作学习中，养成乐于交流、敢于质疑、严谨求实的科学态度。

  三、教学重难点

  教学重点：理解并掌握除数是整数的小数除法的计算方法，特别是商的小数点定位规则。

  教学难点：理解“商的小数点要与被除数的小数点对齐”的算理本质；理解“添0继续除”的原理，即被除数小数部分的末尾可以无限添0，其值不变。

  四、教学准备

  1.教具：多媒体课件（内含情境动画、动态演示分物过程、竖式分步演示）、实物投影仪。

  2.学具：每小组一套“人民币学具”（包含元、角、分模型或图片）、方格纸或面积模型图、学习任务单。

  3.教学环境：具备小组合作条件的教室，黑板提前划分好板书区域。

  五、教学实施过程

  （一）第一阶段：情境导入，激活经验，感知意义（预计用时：8分钟）

  1.活动启动——创设认知冲突

   师：（课件出示情境）学校“阳光体育”活动准备为班级采购跳绳。体育委员小华用班费去购买。已知每根跳绳的价格是4元，班费共有32元。请问可以买几根跳绳？请大家快速口答。

   生：32÷4=8（根），可以买8根。

   师：非常好！这是一个我们非常熟悉的整数除法问题，它表示把32元平均分成4份，求每份是多少元，也就是求单价。现在，情况有变。（课件动态变化）如果商店搞促销，单价变成了4.8元一根，班费还是32元。现在能买几根呢？算式怎么列？

   生：32÷4.8。

   师：仔细观察这个算式，与我们刚才的32÷4有什么不同？

   生：除数从整数4变成了小数4.8。

   师：是的。这就是我们今天要探索的新问题——除数是小数的除法。（稍作停顿）但这个问题对我们来说暂时还有些复杂。数学家遇到复杂问题时，常常会想办法把它转化成已经学过的问题。大家想想，我们可以怎样转化，让这个除数先变成我们熟悉的整数呢？

   生：（可能回答）可以把4.8元看成48角，32元看成320角……

   师：你的想法非常有价值！通过单位换算，把小数除法转化成了整数除法。这给了我们重要启示。不过，今天我们先聚焦于一种更基础的情况。请看第三个情境：（课件出示）如果跳绳的单价是整数4元，但班费有32.8元，请问能买几根？算式是？

   生：32.8÷4。

   师：对比一下，这个算式里，被除数是小数，除数是整数。这就是我们今天要深入研究的“除数是整数的小数除法”。（板书课题核心：除数是整数的小数除法）从整数除法到小数除法，计算方法会发生变化吗？商的小数点又该点在哪里？让我们带着这些问题开始今天的探究之旅。

  设计意图：通过系列化的购物情境，制造认知冲突，自然引出新知。从整数除法复习入手，搭建“脚手架”。通过对比三个算式，帮助学生清晰界定本课的研究范围（除数是整数），并渗透“转化”思想，为后续学习除数是小数的除法埋下伏笔。问题驱动，激发学生探究欲望。

  （二）第二阶段：操作探究，多元表征，明晰算理（预计用时：22分钟）

  1.任务一：初步尝试，暴露原初想法

   师：首先，我们来研究32.8÷4。请大家先独立思考，可以尝试用自己喜欢的方法计算出结果，并想一想为什么可以这样算。把你的想法记录在学习单上。

   （学生独立尝试，教师巡视，收集不同的典型方法，预设可能有：单位换算成角计算、化成小数除法、列竖式但小数点处理各异、画图等。）

   师：我看到大家都有了自己的思考。谁来分享一下你的方法和结果？

   生1：我把32.8元看成328角，328÷4=82（角），82角就是8.2元，所以能买8.2根，但实际买不了0.2根，所以大概是8根。

   师：你运用了单位换算，非常巧妙！结果是8.2。注意，在数学计算中我们通常求出精确值，8.2根表示如果长度可以分割，理论上是8.2根。

   生2：我列了竖式，先算32除以4得8，再把8拖下来除以4得2，结果是82。

   生3：不对，我觉得小数点很重要。我列竖式时，算了32除以4得8，在个位写8，然后点小数点，把8拖下来…不对，是点小数点后把8落下来，8除以4得2，在十分位写2，结果是8.2。

   （教师将生2和生3的竖式板演在黑板上对比区域。）

  2.任务二：模型支撑，深化算理理解

   师：出现了两种不同的竖式过程和结果：82和8.2。到底哪一种正确？光看竖式争论不清，我们必须回到问题的本质——平均分。请各小组利用手中的学具（人民币模型、方格纸），通过“分一分”、“画一画”的方式，来解释32.8÷4到底是怎么分的，结果为什么是8.2。

   （小组合作探究，教师深入小组指导，引导学生用不同模型表征分的过程。）

   小组汇报：

   组1（使用人民币模型）：我们组用钱来分。32.8元就是32元8角。先把32元平均分成4份，每份得8元。剩下的8角平均分成4份，每份得2角。合起来每份是8元2角，也就是8.2元。所以买单价4元的跳绳，32.8元可以买8.2根。竖式应该像生3那样，先分元，商8写在个位，表示8元；再分角，商2写在十分位，表示2角。

