2026版《金版教程》高考一轮复习数学第五章 考点测试29 空间点、直线、平面之间的位置关系

高考总复习首选用卷数学考点测试29空间点、直线、平面之间的位置关系基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号123456789难度★★★★★★★★★对点空间线面位置关系的判断空间线面位置关系的判断共面问题异面直线所成的角空间位置关系的判断空间直线位置关系的判断异面直线所成的角截面问题空间直线位置关系的判断题号1011121314151617难度★★★★★★★★★★★★★★★★★对点共面问题；共点、共线问题；空间直线位置关系的判断截面问题截面问题共面问题；共点、共线问题异面直线所成的角新定义问题；异面直线的判断共面问题；共点问题截面问题高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，中等难度考点研读1.理解空间直线、平面位置关系的定义2.了解可以作为推理依据的基本事实和定理3.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题1．已知a，b，c是两两不同的三条直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c异面，则a，c相交C．若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价D．若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l答案：D解析：若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面，A错误；若直线a，b相交，b，c异面，则a，c相交、平行或异面，B错误；因为直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，由a与b相交一定可以得到α与β相交，但是当α与β相交时，a与b可以相交、平行或异面，故C错误；因为a∩b＝P，直线a⊂平面α，则P∈a⊂α且P∈b，又直线b⊂平面β，所以P∈β，又α∩β＝l，所以P∈l，故D正确．故选D.2．已知直线l和平面α，无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l()A．相交 B．平行C．垂直 D．异面答案：C解析：当直线l与平面α平行时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直；当直线l⊂平面α时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直；当直线l与平面α相交时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直．所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l垂直．3．下列正方体或四面体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四点不共面的一个图是()答案：D解析：对于A，易判断PR∥QS，故P，Q，R，S四点共面；对于B，易判断QR∥PS，故P，Q，R，S四点共面；对于C，易判断PQ∥RS，故P，Q，R，S四点共面；D中的RS，PQ为异面直线，故P，Q，R，S四点不共面．故选D.4．(2025·河北秦皇岛卢龙县第二高级中学高三开学考试)已知异面直线a与b所成的角为eq\f(π,3)，a与c所成的角为eq\f(π,2)，则b与c所成角的范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))答案：B解析：作b′∥b交a于点O，所有与a垂直的直线平移到点O组成与a垂直的平面α，故c⊂α，如图，当c为α与a，b′所成平面的交线或其平行线时，b与c所成的角最小，为eq\f(π,6)；当c为垂直于a，b′所成平面的线或其平行线时，b与c所成的角最大，为eq\f(π,2)，所以b与c所成角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))).故选B.5．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线AC1与平面A1BD交于点O，则O为△A1BD的()A．外心 B．内心C．重心 D．垂心答案：C解析：如图，平面ACC1A1与平面A1BD的交线为A1E，显然点E是BD的中点，且点O在A1E上，故点O在BD的中线上，同理可得点O在A1D，A1B的中线上，即点O是△A1BD三边中线的交点，即为△A1BD的重心．故选C.6．(2025·云南大理宾川县第四完全中学开学测试)如图，在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1D1，B1C1，BC，AD的中点，则()A．直线HE与直线GF是异面直线B．直线HE与直线BB1是异面直线C．直线HE与直线CC1共面D．