北师大版八年级下册“因式分解”十字相乘法专题课教案

北师大版八年级下册“因式分解”十字相乘法

专题课教案适用学段与学科：八年级数学（亦适用于九年级中考复习因式分解专项）

文档类型：专题课教案（含方法口诀、分层例题、当堂检测卷与课后巩固练习）

核心亮点承诺：这份教案把十字相乘法从“凑数玄学”变成学生能稳稳掌握的操作流程。给你准备好了从首项系数为1到首项系数不为1的完整例题梯子，每道题后面都标了学生最容易掉进去的坑，还有一份可以直接打印的课堂检测卷和一份分层的课后练习。拿过去就能上，上完就能测，测完就知道谁真的会了、谁还在假装会。使用说明与痛点解决这份教案最适合正在教北师大版八年级下册第四章“因式分解”的老师。到了十字相乘法这一节，学生常见的状态是：提公因式和公式法都还凑合，一到十字相乘就开始蒙——“老师，这两个数怎么试出来的？”如果你只是告诉他“多试几次就有感觉了”，那中等偏下的学生基本就放弃这个知识点。这节课的核心就是把“试数”这个过程拆成可操作的步骤，让学生有路可走，走多了自然就有感觉了。这节课建议安排两个课时，第一课时专攻二次项系数为1的情况，第二课时攻克系数不为1的情况。本资料为经验分享，请根据本校、本班实际情况调整使用。一、课题与课型课题：十字相乘法——因式分解的第三条路

课型：专题新授课（2课时）

教材版本：北师大版八年级下册第四章“因式分解”二、十字相乘法的位置与前置知识在北师大版的编排里，学生先学了提公因式法，再学公式法（平方差和完全平方公式），十字相乘法是第三种方法。这个顺序有它的道理——学生在提公因式和套公式的过程中，已经积累了对因式分解“把一个多项式变成乘积形式”的基本理解，也有了展开整式乘法的运算基础。十字相乘法本质上就是整式乘法(x+p)(x+q)有一年我在乡镇中学试教，发现学生连整式乘法展开都还磕磕巴巴，直接上十字相乘几乎是灾难。后来我在那节课前多加了一轮“展开接龙”——全班按座位轮流口答(x+3)三、核心素养导向的教学目标运算能力：理解十字相乘法的算理（积和关系），能准确对首项系数为1的二次三项式进行因式分解，逐步过渡到首项系数不为1的情况。推理能力：通过观察展开式与因式分解结果之间的系数关系，归纳出“拆常数项、凑一次项”的操作法则，体会整式乘法与因式分解的互逆关系。数学思维：经历从“盲目试数”到“有序找数”的方法优化过程，感受数学中“化归”的思想——二次项系数不为1时，想办法把它转化为系数为1的情况来处理。四、教学重难点重点：首项系数为1的二次三项式x2+bx+c的十字相乘法分解，掌握“拆c、凑b”的操作流程。

