小学数学中的行程问题

小学数学中的行程问题

【基本公式】

基本概念：行程问题是探讨物体运动的，它探讨的是物体速度、时间、行

程三者之间的关系。

基本公式：路程=速度X时间；路程♦时间=速度；路程♦速度=时

间

关键问题：确定行程过程中的位置

相遇问题：速度和X相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）

追击问题：追击时间=路程差个速度差：写出其他公式）

流水问题：顺水行程=（船速+水速）X顺水时间逆水行程=（船

速一水速）X逆水时间

顺水速度=船速+水速逆水速度=船速一水速

静水速度=（顺水速度+逆水速度）+2水速=（顺水速度一逆水

速度）

流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。

过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。

【一般行程问题公式】

平均速度X时间二路程；

路程小时间=平均速度；

路程♦平均速度二时间。

【反向行程问题公式】

反向行程问题可以分为“相遇问题”（二人从两地动身，相向而行）

和“相离问题”（两人背向而行）两种。这两种题，都可用下面的公式解

答：

（速度和）X相遇（离）时间二相遇（离）路程；

相遇（离）路程+（速度和）二相遇（离）时间；

相遇（离）路程♦相遇（离）时间二速度和。

【同向行程问题公式】

追与（拉开）路程+（速度差）二追与（拉开）时间；

追与（拉开）路程・追与（拉开）时间二速度差；

（速度差）X追与（拉开）时间二追与（拉开）路程。

【列车过桥问题公式】

（桥长+列车长）+速度二过桥时间；

（桥长+列车长）♦过桥时间二速度；

速度X过桥时间二桥、车长度之和。

【行船问题公式】

（1）一般公式：

静水速度（船速）+水流速度（水速）二顺水速度；

船速-水速二逆水速度；

（顺水速度+逆水速度）+2=船速；

（顺水速度-逆水速度）+2=水速。

（2）两船相向航行的公式：

甲船顺水速度+乙船逆水速度二甲船静水速度+乙船静水速度

（3）两船同向航行的公式:

