2026新教材人教版九年级上册数学第二十六章 二次函数 教案（共11课时）

第第页2026新教材人教版九年级上册数学第二十六章二次函数教案（共11课时）26.1二次函数的概念课题26.1二次函数的概念授课人教学目标1.理解二次函数的概念：y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）.2.（2022新课标）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.3.掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围.4.通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，拓展学生的数学思维，增强学好数学的信心.教学重点对二次函数概念的理解.教学难点由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入形如ax＋b＝0（a≠0）的方程叫做一元一次方程，令y＝ax＋b，则y＝ax＋b（a≠0）为一次函数.经过上一章的学习，我们知道形如ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的方程叫做一元二次方程.如果我们令y＝ax2＋bx＋c，你会给y＝ax2＋bx＋c（a≠0）命名吗？通过创设情境，引导学生复习一元一次方程、一次函数、一元二次方程等概念，为后面学习二次函数的有关内容做好铺垫探究新知1.二次函数1.问题：如图，正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数解析式是什么？它是一次函数吗？有什么特点？y=6x2不是一次函数变量是2次方学生思考后回答，教师点拨：这是我们今天需要学习和研究的“二次函数”数学模型.2.我们再来看下面的问题（1）n个球队参加比赛，每两个队之间都要进行一场比赛，场数m与球队数n之间有什么关系？每个队要与几个队各比赛一场？对于n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数。m＝eq\f(1,2)n2－eq\f(1,2)n（2）某产品今年的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将由计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？y＝20x2＋40x＋20教师提问：（1）以上问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？列出问题中的函数解析式；（3）观察上面的函数解析式，分析解析式有什么特点.让学生独立思考完成解答，教师适当地引导与点拨，共同得到问题的结论．教师归纳总结：在上面的问题中，y＝6x2，m＝eq\f(1,2)n2－eq\f(1,2)n，y＝20x2＋40x＋20都是用自变量的二次式表示的．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．3.教师指导学生观察二次函数的定义，交流、讨论二次函数的特征，并进行总结：①等式左边是函数y，右边是关于自变量的整式；②a，b，c都是常数，a≠0；③等式右边自变量的最高次数为2，一次项和常数项可以为0，但是必须保留二次项；④自变量x的取值范围是全体实数．归纳：二次函数的一般形式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c是常数项.通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察，思考，归纳出二次函数的概念，让学生在实践中感悟，提高学生利用函数思想解决实际问题的能力。此环节让学生在实际问题出发的基础上理解二次函数的概念，达到真正理解并掌握的目的。典例精析【例1】下列函数中，哪些是二次函数？（1）y＝12（2）y＝3x2（3）y＝(x−1)2−x2（4）y＝2x（5）y＝ax2＋4x＋1答案：（2）是，（1）（3）（4）（5）不是.【方法总结】二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式是整式．（2）化简后自变量的最高次数是2．（3）二次项系数不为0．【例2】若y＝(m－2)xm²－2＋4是二次函数，求m的值和函数解析式．【解】由题意得m−2∴m∴m＝－2，y＝－4x2＋4．【方法总结】要确定二次函数中待定字母的值，需根据二次函数自变量的最高次数是2,二次项系数不为0,列出关于所求字母的方程或不等式(组),解方程或不等式(组),即可确定字母的值.【例3】(1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式.(2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x.写出两年后产品的年销售量y(单位：万件)关于x的函数解析式.【解】(1)圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以S=2πr²+2πr·r,即S=4πr².(2)一年后产品的年销售量为8(1-x)万件，两年后的年销售量为8(1－x)(1－x)万件，所以y=8(1－x)²,即y=8x²－16x+8.【方法总结】列二次函数解析式的一般步骤（1）审：找出已知量和未知量，分析它们之间的关系；（2）找：找到两个未知量之间的关系，用等式表示；（3）列：根据等量关系列出函数解析式，注意自变量的取值范围.师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法。随堂检测1．已知二次函数y＝x2＋3x－5，当x＝2时，y＝_____．

解析：当x＝2时，y＝22＋3×2－5＝4＋6－5＝10－5＝5．2．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y＝．