直线HE与直线BF共面答案：C解析：延长AA1，BB1，CC1，DD1，由正四棱台的性质可得侧棱AA1，BB1，CC1，DD1的延长线交于同一点，设该交点为P.E，F，G，H分别为棱A1D1，B1C1，BC，AD的中点，延长HE，GF，则HE，GF的延长线必过点P，则直线HE与直线GF相交于点P，与直线BB1相交于点P，与直线CC1相交于点P，与直线BF是异面直线．故选C.7．如图，圆台OO1的上底面半径为O1A1＝1，下底面半径为OA＝2，母线长AA1＝2，过OA的中点B作OA的垂线交圆O于点C，则异面直线OO1与A1C所成角的大小为()A．30° B．45°C．60° D．90°答案：B解析：在直角梯形OO1A1A中，因为B为OA的中点，OA＝2，所以O1A1＝OB＝AB＝1，连接A1B，易证四边形OO1A1B为矩形，所以OO1∥A1B，所以∠BA1C为异面直线OO1与A1C所成的角，在Rt△AA1B中，AA1＝2，AB＝1，所以A1B＝eq\r(3).连接OC，在Rt△OBC中，由OB＝1，OC＝2，得BC＝eq\r(3).在Rt△A1BC中，BC＝A1B，所以∠BA1C＝45°.故选B.8．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，DD1的中点，经过点B1，E，F的平面α交AD于G，则AG＝()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)答案：D解析：平面B1EF与平面CC1D1D的交线与B1E平行，即过F作B1E的平行线交C1D1于H，连接B1H，过E作EG∥B1H交AD于G，连接FG，由比例关系知，H为C1D1上靠近D1的四等分点，从而G为AD上靠近D的三等分点，故而AG＝eq\f(2,3).故选D.9．(2024·福建福州模拟)在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中点，F是AB的中点，则()A．AE＝CF，AC与EF是共面直线B．AE≠CF，AC与EF是共面直线C．AE＝CF，AC与EF是异面直线D．AE≠CF，AC与EF是异面直线答案：D解析：由题意，圆柱的轴截面ABCD为边长为2的正方形，E是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中点，F是AB的中点，因为AC⊂平面ABC，EF与平面ABC相交，且与AC无交点，所以AC与EF是异面直线，又CF＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，AE＝eq\r(22＋（\r(2)）2)＝eq\r(6)，所以AE≠CF.故选D.10．(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点，O，M分别为BD，EF的中点，则下列说法正确的是()A．B，D，E，F四点在同一平面内B．三条直线BF，DE，CC1有公共点C．直线A1C与直线OF不是异面直线D．直线A1C上存在点N，使M，N，O三点共线答案：ABD解析：如图，对于A，连接B1D1，则B1D1∥BD，B1D1∥EF，所以BD∥EF，所以B，D，E，F四点在同一平面内，故A正确；对于B，延长BF，DE，则BF，DE相交于点P，又BF⊂平面BCC1B1，DE⊂平面DD1C1C，则P∈平面BCC1B1，P∈平面DD1C1C，且平面BCC1B1∩平面DD1C1C＝CC1，所以P∈CC1，即三条直线BF，DE，CC1有公共点，故B正确；对于C，直线A1C为长方体的体对角线，所以直线A1C与直线OF不可能在同一平面内，所以直线A1C与直线OF是异面直线，故C错误；对于D，A1，O，C，C1均在平面AA1C1C内，连接OM，则OM与A1C相交，所以直线A1C上存在点N，使M，N，O三点共线，故D正确．故选ABD.11．(2024·四川自贡高三模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1D1，A1A的中点，点O为对角线AC，BD的交点，若平面EOF∩平面ABCD＝l，l∩AB＝G，且AG＝kGB，则实数k＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)答案：B解析：延长EF，交DA延长线于H，连接OH，交AB于G，∵H∈EF，EF⊂平面EOF，H∈AD，AD⊂平面ABCD，平面EOF∩平面ABCD＝l，∴H∈l，故直线OH即为直线l，取AD的中点M，连接MO，ME，又E，F分别是棱A1D1，A1A的中点，∴AH＝A1E＝AM，∴AG＝eq\f(1,2)MO＝eq\f(1,4)AB，BG＝eq\f(3,4)AB，∴AG＝eq\f(1,3)GB，即k＝eq\f(1,3).故选B.12．(2025·四川成都七中高三入学考试)设正四面体ABCD的棱长为2，则所有与此正四面体的四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为()A．3 B．4＋eq\r(3)C．3＋eq\r(3) D.eq\r(3)答案：C解析：这样的截面有两类：①截面的一侧有一点，另一侧有三点，如图1中的△B1C1D1，其中B1，C1，D1分别是棱AB，AC，AD的中点，故△B1C1D1是边长为1的正三角形，故△B1C1D1的面积为eq\f(\r(3),4)，这样的截面共有四个．