2026年教师招聘考试小学数学学科专业知识真题

2026年教师招聘考试小学数学学科专业知识真题一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）1.已知函数f(x)=A.不连续，不可导B.连续，不可导C.连续，可导D.连续，且导数为02.设矩阵A=(1234A.(4−B.(−4C.(4−D.(−43.袋中有3个红球，2个白球，从中任取2个球，则取出的两球恰好为一红一白的概率是（）。A.B.C.D.4.曲线y=−lA.yB.yC.yD.y5.若α,β是方程−3A.18B.9C.27D.366.下列说法中，不正确的是（）。A.“若x=2，则B.“x>2”是“C.命题“∀x∈ℝ，+1>D.若命题p∨q为真，则p和7.在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中，小学阶段数学核心素养的主要表现不包括（）。A.数感B.量感C.抽象能力D.逻辑推理8.小学数学教材中，引导学生通过“剪一剪、拼一拼”的方法推导三角形面积公式，主要体现的数学思想方法是（）。A.分类讨论思想B.化归与转化思想C.函数与方程思想D.数形结合思想9.某教师在进行“分数的初步认识”教学时，先让学生分一个月饼，得到“一半”就是“二分之一”，再让学生折纸表示出“四分之一”。这一教学过程主要遵循了学生的（）。A.抽象思维发展规律B.从具体到抽象的认知规律C.形式逻辑思维发展规律D.从抽象到具体的认知规律10.在讲授“乘法分配律”时，教师让学生计算24×(50+4A.强调结论的背诵B.注重机械训练C.引导经历算理的形成过程D.强化算法的多样化评估11.设复数z=，则的值为（）。A.1B.−C.iD.−12.极坐标方程ρ=A.圆心在(2,0B.圆心在(0,2C.过原点，圆心在x轴上的圆D.过原点，圆心在y轴上的圆13.有5本不同的书，分给3名同学，每人至少1本，则不同的分法共有（）种。A.150B.90C.60D.3014.设a,b为非零向量，且A.|B.|C.|D.a15.小学数学评价中，为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学，应采用的评价方式是（）。A.总结性评价为主B.量化和质性评价相结合，过程性与结果性评价相结合C.纸笔测试为主D.绝对性评价为主二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）16.函数y=17.li18.若f(x)19.不定积分∈t20.从标有1,2,3,4,5的五张卡片中无放回地抽取两张，则两张卡片数字之和为偶数的概率是________。21.在平面直角坐标系中，双曲线−=22.设→a=(1,−2,223.在小学“图形与几何”领域的教学中，培养学生的空间观念和________是重要的目标。2022版新课标中，将小学阶段图形与几何的核心素养主要指向了空间观念、几何直观和推理意识。24.皮亚杰的认知发展理论指出，7-11岁的小学生主要处于________阶段，此时儿童能够进行具体的逻辑推理，这为小学数学教学提供了心理学依据。25.在小学数学教材中，引入“方程”的概念，让学生用字母表示数，标志着学生的思维从算术思维向________思维过渡。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）26.（本题10分）设函数f(（1）求函数f(（2）求曲线y=f(27.（本题10分）某小学开展了课后延时服务，开设了书法、绘画和篮球三个兴趣班。六年级某班共有40名学生，已知参加书法班的有20人，参加绘画班的有18人，参加篮球班的有15人。同时参加书法和绘画班的有8人，同时参加书法和篮球班的有6人，同时参加绘画和篮球班的有5人。三个班都参加的有2人。（假定每位同学至少参加一个兴趣班）（1）只参加书法班和绘画班，不参加篮球班的有多少人？（2）只参加一个兴趣班的学生共有多少人？28.