五、教学准备教师：制作“十字相乘步骤分解”挂图（用全开白纸手绘一个放大的十字相乘框，每一步用不同颜色标注），准备分层例题卡片和当堂检测卷（见配套工具）。

学生：复习整式乘法中(x+六、第一课时教学过程：首项系数为1的十字相乘法环节一：从“倒过来想”引入（约5分钟）上课铃响，先在黑板上写两行字：展开：(x+2第一行让学生口答填进去——7和10，基本没人会错。第二行的时候，教室通常会安静几秒。有的学生会试着填2和5，然后自己验证一下，发现果然对。这时候我把第二行圈出来，问全班：“刚才你们做第一行的时候，是从左边往右边走，这叫展开。那做第二行的时候，方向反过来了，从右边往左边走，这叫什么？”学生能顺着说出“因式分解”。我接着追问：“展开的时候，那个7是2和5的什么？那个10又是2和5的什么？”这个问题很重要——它直接指向十字相乘法的核心算理。学生很快能答出“7是和，10是积”。我在黑板上用大字写下“和”与“积”两个字，然后用箭头把它们跟p和q连起来，形成本节课的第一个核心板书：x这个公式我不让学生背——我让他们用眼睛看五秒钟，然后盖上笔记本，自己在草稿纸上写一遍。写不出来的再看一眼，直到能默对为止。这个看似笨拙的环节其实是在做一件事：把算理变成一个清晰的视觉记忆。后面遇到十字相乘的题，学生脑子里会自动跳出“和”与“积”两个关键词。环节二：方法建构——十字相乘的操作三步法（约12分钟）接下来我把十字相乘法操作拆成三步，每一步都在黑板上用一个具体的例子跑一遍。选的第一道例题是最简单的情况，常数项为正且两因数同号：x2第一步：画框，定符号。在黑板上画一个十字相乘的标准框架——左侧竖排写x和x（因为x2拆成x乘x），右侧写两个待定的数，画上交叉相乘的弧线和竖线。然后看常数项和一次项系数的符号：常数项+15是正数，说明两个数同号；一次项系数+第二步：拆常数项，列因数对。把15拆成两个正整数的乘积，列出所有可能的因数对：1和15，3和5。这一步学生基本不会漏，但要提醒他们：因数对要写全，写全了才有试的余地。第三步：看和，对一次项。逐一算出每对因数的和：1加15等于16，不对（一次项系数是8）；3加5等于8，对上了。把3和5填入十字相乘框，横着读出两个一次因式：(x讲完这道例题，不少学生心里会觉得“这也太简单了吧”——这正是我要的效果。十字相乘法入门的时候，一定要用最简单的例子让学生建立信心，难度是后面慢慢加上去的。如果一上来就拿x2−接下来上第二道例题，把符号变一下：x2−7x第三道例题再把符号变一下：x2+5x三道例题讲完，黑板上的十字相乘步骤图已经有了完整的三种情况。这时我才把口诀写出来：“首项拆开写两边，常数拆开写右边；交叉相乘再相加，等于中间一次项；横行读出两因式，符号千万别忘它。”这个口诀我不要求学生背，只是作为操作流程的提示贴在黑板角落。真正让学生记住的，是那三道例题一步步在黑板上留下的痕迹。环节三：当堂演练与典型错误展示（约15分钟）这个环节我称之为“你写我看”——学生在下面独立完成五道练习，我在行间巡视，用手机拍下三到四种典型的错误答案，准备投屏讲评。练习题由易到难排好：x2x2x2x2x2巡视的时候我的关注点不在正确答案上，而在那些“看起来像但实际错了”的答案上。最常见的错误有三种：第一种，常数项异号时，因数对的符号分配反了，比如第3题写成了(x+9)投屏展示这些典型错误的时候，我从来不说“这是谁写的”，而是说“我们班出现了一个很有意思的错误，大家一起来看看问题出在哪”。这个过程不是批评，是让学生当“医生”来会诊。他们会发现，原来自己犯的错别人也在犯，心理上就不再觉得“只有我不会”，课堂的容错氛围就建立起来了。