解析：∵一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴二月份研发资金为a×(1＋x)，∴三月份的研发资金y＝a×(1＋x)×(1＋x)＝a(1＋x)2．3．正方形的边长为5cm，若正方形的边长增加xcm时，其面积增加ycm2．（1）写出y与x的函数关系式；（2）当正方形的边长分别增加2cm，3cm时，正方形的面积分别增加多少？解：（1）y＝(5＋x)2－52＝x2＋10x．（2）当x＝2时，y＝22＋10×2＝24；当x＝3时，y＝32＋10×3＝39．所以当正方形的边长分别增加2cm，3cm时，正方形的面积分别增加24cm2，39cm2．4．某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个．根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．如果超市将篮球售价定为x元（x＞50），每月销售这种篮球获利y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，则这种篮球的售价应定为多少元？解：（1）设篮球售价为x元，则销量减少了10(x－50)个．根据题意，得10(x－50)＜500，即x＜100．所以y＝[500－10(x－50)](x－40)＝－10x2＋1400x－40000（50＜x＜100）．（2）当y＝8000时，即－10x2＋1400x－40000＝8000，解方程，得x＝60或80．结合题意要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.课堂小结【课堂小结】引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？1.方法层面学习了二次函数的概念，通过对比一次函数、正比例函数的定义，抓住函数解析式的结构特征判断函数类型，感受类比归纳、分类辨析的数学学习方法，理清各类函数的本质区别.2.知识内容层面掌握二次函数的标准定义、一般形式、成立条件和相关概念，明确判定规则与常见形式.3.概念联系与区别联系：二次函数与一次函数、正比例函数同属整式函数，自变量取值范围通常为全体实数，都是刻画变量之间对应关系的函数模型；区别：一次函数最高次数为1，解析式形如y=kx+b核心易错点：忽略a≠0的条件；解析式未整理就盲目判断；误把含分式、根式的解析式当成二次函数；混淆二次项系数与一次项系数【知识网络】教学说明：教师提问并引导学生总结归纳二次函数的概念．巩固所学知识，加深对二次函数相关概念的理解.作业布置板书设计二次函数的概念1.二次函数的概念2.二次函数的一般形式3.列二次函数的解析式.教学反思26.2二次函数的图象和性质26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质课题26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质授课人教学目标1.知道二次函数的图象是一条抛物线.2.（2022新课标）能画二次函数y=ax2的图象.通过画图，了解二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条拋物线，理解其顶点为何是原点，对称轴为何是y轴，开口方向为何向上(或向下)，掌握其顶点、对称轴、开口方向、最值和增减性与解析式的内在关系，能运用相关性质解决有关问题.3.（2022新课标）通过图象了解二次函数y=ax2的性质.4.通过对函数图象的观察，掌握二次函数解析式y＝ax2(a≠0)与函数图象的联系，并运用“数形结合”的方法解决抛物线有关问题.教学重点画出二次函数y＝x2的图象，根据函数的图象分析其性质.教学难点用描点法准确画出二次函数的图象.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入如图，你知道打篮球投篮时篮球运动的路线是什么吗？你知道姚明投篮为什么那么准吗？用篮球投篮，观察篮球的运动路线，思考分析投篮时篮球的运动路线有何规律，怎样用数学规律来描述？通过创设情境，引导学生列出二次函数的解析式，复习二次函数概念，为后面学习新课做好铺垫探究新知二次函数y=ax2的图象问题：如何画出二次函数y＝x2的图象呢？师生活动：师生共同讨论，得到画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．①列表：问题：自变量该如何取值呢？学生交流、讨论，得到结论．二次函数y＝x2中自变量的取值范围是全体实数，而且当自变量互为相反数时，对应的函数值相等，因此，以原点为中心在原点的左右两侧均匀地选取便于计算的x值即可．x…－3－2－10123…y＝x2…9410149…②描点：请同学们把表格中的点在坐标纸上描出来.③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，在连线过程中，观察图象的形状.师生活动：学生在坐标纸上画出图象，教师巡视，及时发现问题，并予以纠正、指导.二次函数y＝x2的图象总结：二次函数y＝x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮或掷铅球时球在空中所经过的路线，这条曲线叫做抛物线．抛物线开口方向向上或向下，是轴对称图形，它与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.思考：在同一个平面直角坐标系中画出二次函数y＝eq\f(1,2)x2和y＝2x2的图象，并观察图象有哪些特征.师生活动：请同学们在同一平面直角坐标系中画出两个二次函数的图象，完成后观察并分组讨论图象之间的异同点，总结出当a>0时，二次函数y＝ax2的图象特征.探究二次函数y＝－x2，y＝－eq\f(1,2)x2和y＝－2x2的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点.列表：x…－4-3－2－101234…y＝-x2……x…－4－3－2－101234…y=－EQ\F(1,2)x2……x…－4－3－2－101234…y＝－2x2……归纳：抛物线y＝－x2，y＝－EQ\F(1,2)x2，y＝－2x2的二次项系数a＜0，顶点都是原点，对称轴是_y轴_，顶点是抛物线的最高点（填“高”或“低”）．师生活动：教师进行画图演示，学生观察三个函数图象，并比较异同，独自总结规律．教师进行个别提问，学生独立作答，师生共同确定规律.3.总结归纳，形成规律总结二次函数y＝ax2(a≠0)的图象的特征.学生独立归纳二次函数y＝ax2的图象特征，并填表：二次函数y＝ax2开口方向对称轴顶点坐标函数的增减性最值a>0向上y轴（0,0）y轴右边减，左边增最小值a<0向下y轴（0,0）y轴右边增，左边减最大值归纳：一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大.从二次函数的图象可以看出：如果当a>0时，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小.通过具体事例，让学生画出图象，启发学生观察，思考，归纳出二次函数y＝x2的图象和性质，让学生在实践中感悟，提高学生解决问题的能力。此环节让学生在实际问题出发的基础上理解二次函数的图象和性质，达到真正理解并掌握的目的.典例精析例1（教材p34例1）在同一直角坐标系中，画出函数y＝EQ\F(1,2)x2，y＝x2，y＝2x2的图象．【解】列表：x…－4－3－2－101234…y＝x2……x…－4－3－2－101234…y＝EQ\F(1,2)x2……x…－2－1.5－1－0.500.511.52…y＝2x2……描点、连线【归纳】抛物线y＝EQ\F(1,2)x2，y＝x2，y＝2x2的二次项系数a__＞_____0；顶点都是原点；对称轴是y轴；顶点是抛物线的最_低点（填“高”或“低”）．师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法。随堂检测1．关于x的二次函数y＝－3x2，下列结论：①图象的开口向下；②顶点是(0，0)；③图象有最低点；④当x＜0时，y随x的增大而增大．其中正确的结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C.2．抛物线y＝0.5x2，y＝－3x2，y＝x2的开口最大的是（）A．y＝0.5x2B．y＝－3x2C．y＝x2D．无法确定答案：A.3.若抛物线y＝ax2(a≠0)，过点(－1，2).(1)则a的值是.(2)对称轴是，开口向上.(3)顶点坐标是，顶点是抛物线上的最小值．抛物线在x轴的方(除顶点外).(4)若A(x1，y1)，B(x2，y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0，则y1y2.答案：（1）2；（2）y轴；（3）（0,0）上（4）＞4．已知y＝(m+1)xm解：依题意，得m+1解②，得m1＝−2，m2＝1．由①，得m＞−1．所以m＝1．此时，二次函数的解析式为y＝2x2．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.课堂小结【课堂小结】引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？1.方法层面学习了二次函数y=ax2的图象和性质，体会数形结合的核心数学思想，通过描点法绘制函数图象，再结合图象直观分析函数的开口、顶点、增减性等性质，实现从解析式到图象、再从图象归纳性质的转化，感受由具体到一般、由形到数的研究方法.2.知识内容层面掌握二次函数y=ax2的图象特征、核心性质以及参数a的作用.3.概念联系与区别联系：y=ax2是二次函数的特殊形式，是最简单的二次函数，是研究复杂二次函数图象性质的基础，二者均遵循抛物线的基本特征；区别：y=ax2的顶点固定在原点，对称轴固定为y轴；一般二次函数的顶点和对称轴可随参数b、c变化，图象可上下、左右平移.核心易错点：混淆开口方向与a的正负关系；记错对称轴和顶点坐标；搞反不同开口方向下的函数增减性；忽略|a|决定开口大小这一要点.【知识网络】教学说明：教师提问并引导学生总结归纳二次函数y=ax2的图象和性质．巩固所学知识，加深对二次函数图象和性质的理解.作业布置板书设计二次函数y=ax2的图象和性质1.画法2.图象3.性质.教学反思26.2.2二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质课题26.2.2第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质授课人教学目标1.（2022新课标）能画二次函数y=ax2+k的图象.2.（2022新课标）通过图象了解二次函数y=ax2+k的性质.理解a，k对二次函数图象的影响，能正确说出两个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．3.知道二次函数y=ax2与y=ax2+k的联系.了解二次函数y＝ax2的图象上下平移的规律.4.会用“数形结合”的思想比较二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的解析式、函数对应表和图象关系.会应用二次函数y=ax2+k的性质解题.教学重点画二次函数y＝ax2和y＝ax2＋k的图象，比较它们之间的异同，了解它们的性质.教学难点对二次函数y＝ax2＋k的图象与性质的理解，掌握抛物线上下平移的规律.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入（1）二次函数y＝2x2的图象是抛物线，它的开口向上，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，二次函数y＝2x2在x＝0时，取得最小值，其最小值是0.（2）二次函数y＝2x2＋1与二次函数y＝2x2的解析式有什么相同点和不同点？它们图象的开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？学生自主解答问题，教师根据学生的回答做好总结，从而引入新课.通过创设情境，以问题形式引导学生复习二次函数y＝ax2的图象和性质，为后面学习新课做好铺垫探究新知二次函数y=ax2+k的图象1.