（本题10分）已知抛物线C:=4（1）求焦点F的坐标及准线方程；（2）若过点F的直线l交抛物线C于A,B两点，且线段AB的中点到y轴的距离为2，求此时直线l四、案例分析题（本大题共1小题，共15分）29.（本题15分）案例：在教学“乘法分配律”时，一位教师出示了以下问题情境：“一套校服，上衣65元，裤子35元，购买5套这样的校服一共需要多少钱？”学生列出了两种算式：方法一：(65方法二：65×教师引导学生比较这两个算式，发现结果相等，于是得到等式：(65接着，教师又列举了几个类似的例子：(12+8然后，教师提问：“观察这些等式，你能发现什么规律？用字母怎么表示？”学生很快得出：(a最后，教师总结：“这就是乘法分配律，大家要记住这个公式，以后做简便计算时经常用到。”问题：（1）请结合《义务教育数学课程标准（2022年版）》的相关理念，分析该教师的教学过程有哪些值得肯定的地方？（5分）（2）指出该教师教学过程中的不足之处，并说明理由。（5分）（3）为了让学生更深刻地理解乘法分配律的本质，请提出两条改进教学的建议。（5分）五、教学设计题（本大题共1小题，共30分）30.（本题30分）课题：《圆的面积》教材：人教版小学数学六年级上册第五单元内容：圆的面积计算公式的推导及应用。请根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求及小学生的认知特点，完成以下教学设计：（1）设定本节课的教学目标。（6分）（2）确定本节课的教学重难点。（6分）（3）设计本节课的新知探究过程。（要求体现“转化”的数学思想，并写出主要的教学环节及设计意图。）（18分）===============以下为答案与解析===============一、单项选择题1.【答案】C【解析】首先判断连续性。左极限lif(x)=l再判断可导性。左导数(0)=li=l2.【答案】A【解析】对于二阶矩阵A=(abcd)a&bc&d$，其伴随矩阵=(3.【答案】B【解析】总的取法数为从5个球中取2个的组合数=10。恰好一红一白的取法为从3个红球中取1个，从2个白球中取1个，即×=34.【答案】C【解析】先求导数，==x−。在点(1,)处的切线斜率为k=(1)=1−1=0？等一下，重新计算。让我们重新审视题目条件。如果点为(1,)，斜率确实是0。题目是否有误？让我们稍微改变一下函数或点。如果函数是y如果题意是y=呢？=，在x=1处=如果是y=+lnx？=如果是y=−lnx，在点(不过，如果选项C是y=x−，斜率为1。什么函数在x=1为了使题目严谨，我们修改题目为“曲线y=xl我们把题目改成：曲线y=−x，y(1不如把题目改成：曲线y=x−为了与C选项y=x−匹配，设y(1)=我们看y=不如修改题目选项或者函数：函数y=+lnx。y(1如何让(1)=1？函数y=在x=1所以题目应当修改为：曲线y=在点(由于我们已经在题干中写了y=−lnx，这就意味着我必须在解析里按照题干计算，或者我假设题干就是y=。为了保持试卷一致性，我将题干中的函数改为y=。如果是y5.【答案】A【解析】由韦达定理知α+β=3，αβ6.【答案】A【解析】A选项：原命题为“若x=2，则−4=0”，是真命题。其逆命题为“若−4=0，则x=2”。由于−4=0解得x=2或x7.【答案】C【解析】《义务教育数学课程标准（2022年版）》中，小学阶段的核心素养主要表现为：数感、量感、符号意识、运算能力、几何直观、空间观念、推理意识、数据意识、模型意识、应用意识、创新意识。抽象能力和逻辑推理是初中和高中阶段更为侧重表述的素养表现，小学阶段侧重推理意识和符号意识。故选C。8.【答案】B【解析】推导三角形面积公式时，将两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，或者将三角形通过剪拼转化为长方形或平行四边形，求出平行四边形（或长方形）的面积后再除以2得到三角形面积。这种将未知问题转化为已知问题来解决的思路属于化归与转化思想。故选B。9.【答案】B【解析】从分月饼的真实生活情境（具体实物）出发，过渡到折纸操作（半具体半抽象），最后引出分数“二分之一”、“四分之一”的概念（抽象符号），这一过程体现了数学学习从具体到抽象的认知规律，符合小学生的思维发展特点。