后（前）船静水速度-前（后）船静水速度二两船距离缩小（拉大）速

度。

（求出两船距离缩小或拉大速度后，再按上面有关的公式去解答题

目）。

【例题精讲】

例1、小王骑车到城里开会，以每小时12千米的速度行驶，2小时可以到

达。车行了15分钟后，发觉遗忘带文件，以原速返回原地，这时他每小

时行多少千米才能按时到达？

解答：

要求小王返回原地后到城里的速度，就必需知道从家到城里的路程和剩下

的时间。依据题意，这两个条件都可以求出。

15分钟J3j、时

从家到城里的路程：12X2=24（千米）

返回后还剩的时间：2-LJX2=1LI（小时）

返回后去城里的速度:24+1口=16（千米/时）

答：他每小时行16千米才能按时到达。

2.相遇问题

距离二速度和火相遇时间；

相遇时间二距离;速度和；

速度和二距离+相遇时间。

例2、如图，从A到B是1千米下坡路，从B到C是3千米平路，从C到

D是2.5千米上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都是6千米/小时，平

路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时。

问：（1）小张和小王分别从A,D同时动身，相向而行，问多少时间后

他们相遇？

（2）相遇后，两人接着向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终

点还有多少千米？

解答：

（1）小张从A到B须要1+6X60=10（分钟）；

小王从D至I」C乜是下坡，须要2.54-6X60=25（分钟）；

当小王到达C点时，小张已在平路上走了25-10=15（分钟），走了

闻

4X口=1（千米）。

因此在B与C之间平路上留下3-1=2（千米）

由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是：2+（4+4）

X60=15（分钟）o

从动身到相遇的时间是25+15=40（分钟）。

（2）相遇后，小王再走30分钟平路，到达B点，从B点到A点须要走

1+2X60二30分钟，即他再走60分钟到达终点。

回

小张走15分钟平路到达D点，45分钟可走：2X0=1.5（千米）

小张离终点还有2.5-25=1（千米）

答：40分钟后小张和小王相遇。小王到达终点时，小张离终点还有1

千米。

3.追与问题

追与距离二速度差X追与时间；

追与时间二追与距离+速度差；

速度差二追与距离♦追与时间。

例3、小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时

从学校开出，沿着同一路途行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，

当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多

少千米？

解答：

先计算，从学校开出，到而包车到达城门用了多少时间。

此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是

6千米/小时,

因此所用时间=9+6=1.5（小时）

小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9

千米，

回

说明小轿车的速度是9+口=54（千米/小时）

面包车速度是54-6=48（千米/小口寸）。

城门离学校的距离是48X1.5=72（千米）。

答：学校到城门的距离是72千米。

4.火车过桥问题

我们在探讨一般的行程问题时，是不考虑汽车等物体的木身长度的，因为

这类物体的长度很小，可以忽视不计。可是假如探讨火车行程问题，因为

车身有肯定的长度，一般一百多米，就不能忽视不计了。火车行程问题中

的距离，一般是要考虑火车长度的。火车通过一个固定的点所用的时间就

是火车行驶车身长度所须要的时间。

（火车长度+桥的长度）土通过时间二火车速度

例4、一条隧道长360米，某列火车从车头入洞到全车进洞用了8秒钟，

从车头入洞到全车出洞共用了20秒钟。这列火车长多少米？

解答：

分析画出示意图：

如图，火车8秒钟行为路程是火车的全长，20秒钟行的路程是隧道长加火

车长。因此，火车行隧道长360米，所用的时间是20-8=12秒钟，即可求

出火车的速度。

火车的速度是360+（20-8）=30（米/秒）。

火车长30X8=240（米）。

答：这列火车长240米。

5.火车相遇、追与问题

错车时间二（甲立身长+乙车身长）小（甲车速度+乙车速度）

超车时间二（甲立身长+乙车身长）+（甲车速度-乙车速度）

例5、客车长182米,每秒行36米。货车长148米，每秒行30米。两车

在平行的轨道上相向而行。从相遇到错车而过需多少时间

解答：

两列火车相向而行，从车头相遇始终到车尾离开，迎面错车而过，两列火

车所行的路程是两列火车车身长度之和，速度是两列火车的速度之和，时

间是：（182+148）+（36+30）=5（秒）

答：从相遇到错车而过需5秒。

6.环形行程问题

封闭环形上的相遇问题：环形周长+速度和二相遇时间

封闭环形上的追与问题：环形周长+速度差二追与时间

例6、小张和小王各以肯定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步。小

王的速度是180米/分。

（1）小张和小王同时从同一地点动身，反向跑步，75秒后两人第一次相

遇，小张的速度是多少米/分？

（2）小张和小王同时从同一点动身，同一方向跑步，小张跑多少圈后才

能第一次追上小王？

解答：

（1）两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程。75秒二1.25分。

小张的速度是500+1.25780=220（米/分）。

（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一

个周长），

因此须要的时间是500+（220-180）=12.5（分）。

220X12.5=500=5.5（圈）°

答：（1）小张的速度是220米/分；（2）小张跑5.5圈后才能追上小王。

7.流水行船问题

流水行船问题比一般的行程问题多了一个水流的影响，因此它有一些

特别的数量关系:

顺水速度二船速+zl（速，逆水速度=船速-水速；

水速二顺水速度-船速，船速二顺水速度-水速；

水速二船速-逆水速度，船速二逆水速度+水速；

船速二（顺水速度+逆水速度）+2,水速二（顺水速度-逆水速度）4-2o

例7、甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8

小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和

水流速度。

解答：

顺水速度：208+8=26（千米/小时）

逆水速度：208+13=16（千米/小时）

船速：（26+16）+2=21（千米/小时）

水速：（26—16）4-2=5（千米/小时）

答：船在静水中的速度为每小时21千米，水流速度每小时5千米。

8.重复相遇问题

例8、两列火车从A城、B城相向而行，第一次相遇在离A地500公里处,

相遇后，两列车接着前进，各自到达目的地后，乂折回。其次次相遇在离

B城300公里处，问A城、B城相距多远？

解答：

如图，两列火车从动身到其次次相遇一共行了三个全程，分别为：第一列

火车从A城到B城；其次列火车从B城到A城；其次列火车从A城动身与

从B城动身的第一列火车在途中相遇。而这三个全程还可以从另外一个角

度考察，第一列火车行500公里时，两列火车共行了一个全程，相遇后,

两车速度依旧不变，所以第一列火车行驶其次个500公里时，两列火车同

样又共行了一个全程；当第一列火车行了第三个500公里，即第一列火车

行驶500X3=1500公里时，两列火车正好共行了三个全程，而这时，两列

火车其次次相遇，由图视察可得，这时第一列火车又折回了300公里，即

第一列火车行驶的1500公里比全程多了300公里，于是，全程即为3X500

—300=1200公里。3X500—300=1200。

答：A城、B城相距1200公里。

习题：

1.小张从甲地到乙地步行须要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地须要

12分钟。他们同时动身，几分钟后两人相遇？

解答：

走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的364-12=3（倍），

因此自行车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑

车走的距离是小张步行走的距离的3倍。假如把甲地乙地之间的距离分成

相等的4段，小王走了3段，小张走了1段，小张花费的时间是36+（3

+1）=9（分钟）。

答：两人在9分钟后相遇。

2.小张从家到公园，原准备每分种走50米。为了提早10分钟到，他把

速度加快，每分钟走75米。问家到公园多远？

解答：

方法1：可以作为“追与问题”处理。

假设另有一人，比小张早10分钟动身.考虑小张以75米/分钟速度去

追逐,

追上所需时间是50X104-（75-50）=20（分钟）

因此，小张走的距离是75X20=1500（米）。

答：从家到公园的距离是1500米。

方法2：

0

小张加快速度后，每走1米，可节约时间（）分钟,

S0

因此家到公园的距离是10+（）=1500（米）。

3.一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追逐。假如速

度是30千米/小时，要1小时才能追上；假如速度是35千米/小时，要40

分钟才能追上。问自行车的速度是多少？

解答:

解法1：

自行车1小时走了30X1-已超前距离，

自行车40分钟走了35X呵;已超前距离，

西

自行车多走20分钟，走了30—35XLJ。

0\01

因此，自行车的速度是：（30—35x|l）+□=（30-LJ）X3=

90-70=20（千米/小时）o

答：自行车速度是20千米/小时。

方法2：

因为追上所需时间=追上距离+速度差

1小时与40分钟是3:2。所以两者的速度差之比是2:3.请看下面示

意图：

立刻可看出前一速度差是15。自行车速度是：35-15=20（千米/

小时）。

4.上午8点8分，小明骑自行车从家里动身，8分钟后，爸爸骑摩托车去

追他，在离家4千米的地方追上了他。然后爸爸马上回家，到家后又马上

回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？

解答：

画一张简洁的示意图：

图上可以看出，从爸爸第一次追上到其次次追上，小明走了8-4=4

（千米）。

而爸爸骑的距离是4+8=12（千米）。

这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12+4=3

（倍）。

依据这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8X3=24（千米）。

但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4+12=16（千米）。少骑行

24-16=8（千米）o

摩托车的速度是1千米/分，爸爸骑行16千米须要16分钟。8+8+

16=32o

答：这时是8点32分。

5.小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时

步行4千米。两人同时动身，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相

遇，求甲、乙两地间的距离。

解答：

画一张示意图

离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半

多1千米，小王走了两地距离的一半少1千米。从动身到相遇，小张比小

王多走了2千米。小张比小王每小时多走（5-4）千米，从动身到相遇所

用的时间是2+（5-4）=2（小时）

因此，甲、乙两地的距离是（5+4）X2=1B（千米）。

6.甲、乙两车分别从A,B两地同时动身，相向而行，6小时后相遇于C

点。假如甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A,B两地

同时动身相向而行，则相遇地点距C点12千米；假如乙车速度不变，甲

车每小时多行5千米，且两车还从A,B两地同时动身相向而行，则用遇

地点距C点16千米。求A,B两地距离。

解答：

先画一张行程示意图如下

设乙加速后与甲相遇于D点，甲加速后与乙相遇于E点。同时动身后的相

遇时间，是由速度和确定的。不论甲加速，还是乙加速，它们的速度和比

原来都增加5千米，因此，不论在D点相遇，还是在E点相遇，所用时间

是一样的，这是解决本题的关键。

下面的考虑重点转向速度差。

在同样的时间内，甲假如加速，就到E点，而不加速，只能到D点。

这两点距离是12+16=28（千米），加速与不加速所形成的速度

差是5千米/小时。

因此，在D点（或E点）相遇所用时间是28+5=5.6（小时）。

比C点相遇少用6-5.6=0.4（小时）。

甲到达D,和到达C点速度是一样的，少用0.4小时，少走12千米，

因此甲的速度是：124-0.4=30（千米/小时）。

同样道理，乙的速度是16+0.4=40（千米/小时）。

A到B距离是（30+40）X6=420（千米）。

答：A,B两地距离是420千米。

7.如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时动身反

向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点其次次相遇，D

点离B点60米.求这个圆的周长。

解答：

第一次相遇，两人合起来走了半个周长；其次次相遇，两个人合起来又走

了一圈。从动身起先算，两个人合起来走了一周半。因此，其次次相遇时

两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，则从A

到D的距离，应当是从A到C距离的3倍，即八至1」9是

80X3=240（米）

240-60=180（米）

180X2=360（米）

答：这个圆的周长是360米。

8.甲村、乙村相距6千米，小张与小王分另J从甲、乙两村同时动身，在

两村之间来回行走（到达另一村后就立刻返回）。在动身后40分钟两人

第一次相遇。小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人其次次相

遇。问小张和小王的速度各是多少？

解答：

画示意图如下：

如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，其次次相遇两人已共

同走了甲、乙两村间距离的3倍，因此所需时间是40X3+60=2（小时）。

从图上可以看出从动身至其次次相遇，小张已走了6X2-2=10（千米）。

小王已走了6+2=8（千米）。

因此，他们的速度分别是

小张10+2=5（千米/小时），

小王84-2=4（千米/小时）。

答：小张和小王的速度分别是5千米/小时和4千米/小时。

9.小张与小王分别从甲、乙两村同时动身，在两村之间来回行走（到达

另一村后就立刻返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村

2千米处其次次相遇。问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指

迎面相遇）？

解答：

画示意图如下：

其次次相遇两人己共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了3.5X3

=10.5（千米）o

从图上可看出，其次次相遇处离乙村2千米。因此，甲、乙两村距离

是10.5-2=8.5（千米）。

每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程。

第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（3+2+2）倍的行程。

其中张走了3.5X7=24.5（千米），24.5=8.5+8.5+7.5（千米）。

就知道第四次相遇处，离乙村8.5-7.5=1（千米）。

答：第四次相遇地点离乙村1千米。

10.绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时动身反向而行。

小王以4千米/小时速度每走1小时后休息5分钟；小张以6千米/小时速

度每走50分钟后休息10分钟。问：两人动身多少时间第一次相遇？

解答：

小张的速度是6千米/小时，50分钟走5千米，我们可以把他们动身后时

间与行程列出下表：

12+15=27比24大，从表上可以看出，他们相遇在动身后2小时10

分至3小时15分之间。

回

动身后2小时10分小张已走了10+6乂口=11（千米），

此时两人相距：24-（8+11）=5（千米）。

由于从今时到相遇已不会再休息，因此共同走完这5千米所需时间是:

5+（4+6）=0.5（小时）。

2小时10分再加上半小时是2小时40分。

答：他们相遇时是动身后2小时40分。

11.一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A,B,

C分别在这3个点上。它们同时动身，按顺时针方向沿着圆周爬行。A的

速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬

虫动身后多少时间第一次到达同一位置？

解答：

先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置。

起先时，它们相差30厘米，每秒钟B能追上C（5-3）厘米。

304-（5-3）=15（秒）。

因此15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置，

B要追上C一圈，也就是追上90厘米，须要90+（5-3）=45（秒）。

B与C到达同一位置,动身后的秒数是15,60,105,150,195,……

再看看A与B什么时候到达同一位置。

第一次是动身后30+（10-5）=6（秒），

以后再要到达同一位置是A追上B一圈。须要904-（10-5）=18（秒），

A与B到达同一位置，动身后的秒数是6,24,42,60,78,96,…