2026新教材人教版九年级上册数学26.4 实际问题与二次函数 教案（3课时）

第第页2026新教材人教版九年级上册数学26.4实际问题与二次函数教案（3课时）1课时最大高度和几何图形面积问题课题26.4第1课时最大高度和几何图形面积问题授课人教学目标1.（2022新课标）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.2.（2022新课标）会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题.3..通过抛物线或图形的面积关系列出函数解析式；.用二次函数的知识分析解决有关高度和面积的实际问题；体会二次函数是刻画现实世界的有效模型.4..从“数”(解析式)和“形”(图象)的角度理解二次函数与实际生活中“最值”问题之间的联系，体会“数形结合”的思想．通过转化建模，会用数学的思维思考现实世界.教学重点用二次函数的知识分析解决有关高度和面积的实际问题.教学难点通过抛物线或图形的面积关系列出函数解析式.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入1.请写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1）y＝6x2＋12x；（2）y＝－4x2＋8x－10.2.以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？并说出两个函数的最大值或最小值分别是多少.提示：求解二次函数的最值一般有两种方法：一是把一般式化为顶点式；二是利用顶点坐标公式求解.（1）y＝6（x＋1）2－6，所以抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为（－1，－6），当x＝－1时，y有最小值－6.（2）y＝－4（x－1）2－6，所以抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－6），当x＝1时，y有最大值－6.师生活动：学生自主进行解答，教师做好指导和点评.通过创设情境，以问题形式引导学生复习已学内容，为后面学习新课做好铺垫探究新知实际问题与二次函数用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形场地的面积S随一边长l的变化而变化，当l是多少米时，矩形场地的面积S最大？师生活动：教师引导学生分析与矩形面积相关的量；教师设问，如何用含l的代数式表示与其相邻的边的长度；学生自主列函数解析式，并进行整理，讨论问题解答的正确性；针对问题要求进行求解，并回答问题.教师关注：①学生能否根据矩形的面积公式列函数解析式；②学生能否根据以前所学知识准确求出函数的最大值.师生活动：师生探讨解题思路、总结解题过程.（1）确定解题的步骤：先表示矩形的长和宽，再利用面积公式列解析式，最后求最值.（2）解答过程：矩形场地的一边长为lm，则另一边长为（30－l）m，所以矩形场地的面积S＝l（30－l）＝－l2＋30l（0<l<30）.当l＝－eq\f(b,2a)＝15时，S有最大值eq\f(4ac－b2,4a)＝225.也就是说，当l是15m时，矩形场地的面积S最大.总结：教师指导学生总结解答问题的方法和步骤，学生代表进行说明，全班互相交流，师生共同确定解题思路：（1）表示与面积相关的量；（2）利用面积公式列函数解析式，并进行整理；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用公式求出最值.通过具体例子，让学生列出关系式，让学生在实践中感悟，提高学生利用函数思想解决问题的能力.典例精析【例1】在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）之间的关系式是h=-4.9t²+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.）【解】对于二次函数h=-4.9t²+2.8t+11,当t=-b2a=−2.82×−4.94ac−b24a因此，运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m.函数h=-4.9t²+2.8t+11的图象,直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化.【例2】如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？【解】设垂直于墙的边长为xm,则平行于墙的边长为(20-2x)m,矩形菜园的面积S=x(20-2x),即S=-2x²+20x(0<x<10).当x=-b2a=−2024ac−b24a因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50m².师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流.随堂检测1．已知一个直角三角形两直角边长之和为20cm，则这个直角三角形的最大面积为（）A．25cm2B．50cm2C．100cm2D．不确定答案：B.2．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（）A．20B．40C．100D．120答案：D.3.根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是：h=-5t2+20t,则小球运动中的最大高度是