问题：在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2＋2和y＝2x2－2的图象.师生活动：先让学生回顾画二次函数图象的步骤：列表、描点、连线，再画出二次函数y＝2x2＋2和y＝2x2－2的图象.（1）列表：教师给出表格，学生填表.x…－1.5－1－0.500.511.5…y＝2x2＋2…6.542.522.546.5…y＝2x2－2…2.50－1.5－2－1.502.5…（2）描点：用表格中的各组对应值作为点的坐标，进行描点.（3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点，得到二次函数y＝2x2＋2和y＝2x2－2的图象.2.思考：观察二次函数y＝2x2＋2和y＝2x2－2的图象，探究二次函数y＝2x2＋2与y＝2x2－2的图象之间的关系.(1)先让学生观察函数的图象，研究自变量相同的两个二次函数图象上点的位置有何关系.(2)二次函数y＝2x2＋2和y＝2x2－2的图象之间有什么关系？学生归纳：二次函数y＝2x2＋2的图象可以看成是将二次函数y＝2x2－2的图象向上平移4个单位长度得到的.3.思考：(1)抛物线y＝2x2＋2和y＝2x2－2的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么？(2)抛物线y＝2x2＋2和y＝2x2－2与抛物线y＝2x2有什么关系？教师指导学生观察函数图象，学生自主进行回答，达成共识：(1)开口方向都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标分别是(0，2)，(0，－2).(2)把抛物线y＝2x2向上平移2个单位长度得到抛物线y＝2x2＋2，向下平移2个单位长度得到抛物线y＝2x2－2.4.思考：抛物线y＝ax2＋k和y＝ax2有什么关系？师生活动：学生分组交流、讨论，做好总结归纳，教师指导各个小组发表见解，最后师生共同总结：(1)开口方向相同，对称轴都是y轴，顶点不同，顶点坐标分别是(0，k)，(0，0).(2)当k>0时，抛物线y＝ax2＋k是由抛物线y＝ax2向上平移k个单位长度得到的；当k<0时，抛物线y＝ax2＋k是由抛物线y＝ax2向下平移|k|个单位长度得到的.通过具体例子，让学生画函数图象，启发学生观察，思考，归纳出二次函数的图象和性质，让学生在实践中感悟，提高学生利用数形结合思想解决问题的能力。典例精析【例1】关于二次函数y＝2x2＋4，下列说法错误的是（）A．其图象的开口方向向上 B．当x＝0时，y有最大值4C．其图象的对称轴是y轴 D．其图象的顶点坐标为(0，4)答案：B.【例2】关于抛物线y＝－x2＋1与y＝x2－1，下列说法正确的是（）A．开口方向相同 B．顶点相同C．对称轴相同D．当x＞0时，y随x的增大而增大答案：C.【方法总结】由二次函数的解析式推断抛物线性质的方法(1)a决定抛物线的开口方向，且|a|的大小决定开口的大小.特别地，当两个抛物线形状一样时，两者的|a|是相等的；(2)k确定抛物线与对称轴交点的纵坐标.【例3】在直角坐标系中，函数y＝3x与y＝－x2＋1的图象大致是（）【解析】∵y＝3x的比例系数k＝3＞0，∴y随x的增大而增大，即直线从左到右呈上升趋势，故排除A，C．又二次函数y＝－x2＋1的图象开口向下，∴排除B．答案：D.【方法总结】解决根据解析式判断函数图象问题，关键是把题目中的多个函数逐个单独分析，确定每个函数的核心特征，利用特征进行判断.师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解知识的有效方法。随堂检测1．已知抛物线y＝2x2－3．（1）它的开口向____，对称轴为______，顶点坐标为__________；（2）把抛物线y＝2x2______________________可得抛物线y＝2x2－3；（3）若点(－4，y1)，(－1，y2)在抛物线y＝2x2－3上，则y1____y2（填“＞”“＜”或“＝”）．答案：（1）上y轴（0，-3）（2）向下平移3个单位长度（3）＞2．关于二次函数y＝－2x2＋3，下列说法中正确的是（）A．它的图象开口方向向上B．当x＜0时，y随x的增大而增大C．它的顶点坐标是(3，0)D．当x＝0时，y有最小值是3答案：B.3．如果将抛物线y＝x²＋2向下平移3个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是__________．答案：y＝x2－14．二次函数y＝mx2＋m－2的图象的顶点在y轴的负半轴上，且开口向上，则m的取值范围为___________．答案：0＜m＜2.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.课堂小结【课堂小结】引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？1.方法层面学习了二次函数y=ax2+k的图象和性质，延续数形结合的核心思想，通过平移法推导图象，对比y=ax2的图象探究新函数的特征，体会“由简到繁、类比迁移”的函数研究方法，理清参数变化对函数图象的影响，掌握图象平移与解析式的对应关系.2.知识内容层面掌握二次函数y=ax2+k的图象特征、平移规律、核心性质以及参a、k的作用.3.概念联系与区别联系：y=ax2+k是y=ax2的延伸，二者图象形状相同、对称轴相同、增减性一致，都属于顶点在y轴上的二次函数，k=0时即为y=ax2.区别：y=ax2顶点在原点(0,0)，最值为0；y=ax2+k顶点在(0,k)，图象上下平移，最值变为k，参数k只改变图象位置，不改变形状、开口和增减性.【知识网络】教学说明：教师提问并引导学生总结归纳二次函数y=ax2+k的图象和性质．巩固所学知识，加深对二次函数y=ax2+k的图象和性质相关概念的理解.作业布置板书设计二次函数y=ax2+k的图象和性质1.图象2.性质.3.与y=ax2的关系教学反思第2课时二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质课题26.2.2第2课时二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质授课人教学目标1.（2022新课标）能画二次函数y=a(x−h)2的图象，体会数形结合的思想与方法，并掌握它的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及函数的增减性等．2.（2022新课标）通过图象了解二次函数y=a(x−h)2的性质.3.知道二次函数y=ax2与y=a(x−h)2的联系.理解抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的位置关系，掌握二次函数y＝a(x－h)2的图象的平移规律.4.会应用二次函数y=a(x−h)2的性质解题.5.在探索二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质的过程中，会用数形结合的思想与方法解决问题．教学重点掌握二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质.教学难点掌握抛物线y＝a(x－h)2与抛物线y＝ax2之间的平移规律.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入（1）二次函数y＝ax2的图象是过原点的抛物线；顶点坐标为（0，0）；对称轴是y轴；当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图象在x轴的上方（除顶点外）；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点，图象在x轴的下方（除顶点外）.（2）将二次函数y＝ax2的图象向上（或下）平移|k|个单位长度后，可得二次函数y＝ax2＋k的图象.问题：二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的图象是怎样的呢？它与二次函数y＝ax2的图象有什么关系？学生自主解答问题，教师根据学生的回答做好总结，从而引入新课.通过创设情境，以问题形式引导学生复习二次函数y＝ax2与y＝ax2+k的图象和性质，为后面学习新课做好铺垫探究新知二次函数y=a（x-h）2的图象1.观察图象，然后进行填表：函数开口方向对称轴顶点坐标最值增减性y＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))eq\s\up12(2)y＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))eq\s\up12(2)学生自主填表后，教师指明学生回答，共同得到正确答案.2.归纳：二次函数y＝a（x－h）2的图象的对称轴是直线x＝h，顶点坐标是（h，0）.当a>0时，图象开口向上，当x<h时，y随x的增大而减小，当x>h时，y随x的增大而增大，当x＝h时，y有最小值是0；当a<0时，图象开口向下，当x<h时，y随x的增大而增大，当x>h时，y随x的增大而减小，当x＝h时，y有最大值是0.3.探究规律：在观察所画二次函数的图象后，思考并解答下列问题：（1）抛物线y＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))eq\s\up12(2)，y＝－eq\f(1,2)x2，y＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))eq\s\up12(2)的形状和大小之间有什么关系？（2）把抛物线y＝－eq\f(1,2)x2向左平移1个单位长度后，就得到抛物线y＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))eq\s\up12(2)；（3）把抛物线y＝－eq\f(1,2)x2向右平移1个单位长度后，就得到抛物线y＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))eq\s\up12(2).教师展示图象的变化情况，学生观察、作答，并思考平移的规律.4.思考分析（1）分析抛物线y＝a（x－h）2和y＝ax2之间的区别和联系；（2）讨论二次函数y＝a（x－h）2中a和h的作用.师生活动：学生小组内讨论得到结论，教师给予补充和总结：抛物线y＝a（x－h）2和y＝ax2开口方向和大小都相同，对称轴和顶点不同，抛物线y＝a（x－h）2可由抛物线y＝ax2通过平移得到.a的值决定抛物线的开口方向和大小，h的值决定抛物线的对称轴.通过具体例子，让学生观察函数图象，启发学生思考，归纳出二次函数的图象和性质，让学生在实践中感悟，提高学生利用数形结合思想解决问题的能力.典例精析【例1】抛物线y＝ax2向右平移3个单位长度后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．【解】二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位长度后，二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，解得a=14∴平移后二次函数关系式为y＝14(x－3)2【方法总结】解决此类问题先根据平移规律写出函数解析式，再把点的坐标代入求出参数即可.【例2】已知抛物线y＝－(x＋1)2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1＜x2＜－1，那么下列结论成立的是（）A．y1＜y2＜0B．0＜y1＜y2C．0＜y2＜y1D．y2＜y1＜0答案：A.【方法总结】比较函数值大小问题的解题方法（1）定性质：确定抛物线开口、对称轴、单调性；（2）判位置：判断两点在对称轴的同侧或异侧；（3）比大小：同侧用单调性，异侧用对称性或距离法；（4）验符号：结合函数最值或范围，确定y的符号.师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法。随堂检测1．将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是（）A．向上平移1个单位长度B．向下平移1个单位长度C．