2026版《金版教程》高考一轮复习数学数形结合思想专练

高考总复习首选用卷数学数形结合思想专练基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号12345678难度★★★★★★★★★★★对点交集运算；作函数图象利用抛物线的定义求线段和的最值三角函数中参数ω的取值范围问题平面向量加减运算的几何意义与圆有关的轨迹问题函数零点问题三角函数中的零点问题指数函数、对数函数的图象及应用题号91011121314难度★★★★★★★★★★★对点对数函数的图象及应用；直线的斜率空间动态问题中的轨迹问题零点和问题利用图象研究函数的性质根据方程解的个数求参数的取值范围与抛物线有关的最值问题；定点问题一、选择题1．(2025·安徽部分学校高三开学联考)已知集合A＝{(x，y)|y＝ln(|x|＋1)}，B＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，则A∩B中的元素个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案：B解析：由x∈R且ln(|x|＋1)＝ln(|－x|＋1)知，y＝ln(|x|＋1)为偶函数，故函数y＝ln(|x|＋1)的图象关于y轴对称，当x≥0时，作出y＝ln(x＋1)的图象与圆x2＋y2＝1，如图．由图象知，当x≥0时，有一个交点，再由偶函数图象的对称性可知，当x<0时，也有一个交点．综上，y＝ln(|x|＋1)的图象与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中的元素个数为2.故选B.2．(2025·云南大理宾川县第四完全中学高三模拟)已知P为抛物线C：y2＝8x上任意一点，F为抛物线C的焦点，Q为圆M：(x－8)2＋(y－4)2＝4上任意一点，则|PF|＋|PQ|的最小值为()A．6 B．10C．4 D．8答案：D解析：如图，过点P作PH垂直准线于点H，连接PM交⊙M于点Q.由题意可得F(2，0)，C的准线方程为x＝－2，|PF|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|.因为|PQ|＝|PM|－|QM|＝|PM|－2，所以|PF|＋|PQ|＝|PH|＋|PM|－2，当M，P，H三点共线时，|PH|＋|PM|取得最小值，最小值为8＋2＝10，所以|PF|＋|PQ|的最小值为10－2＝8.故选D.3．设函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(13,6))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(13,6)，\f(8,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(19,6))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(13,6)，\f(19,6)))答案：B解析：依题意可得ω>0，因为x∈(0，π)，所以ωx＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，ωπ＋\f(π,3)))，要使函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，又y＝sinx，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，3π))的图象如图所示，则eq\f(5π,2)<ωπ＋eq\f(π,3)≤3π，解得eq\f(13,6)<ω≤eq\f(8,3)，即ω∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(13,6)，\f(8,3))).故选B.4．已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是()A．[eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1] B．[eq\r(2)－1，eq\r(2)＋2]C．[1，eq\r(2)＋1] D．[1，eq\r(2)＋2]答案：A解析：如图，令eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OD,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，∵a，b是单位向量，a·b＝0，∴四边形AOBD是边长为1的正方形，|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝eq\r(2).又|c－a－b|＝1，∴点C在以点D为圆心，1为半径的圆上．易知点C与O，D共线时，|eq\o(OC,\s\up6(→))|取得最值，最大值为eq\r(2)＋1，最小值为eq\r(2)－1，∴|c|的取值范围是[eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1]．5．在△ABC中，BC＝3，AC＝2AB，则△ABC面积的最大值为()A．2 B．3C．4 D．5答案：B解析：取BC的中点O，以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，因为BC＝3，AC＝2AB，故Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，设A(x，y)，则eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))\s\up12(2)＋y2)＝2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))\s\up12(2)＋y2)，整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝4，所以点A(x，y)的轨迹是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，0))为圆心，2为半径的圆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(除去点\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，0))，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))))，则当Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，±2))时，△ABC的面积取得最大值，此时S△ABC＝eq\f(1,2)×3×2＝3.6．(2025·福建平和广兆中学高三上期末)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln（x＋1），x>0，,－x2－2x＋3，x≤0，))若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是()A．(－∞，4) B．[3，4)C．(－∞，4] D．[3，4]答案：B解析：由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则方程f(x)－m＝0有3个根，故函数y＝f(x)与y＝m的图象有3个交点，函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln（x＋1），x>0，,－x2－2x＋3，x≤0))的图象如图所示，因为f(－1)＝4，f(0)＝3，所以实数m的取值范围为[3，4)．故选B.7．已知函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－m，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(7π,6)))有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则m(x1＋2x2＋x3)的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，\f(5π,3))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，\f(5π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)，\f(10π,3))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)，\f(10π,3)))答案：D解析：令z＝2x＋eq\f(π,6)，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(7π,6)))时，z∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,2)))，y＝sinzeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,2)))))与y＝eq\f(m,2)的图象如图所示，由对称性可知z1＋z2＝π，z2＋z3＝3π，∴z1＋2z2＋z3＝4π，又z1＋2z2＋z3＝2x1＋eq\f(π,6)＋4x2＋eq\f(π,3)＋2x3＋eq\f(π,6)＝2(x1＋2x2＋x3)＋eq\f(2π,3)，∴x1＋2x2＋x3＝eq\f(5π,3)，又eq\f(m,2)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，故m∈[1，2)，∴m(x1＋2x2＋x3)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)，\f(10π,3))).