   （教师课件同步动态演示分钱过程，并与生3的竖式每一步对应：先分32个一，商8个一；再分8个十分之一，商2个十分之一。）

   师：太精彩了！你们把分的过程和竖式的每一步完美对应起来了。从人民币单位“元、角”过渡到数学上的“个位、十分位”，让我们明白了竖式中每一个数字所在的数位意义。这解释了为什么商的小数点要点在8的后面，因为8是整数部分分完的结果，接下来要分小数部分了。

   组2（使用面积模型）：我们画了一个长方形表示32.8。长边分成32个大格和0.8个大格。先平均分32个大格，每份8格；再把剩下的0.8大格（即8个小格，假设每大格分成10小格）平均分，每份2小格，即0.2。所以每份是8+0.2=8.2。竖式计算时，先分整数部分的32，商8；再分小数部分的0.8，商0.2，这个0.2的2必须写在十分位上，所以要在8后面点上小数点再写2。

   师：面积模型从“量”的角度给了我们另一个直观解释。无论用什么模型，我们都发现了一个共同的道理：在计算除数是整数的小数除法时，我们要按照（）的顺序来分？

   生：从高位到低位，先分整数部分，再分小数部分。

   师：是的，这和整数除法的计算顺序一致。分到哪一位，商就写在哪一位上。整数部分分完，轮到分十分位了，所以商的小数点要点在个位（整数部分）的右下角，标志着小数部分除法计算的开始。这就是“商的小数点要与被除数的小数点对齐”的道理！因为被除数的小数点标明了整数部分和小数部分的分界，商的小数点也要标出同样的分界。（板书核心算理，并用箭头对齐演示）

  3.任务三：特殊情况探究，突破难点

   探究点A：整数部分不够商1

   师：如果班费只有6.8元，还是买4元一根的跳绳，能买几根？算式是？

   生：6.8÷4。

   师：请尝试列竖式计算。遇到什么新情况了吗？

   （学生尝试，会发现整数部分6除以4，商1余2，但关键是如何处理小数点。）

   生：整数部分6除以4，商1写在个位，余2。然后……把小数点的8落下来，变成28个十分之一除以4，商7写在十分位。

   师：大家同意吗？这个“1”和“7”之间需要点什么？

   生：需要点小数点！因为1是整数部分的商，7是十分位的商。

   师：可是，被除数的小数点在这里（指6.8），我们商的小数点应该点在哪里？

   生：点在个位1的右下角，和它对齐。

   师：为什么这个时候要点小数点？它起到了什么作用？

   生：它表示整数部分分完了，余下的要和后面的小数部分合起来继续分。如果不点，17就变成17了，不对。

   师：总结得好。即使整数部分商1后有余数，也要先点上小数点，再将小数部分落下来继续除。这进一步巩固了“按数位顺序除”的规则。

   探究点B：除到被除数末尾有余数，需要添0继续除

   师：挑战升级！如果班费是32.6元，买单价4元的跳绳，能买几根？列竖式算算看。（32.6÷4）

   （学生计算，可能发现：32除以4得8，小数点对齐落下来，6除以4商1余2，得到8.1余2。）

   师：我们得到了8.1根，还余下“2”。这个“2”是2元吗？还是2角？

   生：是2角，也就是0.2元，因为6是十分位上的，表示6角，余下的2是2角。

   师：没错，这个余数“2”表示2个十分之一。现在问题来了：在实际生活中，这剩下的0.2元（2角）还能继续分吗？在数学计算上，我们能否得到一个更精确的商？

   生：可以！可以把2角化成20分继续分。

   师：非常棒！在数学上，我们可以在被除数小数部分的末尾添上“0”，这个数的大小不变（小数的基本性质）。这个“0”落在余数2的后面，就变成了“20”个什么？

   生：20个百分之一。

   师：对！现在就把20个百分之一继续平均分成4份，每份是多少？

   生：每份是5个百分之一，也就是0.05。

   师：所以在竖式上，我们就在余数2的后面添0，变成20，继续除，商5写在百分位上。最终的商是多少？

   生：8.15。

   师：（动画演示添0过程）这就是“除到被除数末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除”。如果需要，我们可以一直除下去，直到余数为0或达到所需的精度。这体现了小数除法的精确性和连续性。

  设计意图：本环节是教学的核心与难点突破区。通过“独立尝试-暴露思维-操作验证-模型关联-归纳算理-特殊辨析”的层层递进式探究，让学生亲历知识的形成过程。多元表征（人民币、面积图、竖式）的联动，将抽象的算理具象化、可视化，使学生深刻理解“商的小数点对齐”不是机械规定，而是数位顺序和计数单位运算的必然结果。两个特殊情况的处理，紧扣算理本质，引导学生运用已有知识（小数的基本性质）解决新问题，培养思维的严谨性和深刻性。