向左平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度答案：C.2．对于二次函数y＝3(x＋2)2，下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．图象的对称轴是直线x＝2C．当x＞－2时，y随x的增大而减小D．函数有最小值0答案：D.3．对于函数y＝－2(x－m)2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝mC．最大值为0D．与y轴不相交答案：D.4．在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x－2)2的图象，并指出两个图象之间的平移关系．解：画出的函数图象如图．函数y＝2(x－2)2的图象可由函数y＝2x2的图象向右平移2个单位长度得到．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.课堂小结【课堂小结】引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？1.方法层面学习了二次函数y=a(x-h)2的图象和性质，牢牢把握数形结合的核心思想，借助平移法推导图象，对比y=ax2的图象探究新函数的特征，体会类比迁移、由简到繁的函数研究方法，理清图象左右平移与解析式的对应关系，掌握顶点式的研究思路.2.知识内容层面掌握二次函数y=a(x-h)2的图象特征、平移规律、核心性质以及参数a、h的作用.3.概念联系与区别联系：y=a(x-h)2是y=ax2的延伸，二者图象形状、开口规律完全相同，均属于二次函数顶点式，h=0时，该函数就变为y=ax2.区别：y=ax2对称轴为y轴、顶点在原点；y=a(x-h)2对称轴为直线x=h，顶点在(h,0)，图象左右平移，增减性分界点随对称轴改变，h只改变图象水平位置，不影响形状和开口.核心易错点：记错“左加右减”规律，混淆平移方向；误把对称轴记成x=-h；写错顶点横坐标；搞错对称轴两侧的增减性.【知识网络】教学说明：教师提问并引导学生总结归纳二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质．巩固所学知识，加深对二次函数y=ax2+k的图象和性质相关概念的理解.作业布置板书设计二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质1.图象2.性质.3.与y=ax2的关系教学反思第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质课题26.2.2第3课时二次函数y＝a(x－h)2+k的图象和性质授课人教学目标1.（2022新课标）能画二次函数y=a(x−h)2+k的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象之间的位置关系．2.（2022新课标）通过图象了解二次函数y=a(x−h)2+k的性质.3.知道二次函数y=ax2与y=a(x−h)2+k的联系.会应用二次函数y=a(x−h)2+k的性质解题.4.会用二次函数的知识解决简单的实际问题，会用数学的思维分析、转化、解决实际问题.教学重点掌握二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质.教学难点掌握二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象之间的平移规律.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入（1）函数y＝2x2＋1的图象与函数y＝2x2的图象之间有什么关系？（2）函数y＝2（x－1）2的图象与函数y＝2x2的图象之间有什么关系？问题：函数y＝2（x－1）2＋1的图象与函数y＝2（x－1）2的图象之间有什么关系？函数y＝2（x－1）2＋1有哪些性质？学生自主解答问题，教师根据学生的回答做好总结，从而引入新课.通过创设情境，以问题形式引导学生复习已学内容，为后面学习新课做好铺垫探究新知二次函数y=a（x-h）2+k的图象问题：画出二次函数y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2－1的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.师生活动：学生列表，并在准备好的坐标纸上描点、连线，画出函数的图象.教师巡视指导，做好纠正和点拨.思考：你能发现二次函数y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2－1有哪些性质吗？师生活动：学生分组讨论，互相交流，发表见解后，达成共识：抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是(－1，－1)．当x＝－1时，y有最大值是－1；当x>－1时，y随x的增大而减小；当x<－1时，y随x的增大而增大.教师对学生的发现进行鼓励，对于二次函数，引导学生从图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、函数的最值及增减性等方面进行分析.思考：二次函数y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2－1的图象与二次函数y＝－eq\f(1,2)x2的图象之间的关系.学生思考后总结如下：把抛物线y＝－eq\f(1,2)x2向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到抛物线y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2－1.思考：你能根据上述探究，归纳出二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象和性质吗？师生活动：学生讨论、交流，积极发言，师生共同提示、补充、总结：(1)当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下.(2)对称轴是直线x＝h.(3)顶点坐标是(h，k).(4)二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由二次函数y＝ax2的图象沿x轴向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位长度，再沿对称轴向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位长度得到．简单地说，就是左加右减，上加下减，平移的方向、距离要根据h，k的值来决定.教师补充说明：形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数的解析式称为顶点式，顶点式能直接反映出抛物线的顶点坐标.通过具体例子，让学生观察函数图象，启发学生思考，归纳出二次函数的图象和性质，让学生在实践中感悟，提高学生利用数形结合思想解决问题的能力.典例精析【例1】对于抛物线y＝－(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x＞1时，y随x的增大而减小．其中正确结论有（）A．0B．1C．2D．3【解析】①∵a＝－1＜0，∴抛物线的开口向下，正确；②对称轴为直线x＝－1，错误；③顶点坐标为(－1，3)，正确；④x＞1时，y随x的增大而减小，正确．综上所述，结论正确的是①③④，共3个，故选D．【方法总结】明晰抛物线y=a(x—h)²+k的各种形式，解决性质问题抛物线y=a(x—h)²+k有多种形式，比如当h=0,k≠0时，变为y=ax²+k;当h≠0,k=0时，变为y=a(x-h)².解决各种形式的抛物线的性质问题的关键是要记准抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.【例2】已知抛物线的顶点为(－1，2)且过原点，求抛物线的函数解析式．【解】∵抛物线的顶点为(－1，2)，∴可设抛物线的函数解析式为y＝a(x＋1)2＋2．又抛物线过(0，0)，∴0＝a(0＋1)2＋2，解得a＝－2，∴抛物线的函数解析式为y＝－2(x＋1)2＋2．【方法总结】巧设顶点式求二次函数的解析式已知二次函数图象的顶点坐标(h,k),常设解析式为y=a(x-h)²+k,然后将图象上一个已知点的坐标代入，便可求得二次函数的解析式.【例3】（教材p41例2）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3.6m，如图所示，水管应多长？教师为学生理解问题、顺利解答问题，进行分层次设问：(1)分析该题的突破口是什么？(2)如何建立平面直角坐标系？(3)你能求出该抛物线的函数解析式吗？(4)根据解析式你能求出水管的长度吗？【解】如图,以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管在所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.点(1.6,3)是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式为y=a（x-1）2+3（0≤x≤3.6），由这段抛物线经过点（3.6，0），可得0=a（3.6-1.6）2+3（0≤x≤3.6），解得：a=-34因此y=-34（x-1.6）2+3（0≤x≤3.6令x=0，则y=1.08．也就是说，水管的长应为1.08m.【方法总结】解决二次函数实际问题，先审题，需要建立坐标系的先建立坐标系，然后根据条件列出解析式，把相关数据代入，求出解析式，再解决相应问题.师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法。随堂检测1．抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位答案：B.2．下列关于二次函数y＝－2(x－2)2＋1图象的叙述，其中错误的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝2C．此函数有最小值是1D．当x＞2时，y随x的增大而减小答案：C.3．二次函数y＝2(x＋2)2－1的图象是（）答案：C.4．指出下面函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．（1）y＝5(x＋2)2＋1；（2）y＝－7(x－2)2－1；（3）y＝(x－4)2＋3；（4）y＝－(x＋2)2－3．解：（1）开口向上对称轴为x＝－2顶点坐标为(－2，1)（2）开口向下对称轴为x＝2顶点坐标为(2，－1)（3）开口向上对称轴为x＝4顶点坐标为(4，3)（4）开口向下对称轴为x＝－2顶点坐标为(－2，－3)5．已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1，－2)，求这个二次函数的关系式．解：由函数顶点坐标是(1，－2)，设二次函数的关系式为y＝a(x－1)2－2．图象过点(0，0)，则0＝a(0－1)2－2，解得a＝2，∴这个二次函数的关系式为y＝2(x－1)2－2．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.课堂小结【课堂小结】引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？1.方法层面学习了二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，牢牢把握数形结合的核心思想，借助平移法推导图象，对比y=ax2，y=ax2+k，y=a(x-h)2的图象探究新函数的特征，体会类比迁移、由简到繁的函数研究方法，理清图象左右平移与解析式的对应关系，掌握顶点式的研究思路.2.知识内容层面掌握二次函数y=a(x-h)2+k的图象特征、平移规律、核心性质以及参数a、h的作用.3.概念联系与区别联系：y=a(x-h)2+k是二次函数顶点式的一般形式，是y=ax2、y=ax2+k、y=a(x-h)2的综合延伸；四类函数图象形状、开口规律一致，均为抛物线，前三者均是该函数的特殊形式.