故选D.8．(多选)(2024·山西忻州名校高三上学期期中联合质量检测)已知正数a，b，c满足a＋log2a＝b＋3b＝c＋eq\f(1,c2)＝5，则下列结论可能正确的是()A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．c<a<b答案：BC解析：由a＋log2a＝b＋3b＝c＋eq\f(1,c2)＝5，得log2a＝5－a，3b＝5－b，eq\f(1,c2)＝5－c，在同一直角坐标系中，作出函数y＝log2x，y＝3x(x>0)，y＝eq\f(1,x2)(x>0)，y＝5－x的大致图象，如图所示，由图可知，c<b<a或b<a<c.二、填空题9．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则eq\f(f（a）,a)，eq\f(f（b）,b)，eq\f(f（c）,c)的大小关系为________．答案：eq\f(f（a）,a)<eq\f(f（b）,b)<eq\f(f（c）,c)解析：作出函数f(x)＝log2(x＋1)的大致图象，如图所示，可知当x>0时，曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a>b>c>0，所以eq\f(f（a）,a)<eq\f(f（b）,b)<eq\f(f（c）,c).10．(2025·广西柳州高级中学高三阶段测试(二))在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，且AB⊥BC.记直线PA，PC与平面ABC所成的角分别为α，β，已知β＝2α＝60°，当三棱锥P－ABC的体积最小时，PB的长为________．答案：2eq\r(2)解析：如图1，设点P在平面ABC内的射影为P′，由直线PA，PC与平面ABC所成的角分别为α，β，且β＝2α＝60°，得α＝30°，P′P＝eq\r(3)P′C，P′P＝eq\f(\r(3),3)P′A，于是3P′C＝P′A.如图2，以AC为x轴，线段AC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，令P′(x，y)，由AB＝BC＝2eq\r(2)，AB⊥BC，得A(－2，0)，B(0，2)，C(2，0)，则3eq\r(（x－2）2＋y2)＝eq\r(（x＋2）2＋y2)，化简得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(9,4)，因此点P′在以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0))为圆心，eq\f(3,2)为半径的圆上，当P′C最小时，P′P最小，即三棱锥P－ABC的体积最小，此时P′(1，0)，P′Cmin＝2－1＝1，P′Pmin＝eq\r(3)，P′B＝eq\r(5)，PB＝eq\r(P′P2＋P′B2)＝eq\r(3＋5)＝2eq\r(2).11．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋4)，f(－x)－f(x)＝0且f(0)＝0.当x∈(0，2]时，f(x)＝eq\f(1,x)－2.则函数g(x)＝f(x)－eq\f(2,3)sineq\f(π,4)x在区间[－6，2]上所有的零点之和为__________．答案：－12解析：由f(－x)－f(x)＝0得f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，∵f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)是周期为4的周期函数，因此可得f(x)的图象关于直线x＝－2对称．y＝eq\f(2,3)sineq\f(π,4)x是奇函数，它的图象关于直线x＝4k＋2(k∈Z)对称，则它的图象关于直线x＝－2对称，函数g(x)＝f(x)－eq\f(2,3)sineq\f(π,4)x在区间[－6，2]上所有的零点，即为方程f(x)＝eq\f(2,3)sineq\f(π,4)x的解，在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝eq\f(2,3)sineq\f(π,4)x的大致图象，如图，它们在[－6，2]上有6个交点，横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6，其中x2＝－4，x5＝0，由对称性知x1＋x6＝x3＋x4＝－4，∴x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝－12，∴所有的零点之和为－12.三、解答题12．记实数x1，x2，…，xn中的最小者为min{x1，x2，…，xn}，求定义在区间[0，＋∞)上的函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3，13－x}的最大值．解：在同一坐标系中作出三个函数y＝x2＋1，y＝x＋3，y＝13－x的图象如图．由图可知，在实数集R上，函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3，13－x}的图象为直线y＝x＋3上A点下方的射线、抛物线AB之间的部分、线段BC与直线y＝13－x上C点下方的部分的组合图．显然，在区间[0，＋∞)上，在C点时，f(x)＝min{x2＋1，x＋3，13－x}取得最大值．解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋3，,y＝13－x，))得点C(5，8)．所以f(x)max＝8.13．设函数F(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x），x≤0，,g（x），x>0，))其中f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝eq\f(1,2)x2－lnx，方程F(x)＝a2有且仅有4个解，求实数a的取值范围．解：若x∈(0，＋∞)，则F(x)＝g(x)，F′(x)＝g′(x)＝x－eq\f(1,x)，当x∈(0，1)时，g′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，所以当x＝1时，g(x)取极小值g(1)＝eq\f(1,2).若x∈(－∞，0]，则F(x)＝f(x)．①当a＝0时，方程F(x)＝a2＝0不可能有4个解；②当a<0时，因为f′(x)＝3a(x2－1)，当x∈(－1，0)时，f′(x)>0，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝2a，又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图1所示，从图象可以看出F(x)＝a2不可能有4个解；③当a>0时，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，当x∈(－1，0)时，f′(x)<0，所以当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝2a，又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图2所示，由图象可知，若方程F(x)＝a2有4个解，则eq\f(1,2)<a2<2a，解得eq\f(\r(2),2)<a<2.综上，实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，2)).14．(2025·湖南师大附中高三第一次月考)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离等于椭圆C2：x2＋16y2＝1的短轴长，点P在抛物线C1上，圆E：(x－2)2＋y2＝r2(其中0<r<1)．(1)若r＝eq\f(1,2)，Q为圆E上的动点，求线段PQ长度的最小值；(2)设D(1，t)是抛物线C1上位于第一象限的一点，过D作圆E的两条切线，分别交抛物线C1于点M，N.证明：直线MN恒过定点．解：(1)由题意得，椭圆C2的标准方程为x2＋eq\f(y2,\f(1,16))＝1，所以短半轴长b＝eq\f(1,4)，所以p＝2b＝2×eq\f(1