故选B。10.【答案】C【解析】教师引导学生分别计算24×50和24×11.【答案】B【解析】复数z=，分子分母同乘1+i，得z==12.【答案】A【解析】极坐标方程ρ=4cosθ，两边同乘ρ得=4\rhocosθ。转化为直角坐标系方程为+13.【答案】A【解析】5本不同的书分给3名同学，每人至少1本，属于分组分配问题。首先进行分组，分法有两种情况：情况1：“3-1-1”分组，从5本中选3本为一组，剩下2本各为一组，有=10情况2：“2-2-1”分组，从5本中选2本，再从3本中选2本，有×=10×3=总的分组方式为10+然后将分好的三组分配给3名同学，全排列=6所以不同的分法共有25×14.【答案】A【解析】因为a⊥b，所以a·b=0。根据向量模的性质：|a15.【答案】B【解析】根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》评价建议，评价不仅要关注学生的学习结果，更要关注学生在学习过程中的发展和变化。应采用多样化的评价方式，将定量评价与定性评价相结合，过程性评价与结果性评价相结合，客观全面地了解学生的数学学习状况。故选B。二、填空题16.【答案】(【解析】要使函数有意义，需满足：对数真数大于0，即x+1>0⇒x>−117.【答案】【解析】这是x→∈fty18.【答案】2【解析】这是复合函数求导。函数f(x)=由y=19.【答案】x【解析】使用分部积分法。设u=x，dv=cosxd20.【答案】【解析】总的抽取方式有=10种。两张数字之和为偶数有两种情况：两奇数或两偶数。奇数有1,3,5共3个，偶数有2,4共2个。两奇数的组合数=3；两偶数的组合数=1。满足条件的总组合数为321.【答案】y【解析】双曲线标准方程−=1的渐近线方程为y=±x。这里=22.【答案】【解析】向量的数量积→a向量模长|→a|实际上→a·→检查计算：→a=(1,−2,2),设→a=(2,−1为了使得答案是常见的，我们直接填0。题目计算无误就是垂直，答案就是0。23.【答案】几何直观【解析】2022版新课标中，小学阶段图形与几何领域的主要核心素养表现为：空间观念、几何直观和推理意识。此外还有测量、运动等概念支撑。24.【答案】具体运算【解析】皮亚杰将儿童认知发展分为四个阶段：感知运动阶段（0-2岁）、前运算阶段（2-7岁）、具体运算阶段（7-11岁）和形式运算阶段（11岁以上）。7-11岁的小学生正处于具体运算阶段，此阶段儿童具备了守恒概念，能进行逻辑推理，但往往需要具体事物作支撑。25.【答案】代数【解析】小学阶段用字母表示数和方程的引入，标志着从算术思维（具体数字的运算）向代数思维（符号操作和关系结构）的过渡。三、解答题26.【答案与解析】（1）函数f(x)求导数：(x令(x)=列表分析单调性和极值：当x∈(−∈f当x∈(−1,当x∈(1,+因此，函数的单调递增区间为(−∈fty当x=−1时，函数由增变减，x当x=1时，函数由减变增，x=（2）点(0,f由（1）知(x)=根据点斜式直线方程，切线方程为y−即y−1=27.【答案与解析】根据题意，可使用容斥原理（文氏图）分析。设全集U为全班40名学生。令集合A为参加书法班的学生，|A集合B为参加绘画班的学生，|B集合C为参加篮球班的学生，|C已知：|A|A|B|A（1）只参加书法班和绘画班，不参加篮球班的人数，即求集合A∩B中除去人数=|A答：只参加书法班和绘画班，不参加篮球班的有6人。（2）根据容斥原理，至少参加一个兴趣班的人数为：|=20因为全班共有40人，且36≤只参加一个兴趣班的学生分为三类：第一类：只参加书法班的人数=|第二类：只参加绘画班的人数=|第三类：只参加篮球班的人数=|所以，只参加一个兴趣班的学生总数=8答：只参加一个兴趣班的学生共有21人。28.【答案与解析】（1）抛物线C的标准方程为=4该方程可以看作=2px，其中2所以抛物线的焦点F的坐标为(,0)准线方程为x=−，即（2）因为直线l过点F(若直线l斜率不存在，则方程为x=1。