区别：y=ax2顶点在原点，y=ax2+k顶点在\(y\)轴上，y=a(x-h)2顶点在x轴上，而y=a(x-h)2+k顶点为(h,k)，可落在平面直角坐标系任意位置；h控制左右位置，k控制上下位置，a控制开口方向和大小.

核心易错点：混淆“左加右减”规律，搞错平移方向；误将对称轴记为x=-h；写错顶点坐标(h,k)；混淆参数h、k的作用；搞错对称轴两侧的增减性.【知识网络】教学说明：教师提问并引导学生总结归纳二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质．巩固所学知识，加深对二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质相关概念的理解.作业布置板书设计二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质1.图象2.性质.3.与y=ax2的关系教学反思26.2.3二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质课题26.2.3二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质授课人教学目标1.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x−h)2+k的形式，并能得到图象的顶点坐标、开口方向、对称轴.2.（2022新课标）能画二次函数y=ax2+bx+c的图象.3.（2022新课标）会求二次函数的最大值或最小值.4.理解并掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的有关性质.5.在教学中渗透数形结合的数学思想方法，会用数学的语言表达现实世界.教学重点用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方法确定抛物线的对称轴、顶点坐标.教学难点理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质以及它的图象的对称轴和顶点坐标公式.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入（1）函数y＝2x2＋1的图象与函数y＝2x2的图象之间有什么关系？（2）函数y＝2（x－1）2的图象与函数y＝2x2的图象之间有什么关系？问题：函数y＝2（x－1）2＋1的图象与函数y＝2（x－1）2的图象之间有什么关系？函数y＝2（x－1）2＋1有哪些性质？学生自主解答问题，教师根据学生的回答做好总结，从而引入新课.通过创设情境，以问题形式引导学生复习已学内容，为后面学习新课做好铺垫探究新知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象1.问题：如何画二次函数y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21的图象？（1）对于形如y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的二次函数，大家会画它的图象吗？（2）这种函数在形式上有什么特点？（3）你能把二次函数y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21化成y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的形式吗？（4）画出二次函数y＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－6))eq\s\up12(2)＋3的图象，并指出它是由抛物线y＝eq\f(1,2)x2通过怎样的平移得到的.师生活动：给予学生充分的时间和空间，让学生尝试配方.2.学生根据图象说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，教师利用几何画板来引导，由学生交流、讨论，归纳出二次函数的增减性.总结：抛物线开口向上，对称轴是直线x＝6，顶点坐标是（6，3）.当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大.练习：结合图象，说出抛物线y＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋3))eq\s\up12(2)－1的开口方向、对称轴、顶点坐标及函数的增减性.师生活动：学生口答，教师点评.3.求抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标.师生活动：教师指导，学生写解析过程步骤及做法，得到公式.抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－eq\f(b,2a)，顶点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a))).如果a>0，当x<－eq\f(b,2a)时，y随x的增大而减小；当x>－eq\f(b,2a)时，y随x的增大而增大.如果a<0，当x<－eq\f(b,2a)时，y随x的增大而增大；当x>－eq\f(b,2a)时，y随x的增大而减小.通过具体例子，让学生观察函数图象，启发学生思考，归纳出二次函数的图象和性质，让学生在实践中感悟，提高学生利用数形结合思想解决问题的能力.典例精析【例】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；由对称轴x＞－1可得2a－b＜0，故②正确；由图象上横坐标为x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．【方法总结】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与系数的关系①a决定开口方向：a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下；②a，b同号对称轴在y轴的左侧；a，b异号对称轴在y轴的右侧；③c＝0⇔经过原点；c＞0⇔与y轴的交点位于x轴的上方；c＜0⇔与y轴的交点位于x轴的下方；④当x＝1时，y的值为a＋b＋c，当x＝－1时，y的值为a－b＋c．⑤当对称轴x＝1时，x＝b2当对称轴x＝－1时，x＝b2因此，判断2a＋b的符号，需判断对称轴x＝b2a与1的大小，若对称轴在直线x＝1的左边，则b师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法。随堂检测1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中x，y的部分对应值如下表：x－10123y51－1－11则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x＝1C．直线x＝2D．直线x＝3答案：D.2．已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（）A．b≥－1B．b≤－1C．b≥1D．b≤1解析：∵二次项系数－1＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为x=-2b2由于当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线的对称轴应在直线x＝1处或其左侧．∴b≤1，如图所示．故选D．3.将y=x2－2x－3用配方法化为y=a(x－h)2+k的形式，并指出图象的对称轴、顶点坐标及图象与x轴、y轴的交点坐标．解：y=x2－2x－3=x2－2x+1－1－3=(x－1)2－4，所以图象的对称轴是x=1，顶点坐标是(1，－4)；当x=0时，y=－3，所以图象与y轴的交点坐标为(0，－3)，当y=0时，x=3或x=－1，所以图象与x轴的交点坐标为(3，0)，(－1，0)．4．已知抛物线y＝2x2－12x＋13．（1）当x为何值时，y有最小值？最小值是多少？（2）当x为何值时，y随x的增大而减小？（3）将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，请直接写出新抛物线的解析式．解：∵y＝2x2－12x＋13＝2(x－3)2－5，∴抛物线开口向上，顶点为(3，－5)，对称轴为直线x＝3．（1）当x＝3时，y有最小值，最小值为－5．（2）当x＜3时，y随x的增大而减小．（3）新抛物线的解析式为y＝2(x－5)2－3．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.课堂小结【课堂小结】引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？1.方法层面学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质，紧扣数形结合、配方转化的核心思想，通过配方法将一般式化为顶点式，借助顶点式的研究思路推导一般式的性质，体会化未知为已知、化繁为简的转化思想，理清二次函数一般式与顶点式的内在联系，掌握完整的函数性质推导与应用方法.2.知识内容层面掌握二次函数一般式的图象特征、配方转化、核心性质以及参数a,b,c的作用.3.概念联系与区别联系：y＝ax2＋bx＋c是二次函数的一般式，y=a(x-h)2+k是二次函数的顶点式，二者可以通过配方相互转化，图象形状、开口规律、增减性、最值的核心逻辑完全一致，本质是同一类函数的不同表达形式。