环节四：收束与预习布置（约3分钟）第一课时结束时，我在黑板上用一句话总结：“十字相乘的本质就是——找一个对儿，积对得上常数项，和对得上一次项。”然后把这句话变成当天的口头作业：回去把这句话讲给家长或同桌听一遍，讲不清楚明天来问我。预习任务留一个悬念：在PPT上打出2x七、第二课时教学过程：首项系数不为1与综合运用环节一：从那个悬念开始（约5分钟）开场直接亮出上节课留下的那道题：2x2+7x+3。请两个学生到黑板上试着做，其他人在下面做。如果学生上节课预习时已经琢磨过，会有两种典型做法：一种是把2x2等黑板上的两个学生做完（不管对错），我带着全班一起拆解：首项2x2拆成2x和x，常数项3拆成1和3，交叉相乘——2x乘3等于6x，x乘1等于x，相加得讲完之后我在黑板上做一个关键总结：首项系数不为1的十字相乘，比系数为1的多了一步——不但要拆常数项，还要拆二次项系数。二次项系数拆成两个因式，常数项拆成两个因数，然后交叉相乘再相加，凑一次项。这个表述里“多了一步”四个字要加重语气，因为学生心理上需要把新知识跟旧知识挂上钩——不是全新的东西，只是在原来的基础上多拆了一个数。环节二：分层例题突破（约18分钟）这一轮我把例题分成三个梯度，每个梯度讲一道，练两道，保证不同层次的学生都有事做。梯度一：二次项系数为质数。这种类型最简单，因为二次项系数的拆分方式只有一种。例题：3x2+10x+8。二次项系数3只能拆成3和1，常数项8拆成1和8或2和4，交叉相乘试一圈，找到3x乘4加x乘2等于12x+2x=14x梯度二：二次项系数为合数但因数对少。例题：6x二次项拆分常数项拆分交叉相乘之和是否匹配13x1x,6x1,66+6=12否1x,6x2,33+12=15否1x,6x6,11+36=37否2x,3x1,612+3=15否2x,3x2,36+6=12否2x,3x3,24+9=13是匹配到最后一组才找到答案(2梯度三：需要先处理公因式再十字相乘。这种题是考试中的高频陷阱——学生一上来就套十字相乘，忘了先看有没有公因式可提。例题：2x2+8x+6。先别急着十字相乘，整体提公因式2：2(x环节三：综合练习与同桌互查（约12分钟）这个环节的练习题混合了需要先提公因式和直接十字相乘两种情况，训练学生的识别能力：4x3x2x5x6x做完之后同桌交换，用“十字相乘互查三问”互相检查：第一问，先看有没有公因式没提？第二问，二次项和常数项的拆分写全了吗？第三问，交叉相乘的和对不对？三问都通过才算过关。这个互查机制让学生从“做完就完”变成“做完还要帮别人检查”，责任感和细心程度都会提高。环节四：两课时总结——因式分解方法选择决策树（约5分钟）第二课时结束时，两节课的内容要收拢成一个可操作的决策流程。我在黑板上画出因式分解方法选择的简易决策树：看到一个多项式，第一步问“各项有公因式吗”？有就先提出来。第二步问“是两项还是三项”？如果是两项，看是不是平方差公式。如果是三项，先看是不是完全平方公式，不是就用十字相乘法。用十字相乘时，先看二次项系数是不是1，不是1就先拆二次项系数再拆常数项。这个决策树我让学生画在课本扉页上，以后每次遇到因式分解的题，就在心里按这个流程走一遍。我见过太多学生在因式分解题前发呆，不是不会方法，而是不知道该用哪个方法。决策树的作用就是把“选择困难”变成“照流程办事”。八、板书设计第一课时板书（主板书保留至下课）中心写核心公式：x下方三道例题分三列并列，每列标注一种符号类型：例1x2+例2x2−例3x2+最下方写三步法：①定符号②拆常数③对一次项第二课时板书左侧：首项系数不为1的十字相乘法步骤——拆二次项→拆常数项→交叉相乘求和→对一次项右侧：因式分解方法选择决策树（简图）九、教学反思预留区（以下留白，供执教后填写）第一课时学生对“定符号”这一步的掌握情况：