②截面的两侧各有两点，如图2中的四边形MNPQ，其中M，N，P，Q分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，故四边形MNPQ是正方形，则四边形MNPQ的面积为1，这样的截面共有三个．综上所述，所有截面的面积之和为3＋eq\r(3).故选C.13．(多选)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，与平面BDC1的交点为N，O为线段B1D1的中点，则下列结论正确的是()A．A，O，M三点共线B．N，O，A1，A四点共面C．M，N为线段A1C的四等分点D．线段MN的中点在平面BB1D1D上答案：ABD解析：连接A1C1，AC，OA，如图，因为AA1∥CC1，所以A，A1，C1，C四点共面，因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以点M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理，O，A也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，O，M三点共线，故A正确；因为直线A1C与平面BDC1的交点为N，所以点N∈A1C，由A项分析得A，A1，C1，C四点共面，所以N∈平面ACC1A1，由A项分析得点O也在平面ACC1A1上，所以N，O，A1，A四点共面，故B正确；在矩形ACC1A1中，O是A1C1的中点，△A1OM∽△CAM，且A1O＝eq\f(1,2)AC，所以2A1M＝MC，即M为线段A1C的三等分点，根据对称性得N为线段A1C的三等分点，故M，N为线段A1C的三等分点，所以C不正确；连接BD交AC于点O1，则O1∈BD⊂平面BDD1B1，再连接O1O，设O1O∩BD1＝O2，则O2∈BD1⊂平面BA1D1C，易得O2为BD1的中点，而四边形A1D1CB是矩形，直线BD1，A1C是其两条对角线，则BD1的中点也是A1C的中点，即O2为A1C的中点，又由C项分析可得M，N为线段A1C的三等分点，所以O2也为MN的中点，故D正确．故选ABD.14．(2024·贵州毕节三模)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是线段BC1上的一个动点，记异面直线DP与A1B1所成的角为θ，则sinθ的最小值为________．答案：eq\f(\r(3),3)解析：连接CP，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，可得A1B1∥AB∥CD，所以∠PDC(或其补角)是异面直线DP与A1B1所成的角，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，可得CD⊥平面BCC1B1，又CP⊂平面BCC1B1，所以CD⊥CP，所以tan∠PDC＝eq\f(CP,CD)，即tanθ＝eq\f(CP,CD)，当CP最小时，tanθ最小，此时θ最小，当CP⊥BC1时，CP最小，令CD＝1，可得(CP)min＝eq\f(\r(2),2)，此时DP＝eq\r(1＋\f(1,2))＝eq\f(\r(3),\r(2))，所以(sinθ)min＝eq\f(\f(\r(2),2),\f(\r(3),\r(2)))＝eq\f(\r(3),3).15．(2024·青海模拟预测)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N，G，H分别为棱AB，BC，AD，CD，A1B1，C1D1的中点，P为DH的中点，连接EH，FG.对于空间任意两点I，J，若线段IJ上不存在也在线段EH，FG上的点，则称I，J两点“可视”，则与点B1“可视”的点为()A．D B．PC．M D．N答案：D解析：如图，连接B1D，B1P，B1E，由正方体的性质及E，H分别为棱AB，C1D1的中点，易得B1E∥HD，所以线段B1D与EH相交，B1P与EH相交，故A，B不符合题意；连接MF，B1M，有AB∥MF，AB∥B1G，故B1G∥MF，所以线段B1M与FG相交，C不符合题意；连接B1N，直线B1N与EH，直线B1N与FG均为异面直线，D符合题意．故选D.16．(多选)在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别为棱BB′，DD′，CC′上的一点，且eq\f(D′F,D′D)＝eq\f(B′E,B′B)＝eq\f(CG,C′C)＝λ，H是B′C′的中点，I是棱C′D′上的动点，则()A．当λ＝eq\f(1,3)时，G∈平面AEFB．当λ＝eq\f(1,2)时，AC′⊂平面AEFC．当0<λ<1时，存在点I，使A，F，H，I四点共面D．当0<λ<1时，存在点I，使FI，EH，CC′三条直线交于同一点答案：BCD解析：对于A，当λ＝eq\f(1,3)时，如图1，在CC′上取点M，使MC′＝eq\f(1,3)C′C，取CD的中点N，易知GN∥MD∥EA，GN⊄平面AEF，故G∉平面AEF，所以A错误；对于B，如图2，当λ＝eq\f(1,2)时，E，F，G分别为BB′，DD′，CC′的中点，连接BG，FC′，EC′，GF，易知四边