区别：顶点式可直接看出对称轴、顶点坐标和平移规律，便于研究图象位置；一般式直接展现各项系数，便于代入数值计算、求解函数解析式，适用场景不同.

核心易错点：记错对称轴公式，漏掉负号；混淆顶点纵坐标的公式；搞反对称轴两侧的增减性；误将b,c当作开口大小的决定因素；忽略c对应y轴交点的作用.【知识网络】教学说明：教师提问并引导学生总结归纳二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质．巩固所学知识，加深对二次函数的图象和性质相关概念的理解.作业布置板书设计二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质1.图象2.性质.教学反思26.3二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程课题26.3第1课时二次函数与一元二次方程授课人教学目标（2022新课标）知道二次函数和一元二次方程之间的关系.准确表述何时方程有两个不相等的实数根，两个相等的实数根和没有实数根.教学重点掌握二次函数与一元二次方程之间的关系.教学难点理解二次函数的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入如图，出示二次函数y＝x2－2x－3的图象，根据图象回答：（1）当x为何值时，y＝0？（2）你能根据图象，求方程x2－2x－3＝0的根吗？（3）二次函数y＝x2－2x－3与一元二次方程x2－2x－3＝0之间有什么关系？学生自主解答问题，教师根据学生的回答做好总结，从而引入新课.通过创设情境，以问题形式引导学生复习已学内容，为后面学习新课做好铺垫探究新知二次函数y＝ax２＋bx＋c的图象与x轴交点情况1.思考：已知二次函数：①y＝x2＋x－2；②y＝x2－6x＋9；③y＝x2－x＋1.（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？师生活动：教师展示二次函数的图象，如图22－2－8，学生观察图象，展开讨论，并回答问题.（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标分别是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1.（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴只有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根是3.（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根.教师总结：一般地，如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根.2.通过以上学生之间、师生之间的观察、交流、讨论，进行总结：一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可得如下结论.（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根.（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，只有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.3.由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察时可能存在误差，所以由图象求得的根，一般是近似的.问题：（1）观察二次函数y＝x2－6x＋9的图象和y＝x2－2x＋3的图象，分别说出一元二次方程x2－6x＋9＝0和x2－2x＋3＝0的根的情况.（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？师生共同讨论总结：当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个不等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴只有一个交点；当Δ＝b2－4ac<0时，方程无实数根，抛物线与x轴没有交点.教师总结：把函数值代入函数解析式，得到关于自变量的一元二次方程，解方程即可得到自变量的值.通过具体例子，让学生观察函数图象，启发学生思考，归纳出二次函数和一元二次方程的关系，让学生在实践中感悟，提高学生利用数形结合思想解决问题的能力.典例精析【例1】若二次函数y=x2-6x+c的图象经过点A（1，1），则方程x2-6x+c=1的解为（）A．x=1B．x=6C．x=1或x=-7D．x=1或x=5【解析】∵二次函数y=x2-6x+c,