m.解：h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，

∵-5＜0，

∴当t=2时，h有最大值，最大值为20，

故答案为：20．4．如图，四边形的两条对角线AC，BD互相垂直，AC＋BD＝10，当AC，BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？解：设AC＝x，四边形ABCD面积为y，则BD＝(10－x)．所以y=12x(10-x)=-12(x-5)2所以，当x=5时，y有最大值252即当AC，BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.课堂小结【课堂小结】引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？1.方法层面学习了利用二次函数解决最大高度、几何图形面积的实际问题，紧扣建模思想、数形结合、最值求解的核心思路，将生活中的抛射物体、几何图形等实际场景，转化为二次函数模型，通过求函数顶点最值解决实际最优问题，体会从实际到数学、再从数学到实际的转化方法，掌握实际应用题的建模、求解、验根全流程。2.知识内容层面掌握两类典型二次函数实际应用问题的建模思路、解题步骤、最值求法和实际意义检验.通用解题步骤审题设元：找准自变量和因变量，设定合适的未知数。建立模型：根据题意和公式，列出二次函数解析式。确定范围：结合实际场景，确定自变量的取值范围。求最值：用配方法或顶点公式，求出函数的顶点最值。检验合理性：判断最值对应的自变量是否在取值范围内。规范作答：写明最大高度、最大面积及对应条件。【知识网络】教学说明：教师提问并引导学生总结归纳最大高度和几何图形面积问题的方法．巩固所学知识，加深对二次函数解决实际问题的理解.作业布置板书设计最大高度和几何图形面积问题1.最大高度问题2.几何图形面积问题.教学反思第2课时最大利润问题课题26.4第2课时最大利润问题授课人教学目标1.（2022新课标）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.2.能够熟练掌握利用二次函数求最大利润的问题.3.能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型．会用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题.教学重点用二次函数的知识分析解决有关利润的实际问题.教学难点通过问题中的数量变化关系列出函数解析式.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入一种商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出25件.已知该商品的进价为每件40元，请问：①题中调整价格的方式有哪些？②如何表示价格和利润之间的关系？③如何确定x的取值范围？④如何定价才能使每星期的销售利润最大？通过创设情境，以问题形式引导学生复习已学内容，为后面学习新课做好铺垫探究新知探究点实际问题与商品利润某商品现在的售价为每件60元，经过市场调查，商家决定提高售价，同时销售数量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系为y＝－10x＋900，已知该商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？师生活动：教师引导学生回顾复习售价、进价、利润三者之间的关系，学生回答．教师展示问题：那么该如何定价呢？学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题，教师帮助学生解决问题.师生活动：教师引导学生总结解题过程．1．问题：①该如何定价呢？②问题中的变量是什么？提示：①学生分组讨论如何利用函数模型解决问题．②利润随着价格的变化而变化．学生先独立思考，教师给予引导．2．教师展示解答过程，指导学生进行对比：问题1：销售额为多少？成本为多少？问题2：如何表示利润？[利润＝售价×数量－进价×数量，利润＝(售价－进价)×数量]问题3：可否写出利润的函数解析式？经过上述3个问题的分析，设利润为w元，可得w＝(x－40)(－10x＋900)＝－10x2＋1300x－36000.问题4：根据题目要求可否得到自变量x的取值范围？eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥60，,－10x＋900≥0，))∴60≤x≤90.问题5：当x＝________时，w最大．因为a＝－10<0，所以函数有最大值．当x＝－eq\f(b,2a)＝65时，y有最大值，为6250.3．教师指导、点拨，重点强调：①怎样用函数观点来认识问题；②怎样建立函数模型；③怎样找到两个变量之间的关系；④从利润问题中体会函数模型对解决实际问题的价值．4．师生总结：教师指导学生总结解答问题的步骤和方法，学生代表进行说明，全班互相交流，师生共同确定解题思路：①确定自变量和函数．②利用“总利润＝单位利润×数量”列函数解析式．③确定自变量的取值范围．④利用顶点坐标公式求出问题中的最大利润.通过具体例子，让学生列出关系式，让学生在实践中感悟，提高学生利用函数思想解决问题的能力.典例精析【例】王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x（元）和游客居住房间数y（间）的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需要支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？【解】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，根据题意得70k+b=75,解得k=−0.5,故y与x之间的函数关系式是y＝－0.5x＋110．（2）设合作社每天获得的利润为w元，由（1）可知游客居住房间数为y＝－0.5x＋110，则w＝x(－0.5x＋110)－20(－0.5x＋110)＝－0.5x2＋120x－2200＝－0.5(x－120)2＋5000．因为60≤x≤150，所以当x＝120时，w取得最大值，此时w＝5000，故当房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元．【方法总结】利用二次函数解决利润最大问题的一般策略(1)明确利润、单价、销售量之间的关系，根据题意列出二次函数的解析式.(2)讨论最大值时，可转化为顶点式y=a(-h)²+k,并利用二次函数的性质确定最大值.师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流.随堂检测1．某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30)出售，可卖出(600－20x)件，为使利润最大，则每件售价应定为________元．答案：25.2．进价为80元/件的某衬衣定价为100元/件时，每月可卖出2000件；售价每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出该衬衣的总件数y（件）与衬衣售价x（元/件）之间的函数关系式为____________________，每月利润w（元）与衬衣售价x（元/件）之间的函数关系式为____________________________.（以上关系式只列式不化简）．答案：y＝2000－5(x－100)w＝[2000－5(x－100)](x－80)3．一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次．第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元．产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件．