  （三）第三阶段：算法抽象，对比归纳，建构模型（预计用时：6分钟）

  师：经历了刚才的深入探究，现在你能总结一下，计算除数是整数的小数除法，一般步骤是怎样的吗？请先和你的同桌说一说，再试着用简洁的语言概括。

  （学生讨论，教师巡视倾听。）

  师：谁来分享你们的“算法秘籍”？

  生：第一步，按整数除法的方法去除；第二步，商的小数点要和被除数的小数点对齐；第三步，如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除；第四步，如果整数部分不够除，商0，点上小数点继续除。（教师根据学生回答，完善并板书算法步骤）

  师：精辟的总结！请大家将目光聚焦在这几个关键步骤上，并与我们之前学的整数除法进行比较，你发现了什么联系与区别？

  生：联系是计算方法都是从高位除起，一位一位地除。区别是小数除法多了小数点的处理，要特别注意对齐。

  师：是的。小数除法在本质上与整数除法一脉相承，都是基于十进制计数法的“平均分”。整数除法是分“一、十、百……”，小数除法是把“十分之一、百分之一……”也纳入分的范围。所以，算法是相通的，只是数的范围扩展了。我们通过“小数点对齐”这个关键操作，保证了相同的计数单位才能进行运算。（形成板书网络图，将整数除法与小数除法的算理核心连通）

  设计意图：在充分感知和明晰算理的基础上，引导学生自主归纳算法，实现从具体操作到抽象程序的飞跃。通过对比整数除法与小数除法，沟通知识间的内在联系，帮助学生将新知识纳入原有的认知结构，形成关于“除法”运算更完整、更高阶的认知模型。

  （四）第四阶段：分层巩固，灵活应用，拓展延伸（预计用时：12分钟）

  1.基础应用层：算理巩固练习

   计算：9.6÷414.7÷725.2÷628.8÷24

   要求：竖式计算，并指名板演。完成后，师生共同评议，重点评议小数点的位置、整数部分不够商1时的处理（如28.8÷24）。

  2.综合应用层：解决问题

   （1）生活问题：一瓶1.5升的果汁，平均倒入3个完全相同的杯子中，每杯有多少升？

   （2）科学情境：一辆新能源电动汽车行驶16.5公里耗电3度，它平均每公里耗电多少度？（得数保留两位小数）

   要求：先分析数量关系列式，再计算。强调解决问题格式，并讨论第二题结果保留小数的现实意义。

  3.思维拓展层：探究与发现

   （1）不计算，你能直接判断下面各题的商哪些是大于1的，哪些是小于1的吗？为什么？

     5.04÷615.6÷2476.5÷450.84÷28

   （引导学生发现规律：当被除数的整数部分大于或等于除数时，商大于等于1；当被除数的整数部分小于除数时，商小于1。培养估算意识。）

   （2）想一想：12÷5与1.2÷0.5的商相等吗？你能用今天学到的知识解释吗？这为我们明天学习什么内容提供了启发？（为“除数是小数的除法”做铺垫，引导学生思考商不变性质的应用。）

  设计意图：练习设计遵循“循序渐进、分层递进”的原则。基础层紧扣算理算法，确保全体学生掌握核心技能。综合层将数学应用于现实情境，培养学生建模和应用能力。拓展层旨在发展学生的数感和推理能力，既有基于本课内容的规律发现，又有指向后续知识的思维孕伏，体现教学的整体性和发展性。

  六、板书设计

  （黑板左侧为探究区，中间为算法归纳区，右侧为要点提示区）

  课题：除数是整数的小数除法——算理与算法

  探究区：

   32.8÷4=8.2（元）……（模型演示关联区）

   竖式对比：

    （错误）（正确）

     82   8.2

    4）32.8 4）32.8

     32   32

       8    8

       8    8

       0    0

  算法归纳区（思维导图式）：

   核心：按整数除法的方法除

   关键：商的小数点与被除数的小数点对齐（算理：相同数位对齐，分到哪一位，商就写在哪一位上）

   特殊情况处理：

    ①整数部分不够除：商0，点小数点。

    ②末尾有余数：添0继续除（依据：小数的基本性质）。

   联系：整数除法←（扩展数域）→小数除法

  要点提示区：

   计数单位：一（个）、十分之一、百分之一……

   思想方法：转化、模型、类比。

  七、作业设计（分层选做）

  A层（基础巩固）：

   1.完成课本配套练习第X页第1、2、3题（竖式计算）。

   2.结合今天的学习，用文字或图表向家人解释“为什么计算小数除法时，商的小数点要和被除数的小数点对齐”。

  B层（能力提升）：

   1.解决一个生活中遇到的需要用小数除法计算的实际问题，并记录过程。

   2.探究：计算10÷8，你能想出几种不同的算法？（鼓励用竖式、分数转化、单位换算等多种方法）

  C层（探究拓展）：

   查阅资料或自行探究：古代中国（如《九章算术》）或其它文明中，人们是如何进行小数或分数除法的？与我们现在的方法有何异同？（撰写一份简短的