∴抛物线的对称轴是直线x=3，

∵图象经过点A（1，1），

∴点（5，1）也是图象上的点，

∴方程x2-6x+c=1的解为x=1或x=5，

故选：D．【方法总结】求解一元二次方程的常见方法(1)根据题目，灵活选择以下方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法进行求解.(2)利用二次函数图象与x轴的交点的横坐标即为对应一元二次方程的根进行求解.(3)把一元二次方程的根看成对应的两个函数图象的交点的横坐标，利用两个函数图象的交点求解.【例2】二次函数y=x2-2x+3的图象与x轴的交点个数是（）A．0个B．1个C．2个D．不能确定【解】∵二次函数y=x2-2x+3的图象与x轴的交点即为方程x2-2x+3=0的根，

∵Δ=（-2）2-4×1×3=4-12=-8＜0，

∴x2-2x+3=0无实数根，

∴二次函数y=x2-2x+3的图象与x轴没有交点，

故选：A．【方法总结】判断抛物线与坐标轴交点个数的方法(1)抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点个数的判断方法：①若△=b²—4ac>0,则抛物线与x轴有2个交点；②若△=b²—4ac=0,则抛物线与x轴有1个交点；③若△=b²—4ac<0,则抛物线与x轴没有交点.(2)抛物线y=ax²+bx+c与y轴总有一个交点(0,c).【例3】如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为h＝20t－5t2.小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要飞行多长时间？【解】当h＝20时，由函数关系h＝20t－5t2，列得方程20＝20t－5t2，即t2－4t＋4＝0，解方程，得t1＝t2＝2．这说明，当自变量t=2时，二次函数h＝20t－5t2的函数值为20，即当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m．【方法总结】用二次函数解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学问题并建立数学模型，然后解方程即可.师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法.随堂检测1.若二次函数y=a（x-1）2+k的图象与x轴交于点（-2，0），则图象与x轴的另一个交点为（）A．（0，0）B．（2，0）C．（3，0）D．（4，0）

解析：抛物线y=a（x-1）2+k的对称轴为直线x=1，

而点（-2，0）关于直线x=1的对称点为（4，0），

所以抛物线与x轴另一个交点的坐标为（4，0）．

故选：D．2.若二次函数y=9x2-bx+1的图象与x轴只有一个交点，那么b的值为．解：对于二次函数y=9x2-bx+1，其中a=9，一次项系数为-b,c=1，

判别式Δ=（-b）2-4×9×1=b2-36，

∵二次函数y=9x2-bx+1的图象与x轴只有一个交点，

∴Δ=0，得b2-36=0，解得b=6或b=-6，

故答案为：±6．3.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点坐标分别为（1，0），（m,0）．若2＜m＜4，则b的取值范围是．解：由题意，∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点坐标分别为（1，0），（m,0），