如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，则w＝[12＋2(x－1)][80－4(x－1)]＝(10＋2x)(84－4x)＝－8x2＋128x＋840＝－8(x－8)2＋1352．因为x≤9，故当x＝8时，w有最大值，且w最大＝1352．答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352元．4．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y＝ax2＋bx－75．其图象如图．（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？解：（1）由题中条件可求y＝－x2＋20x－75．∵－1＜0，对称轴为x＝10，∴当x＝10时，y值最大，最大值为25．即销售单价定为10元时，销售利润最大为25元．（2）由对称性知y＝16时，x＝7或13．故销售单价在7≤x≤13时，利润不低于16元．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.课堂小结【课堂小结】引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？1.方法层面学习了利用二次函数解决最大利润实际问题，紧扣建模思想、数形结合、最值求解的核心思路，将商品销售、单价调整、销量变动的生活实际场景，转化为二次函数模型，通过求函数顶点最值解决销售最优利润问题，体会从实际到数学、再从数学到实际的转化方法，掌握销售类应用题的建模、求解、验根全流程.2.知识内容层面掌握二次函数最大利润问题的核心公式、建模思路、解题步骤和实际意义检验.【知识网络】教学说明：教师提问并引导学生总结归纳最大利润问题的方法．巩固所学知识，加深对二次函数解决实际问题的理解.作业布置板书设计最大利润问题最大利润问题建立函数关系式；确定自变量的取值范围；确定最大利润.教学反思第3课时抛物线型的实际问题课题26.4第3课时抛物线型的实际问题授课人教学目标1.能根据具体的问题情境建立数学模型，应用二次函数的知识求解，并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．2．学会从多个角度思考问题，逐步提高解决问题的能力.3．经历将实际问题抽象为数学问题的过程，会用转化和数形结合的思想解决实际问题.教学重点探究应用二次函数的知识解决实际问题的方法.教学难点如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入（1）欣赏一组石拱桥的图片，如图，观察桥拱的形状.这组石拱桥图案中，桥拱的形状和抛物线像吗？有关桥拱的问题可以用抛物线知识来解决吗？（2）步行街广场中心处有高低不同的各种喷泉，如图，喷泉喷出的水柱的形状和抛物线像吗？有关喷泉的问题可以用抛物线知识来解决吗？通过创设情境，以问题形式引导学生复习已学内容，为后面学习新课做好铺垫探究新知二次函数与抛物线形问题问题：图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米.若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？师生活动：教师进行引导，提出问题：对于本题你认为应该运用什么知识进行解答？根据问题中的图形为抛物线，由此可知本题应该运用二次函数的知识进行解答.学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题，教师帮助学生解决问题.①要解答二次函数的问题，必须把抛物线放在平面直角坐标系中，所以必须建立适当的平面直角坐标系；②求水面增加的宽度，实际上就是求水面与抛物线的交点的坐标；③求出函数解析式，进而求点的坐标；④求函数解析式应该用待定系数法.师生活动：学生先独立进行解答，然后小组内交流讨论，教师适时点拨，指导学生写出解题过程.解：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图22－3－24.根据图象的特殊性，设抛物线的函数解析式为y＝ax2，由抛物线经过点A（－2，－2），可得a＝－eq\f(1,2)，所以抛物线的函数解析式为y＝－eq\f(1,2)x2.把y＝－3代入函数解析式，得x＝±eq\r(6)，所以CD－AB＝（2eq\r(6)－4）米，则水面宽度将增加（2eq\r(6)－4）米.活动二：教师指导学生建立不同的平面直角坐标系进行解答.学生独立完成解题过程，小组内交流比较：建立的平面直角坐标系是否相同，计算结果是否一致.如解法：如图，设AB所在直线为x轴，经过AB的中点O且与AB垂直的直线为y轴，则通过画图可知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB的长为AB长的一半，即为2米，抛物线的顶点坐标为（0，2），通过以上条件可设解析式为顶点式y＝ax2＋2.将点A的坐标（－2，0）代入解析式，得a＝－eq\f(1,2)，所以抛物线的函数解析式为y＝－eq\f(1,2)x2＋2.把y＝－1代入上式，得x＝±eq\r(6)，所以CD－AB＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(6)－4))米，则水面宽度将增加（2eq\r(6)－4）米.2.归纳总结：①建立适当的平面直角坐标系；②根据题意找出题目中的点的坐标；③求出抛物线的函数解析式；④直接利用图象解决实际问题.通过具体例子，让学生列出关系式，让学生在实践中感悟，提高学生利用函数思想解决问题的能力.典例精析【例1】如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形OABC的长是12m，宽是4m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝－16x2（1）请写出该抛物线的函数关系式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？【解】（1）根据题意得C(0，4)，把C(0，4)代入y＝－16x2所以抛物线解析式为y＝－16x2（2）：抛物线解析式为y＝－16x2＝－16(x－6)2∴对称轴为x＝6，由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2，0)或(10，0)，当x＝2或x＝10时，y＝223∴这辆货车能安全通过．【例2】如图，施工队要修建一个横断面为抛物线的隧道，OM宽度为16米，其顶点P到OM的距离为8米．（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明．【解】（1）如图，以O为原点建立平面直角坐标系，易得抛物线的顶点坐标为(8，8)．设y＝a(x－8)2＋8，将点(0，0)代入上式，得0＝64a＋8，解得a=-18故函数的解析式为y＝-18(x－8)2（2）由题意得车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧与边沿处的距离x＝7.5－3.5＝4．当x＝4时，y＝6，即允许的最大高度为6米，而5.8＜6，故该车辆能通行．但是车顶与隧道间距很小，需小心行驶．【方法总结】解决形状为抛物线形的实际问题时，一般分为以下四个步骤：（1）建立适当的平面直角坐标系；（2）根据条件，把已知的线段长转化为点的坐标；（3）恰当选用二次函数的解析式形式，用待定系数法求出抛物线的解析式；（4）利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，进而得到实际问题的解．师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流.随堂检测1．某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物（如图所示），大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，