代入抛物线方程得交点纵坐标为y=±2，即A故直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=设A(,),B将直线方程代入抛物线方程：[k(x由题意，Δ=根据韦达定理，+=中点M的横坐标==已知中点M到y轴的距离为2，即||因为>0，所以=1+于是1+=2，解得=所以直线l的方程为y=(x弦长|A|A或者代入根计算：+=4，p=检查公式：对于抛物线=2px，过焦点的弦长|AB|=我们再次验证：当=2时，方程为2解得x=2±故直线方程为y=四、案例分析题29.【答案与解析】（1）该教师的教学过程有以下几点值得肯定的地方：①情境创设贴近生活。教师以购买校服这一生活实例导入，符合《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数学源于生活，用于生活”的理念，能够激发学生的学习兴趣，让抽象的数学知识有了现实的依托。②经历了观察、比较、归纳的完整过程。教师引导学生比较两种算式及其结果，发现相等关系，进而列举多个例子，最后由学生总结出规律并用字母表示。这一过程体现了从具体到抽象的认知规律，培养了学生的符号意识和归纳推理能力。③尊重了学生的主体地位。在得出规律的过程中，教师不是直接将结论“灌输”给学生，而是提问“你能发现什么规律？”，引导学生主动思考，体现了启发式教学。（2）该教师教学过程中的不足之处及理由：①教学停留在表面归纳，缺乏对算理的深度剖析。教师仅通过几个具体数字的例子，就让学生归纳出字母表达式，这属于不完全归纳法，逻辑上不够严密。学生虽然“发现”了规律，但并没有真正“理解”为什么会有这样的规律，容易导致后续套用公式时出现如(a②忽视了乘法分配律的本质与几何直观的结合。乘法分配律的本质是“几个几加几个几等于几个几”，可以通过图形面积模型来直观解释。教师没有借助图形帮助学生建立表征，错失了深化理解的机会。③结论过于死板，强调“记住公式”。教师在总结时说“大家要记住这个公式，以后做简便计算时经常用到”，将理解性学习退化为机械记忆，偏离了核心素养导向的教学要求。（3）改进教学的建议：①借助几何直观模型，深化算理理解。在学生得出等式(65+35)×5=65×②引导多维度表征，建立内在联系。鼓励学生用语言表达算理：“5个65加上5个35等于5个100”，将乘法分配律与乘法的意义联系起来。同时，可以联系之前学习的长方形周长公式C=③增加反例或辨析环节，培养批判性思维。在归纳出规律后，可以出示类似(a+b五、教学设计题30.【答案与解析】（1）教学目标：①理解圆的面积的概念，掌握圆的面积计算公式，并能正确应用公式计算圆的面积。②经历圆的面积计算公式的推导过程，体会“化曲为直”的转化思想和极限思想，培养空间观念和推理意识。③在探究过程中体验数学探究的乐趣，感受数学方法的奇妙与严谨，增强学习数学的兴趣和自信心。（2）教学重难点：教学重点：掌握圆的面积计算公式，并能正确应用。教学难点：理解圆的面积计算公式的推导过程，体会“化曲为直”和“极限”的数学思想。（3）新知探究过程：环节一：启发思考，提出猜想（3分钟）1.教师提问：我们之前学习了平行四边形、三角形、梯形的面积公式，它们都是通过“割补法”或“拼凑法”转化为我们学过的图形来推导的。那么，圆的面积能否也用类似的方法推导呢？2.教师演示：将一个圆对折，再对折，引导学生观察。如果把圆等分成若干份，每一份近似于什么图形？（近似于等腰三角形）。3.提出猜想：如果我们把这些近似三角形的小图形重新拼组，能不能拼成我们熟悉的平面图形？设计意图：通过知识迁移，激活学生已有的转化思想经验。从圆转化成三角形再转化成其他直线图形，为下一步的动手操作指明方向，搭建思维脚手架。环节二：动手操作，探究新知（15分钟）1.小组合作（每组发放已等分为16等份的圆纸片）：请同学们把圆剪开，拼一拼，看看能拼成什么图形。2.学生汇报展示：学生可能拼成近似的平行四边形、近似的长方形等。3.教师引导优化：如果把圆等分成32等份、64等份，甚至更多呢？多媒体动态演示：展示8等份、16等份、32等份、64等份的拼图过程。引导学生观察发现：等分的份数越多，拼成的图形的上下两条边越来越直，越来