∴y=（x-1）（x-m）=x2-（m+1）x+m,

∴b=-（m+1）．

∵2＜m＜4，

∴2＜-b-1＜4，

∴3＜-b＜5，

∴-5＜b＜-3．

故答案为：-5＜b＜-3．4.某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面209（1）建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？（2）此时，如果对方队员乙在甲面前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？解：（1）由题意可知，A(0，209其中B是抛物线的顶点．设抛物线解析式为y＝a(x－4)2＋4，将点A的坐标代入，可得a＝－19故y＝－19(x－4)2当x＝7时，y＝－19(7－4)2∴点C(7，3)在该抛物线上．∴此球一定能投中．（2）将x＝1代入函数解析式，得y＝3．∵3.1＞3，∴盖帽拦截能获得成功．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.课堂小结【课堂小结】引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？1.方法层面学习了二次函数与一元二次方程的关系，紧扣数形结合的核心数学思想，学会从函数图象角度分析方程的根，通过图象法求解一元二次方程、判断方程根的个数，体会以形助数、以数释形的转化思路，建立函数与方程之间的桥梁，掌握用函数性质解决方程问题的方法.2.知识内容层面理清二次函数与一元二次方程的内在联系，掌握图象与根的对应关系、根的判定方法、方程求解技巧.3.概念联系与区别联系：一元二次方程是二次函数在函数值y=0时的特殊情况，二者解析式结构完全相同，判别式通用，方程的根对应函数图象与x轴的交点，是数与形的统一体.

区别：一元二次方程是等式，研究的是未知数的取值（实数根）；二次函数是变量对应关系，研究的是两个变量的变化规律和图象特征，二者研究对象、侧重点不同.

核心易错点：混淆判别式与交点个数的对应关系；忽略a≠0的前提条件；把方程的根记为图象与y轴交点横坐标；搞混函数值正负对应的自变量范围.教学说明：教师提问并引导学生总结归纳二次函数与一元二次方程的关系．巩固所学知识，加深对二次函数与一元二次方程的根的关系的理解.作业布置板书设计二次函数与一元二次方程1.抛物线与x轴的交点2.一元二次方程的根.教学反思第2课时利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解课题26.3第2课时二次函数y＝ax２＋bx＋c的图象与x轴交点情况的探究授课人教学目标1.灵活运用根的判别式处理二次函数图象与x轴的交点问题.2.解决有关二次函数取值以及两个函数值的大小比较问题.3.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合的思想.教学重点掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用函数图象求一元二次方程的近似解.教学难点理解二次函数的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入学生观察图象填空：（1）a＜0；（2）b＞0；（3）c＞0；（4）△＝b2－4ac＞0；（5）a＋b＋c＞0；（6）a－b＋c＜0；（7）2a＋b＜0；（8）方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1=1，x2=m；（9）当y＞0时，x的范围为m＜x＜1；（10）当y＜0时，x的范围为x＜m或x＞1；学生自主解答问题，教师根据学生的回答做好总结，从而引入新课.通过创设情境，以问题形式引导学生复习已学内容，为后面学习新课做好铺垫探究新知利用函数图象求一元二次方程的近似解完成以下两道题：问题：画出函数y＝2x2-4x－1的图象，求方程2x2-4x－1＝0的解.(精确到0.1)画出抛物线y＝2x2－4x－1的图象如图所示．由图象知，当x≈2.2或x≈－0.2时，y＝0.即方程2x2－4x－1＝0的近似解为x1≈2.2，x2≈－0.2.我们可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根．问题提示：（1）教师引导学生利用列表、描点、连线的步骤进行画图；（2）教师巡视指导，与学生合作、交流；（3）教师引导学生观察函数图象，体会得到问题答案的过程；（4）学生分组讨论、交流，总结二次函数与一元二次方程之间的关系.通过具体例子，让学生观察函数图象，启发学生思考，归纳出二次函数的图象和性质，让学生在实践中感悟，提高学生利用数形结合思想解决问题的能力.典例精析【例1】（教材p48例2）利用函数图象求一元二次方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）.【解】作二次函数y＝x2－2x－2的图象，如图，它与x轴的公共点的横坐标x1≈－0.7，x2≈2.7，所以一元二次方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7，x2≈2.7.【方法总结】用图象法求一元二次方程的近似根的步骤：（1）画出函数的图象，并由图象确定方程根的个数；（2）由图象交点位置确定横坐标的范围；（3）估计方程的近似根．【例2】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

（1）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围x

1（填“≥”或“≤”）；

（2）写出二次函数y=ax2+bx+c的顶点

；

（3）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集

；

（4）当0＜x＜5时，y的取值范围是

．【解】（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，开口向下，

∴当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围是x≥1．

故答案为：≥；

（2）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为（-1，0），（3，0），

∴y=a（x+1）（x-3），

代入（0，3）得，3=-3a,解得a=-1，

∴y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为（1，4）．

故答案为：（1，4）；

（3）由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集为-1＜x＜3；

故答案为：-1＜x＜3；

（4）∵x=5时，y=-（x-1）2+4=-12，x=1时，y=4，

∴当0＜x＜5时，y的取值范围是-12＜y≤4．

故答案为：-12＜y≤4．【方法总结】利用二次函数的图象解不等式，关键是准确画出函数图象，y>0时，对应的范围是x轴上方的图象；y<0时，对应的范围是x轴下方的图象.师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法.随堂检测1.二次函数y=x2-x-2的图象如图所示，则不等式x2-x-2＜0的解集是（）A．x＜-1B．x＞2C．-1＜x＜2D．x＜-1或x＞2解：由图可知，抛物线与x轴的交点为（-1，0）、（2，0），

所以，不等式x2-x-2＜0的解集是-1＜x＜2．

故选：C．2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是．解：函数值y＜0时，自变量x的取值范围是-1＜x＜3．

故答案为：-1＜x＜3．3.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为

．解：∵抛物线与x轴的一个交点为（-3.4，0），又抛物线的对称轴为：x=-1，

∴另一个交点坐标为：（1.4，0），

则方程的另一