第二课时“先提后乘”的意识建立情况：

最意外的生成（学生的独特解法或典型错误）：

下个班教学时需要调整的地方：配套工具/模板工具一：十字相乘法课堂探究活动单（2课时通用）姓名：__班级：__日期：__活动一：从展开到分解——寻找“和”与“积”的关系整式乘法（展开）因式分解（倒回去）常数项拆成了哪两个数的积？那两数之和是多少？(x2和5，积为102+5=7(x(x你发现的规律：二次三项式x2+bx+c分解为(x+p)(x+q)活动二：首项系数为1的十字相乘分层练习用十字相乘法分解下列各式，把分解过程填写在框内。题1x2+6x+8→因式对：__和题2x2−5x+6→因式对：__和题3x2+3x−18→列出所有因数对：__→题4x2−2x−题5x2+11x+28→活动三：首项系数不为1的十字相乘题目二次项拆分常数项拆分交叉相乘之和是否等于一次项？分解结果221,36是(364活动四：先提公因式，再十字相乘（易错题专项）先判断下列各式能否先提公因式，能提的先提出来，再做十字相乘。题目能否先提公因式？提完后的式子十字相乘结果最终答案2能，提22(2534工具二：当堂检测卷十字相乘法专题检测

姓名：__得分：__（满分20分，每空2分）用十字相乘法分解下列各式，直接写出结果。x2+x2−x2+2x23x2先提公因式再分解：2x24x2x2−6x2分解2x2+5x−3工具三：检测卷答案与评分标准题号正确答案分值常见错误与解析1(2分写成(x−2(2分写成(x+3(2分写成(x−4(2分写成(2x+3)5(3x−42分漏写负号写成(3622分漏提公因式直接十字相乘，分解为(2x7(2分用了十字相乘，展开后得到4x28(2分写成(x+9(2x+32分因数对组合较多，容易因漏试某组而做不出。二次项6可拆1×6或2×3，常数12拆法与交叉相乘的组合需有序尝试10x2分部分学生做对分解后填错因式顺序。已知(2x−1)为因式，则另一因式首项为x（因为得分与建议：18—20分，十字相乘法掌握扎实，可进入综合运用。12—16分，基本方法已掌握，需加强符号判断和“先提后乘”意识。12分以下，建议回到首项系数为1的基础题，重新巩固三步法后再尝试提高题。工具四：课后分层巩固练习A层（基础巩固·全班必做）用十字相乘法分解下列各式：xxxxxxB层（能力提升·中等及以上选做）分解下列各式：235先提公因式再分解：3先提公因式再分解：24xC层（拓展挑战·选做）68已知3x2+kx−14分解后有一个因式是工具五：教师课堂话术卡第一课时导入话术：“同学们，我们学过提公因式，学过平方差和完全平方公式，因式分解已经有了两把武器。今天我们要拿第三把——这把武器叫十字相乘法，专门对付那种看起来没法直接套公式的二次三项式。学会了它，你的因式分解武器库才算配齐了。”三步法讲解话术：“看好，我就做三个动作。第一步，看常数项的符号，定两个数的符号——同号还是异号。第二步，把常数项的绝对值拆成两数相乘，写出所有因数对。第三步，算每一对的和，哪一对的和等于一次项系数，就选哪一对。三个动作做完，答案就出来了。来，跟着我一起比划一遍。”学生卡住时的话术：“卡住了是吧？没关系，卡在哪里告诉我。是不知道拆哪两个数？还是拆出来了和不对？前面那个好解决——先把常数项的所有因数对列出来，别管对不对，列全再说。后面的问题更简单——一对一对试，试到第三对还不成就列新的一对。”第二课时衔接话术：“上节课我们学会了对x2+bx+两课时收束话术：“两节课下来，十字相乘法从首项系数为1到不为1，再到先提公因式再十字相乘，整个方法链条你已经走完了。记住一句话：因式分解不是玄学，是按流程操作。遇到题先问自己——有公因式吗？是两项还是三项？选什么方法？流程走熟了，因式分解就是你的送分题。”常见误区与避坑指南错误做法背后原因正确策略做十字相乘时不先判断符号，直接盲目列举因数对，列了一大串最后还因为符号搞错选了错误的那对。学生把十字相乘等同于“凑数”，跳过“定符号”这个关键推理环节，把推理题变成了猜谜题。强制要求在每次列因数对之前先写一句话：“常数项为正→两数同号，看一次项定正负”或“常数项为负→两数异号，看一次项定谁绝对值大”。训练时可以用红笔在题目旁边先标符号再动笔列因数。遇到常数项绝对值较大（如60、72）时，因数对太多就放弃尝试，直接空着或乱写一个答案。学生没有建立“有序列举”的习惯，想到哪对写哪对，写了几对就乱掉了。教学生从1开始逐对列举：1×60、2×30、3×20、4×15、5×12、6×10，