小升初数学下册奥数第01讲计数模块总复习(学生版+解析)

第1讲计数模块总复习

六年级春季

，本讲概述

枚举法、标数法、加乘原理及数字问题、排列组合、图形表格计数问题、几何计数

上眩经典模块

一、枚举法：

1、小明决定去香山、颐和园、圆明园这三个景点旅游.要走遍这三个景点，他一共有

.一种不同的游览顺序.

2、小黄人每个50元，功夫熊猫每个200元.冬冬一共有600元，如果把这些钱全部用来

买玩具，一共有多少种不司的买法？

3、有15个玻璃球，要把它们分成两堆，一共有种不同的分法.这两堆球的个

数可能相差个.

4、妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止.如果天数不限，可能的吃法一共有多

少种？

5、在所有三位数中，各位数字之和不超过4的共有个.

二、标数法

6、一只甲虫沿着下图,中的方格线从A爬到用每次只能向右爬一格或向上爬一格.

（1）这只甲虫可以选择条不同的路线;

（2）图中C点无法通过，那么这只甲虫可以选择条不同的路线;

（3）图中C点必须通过，那么这只甲虫可以选择条不同的路线.

7、（2011年金帆六秋）若按着如图的筋头所示的方向沿着街道走，那么从A点到J点的不

同路线有条（此题无图）.

8、如图，从A地沿网络线走到8地，规定只能朝右或朝上走，如果每次可以走一步或两步,

共有种不同的走法.

B

A

三、加乘原理及数字问题

9、爸爸、妈妈带小高去吃西餐.餐厅里有米饭和面条2种主食，烤牛排、烤羊排和烤鸡排

3种主菜，奶油蘑菇汤1种汤，以及蛋糕和布丁2种甜点.如果小高想要点1种主食用1种

主菜，汤和甜点可点可不点，而且种类不限.请问：小高一共有多少种点菜方法？

10、从1,2,3,……，9,10中选出三个数，使得其中有且仅有两个数相邻，则不同的取

法共有多少种？

11、一些数字问题：

(1)0、1、2、3、4可以组成个没有重复数字的三位数.

(2)1个0、1个1、2个2、。2个3能组成个不同的六位数.

(3)0-6共七个数字，可以组成很多没有重发数字的四位数，3102是从小到大数的第

_________个.

(4)1000-9999中含有数字5的自然数个.

12、从1~20中选出两个数，和是5的倍数，一种多少种选法？

13、从1~20中选出两个数，乘积是9的倍数，一共种选法.

14、银行ATM机取款时需要输入银行卡密码后才能进入下一步操作，密码是000000到

999999中某一个六位数伍.小勇取钱时忘记了密码，只记得密码中有1、3、5、7、9并且

没有别的数字.如果不限制输错密码的次数，他至少输入次密码才能保证进入下

一步.

15、在所有的三位数中，能够被9整除，而目.三个数字恰好能构成等差数列(可以改变顺

序，如567、756)的共有个.

四、排列组合

16、计算：(1):(21)6=；(3)4=；

(4)C；+C；+C；+C；+C；+C；=.

17、用0、1、2、3、4这五个数字能组成个没有重复数字的四位偶数.

18、有甲、乙、丙、丁四人过河“河上有一条小船，每次只能坐两个人，这样每次就必须

有一人把船划回来接剩下的人.那么四人过河有方式.

五、图形表格计数问题

19、将1、2、3、4、5这五个数字填入下面的五个方格中，使得阴影方格中填入的数大于

相邻方格中的数，共有种填法.

20、从1~9选出7个数字分别填入图中7个圆圈中，使得每条线段两端点处所填的数：上

面比下面的大，那么符合要求的共种..

21、如图，一个6x6的方格表，现将数字卜6填入空白方格中，使得每一行、每一列中,

卜6都恰好出现一次.图中已经填好了一些数字，那么剩余空格共有多少种满足要求的填

六、几何计数

22、图中共有人长方.形.

23、在一个平面上画3个三角形、I个圆、1条直线，最多可以把平面分成个部

分.

进门考

1、一个三位小数四舍五人到百分位是0.70,这些小数中最小的是

2、1与士3的差加上0.8与1上的商，所得的和是_________.

55

3、两个自然数的倒数的和是口，这两个自然数中较小的是__________.

24

5、甲乙两人加工一批零件，甲加工零件个数的三3，等于乙加工个数的3士，加工零件

45

个数多.

6、能同时被2、3、5整除的最小四位数是.

7、一种商品提价10%后，再按新的价格降低10%出售，这时的价格与原来的相比，价格是

了(填“提高”或者“降低”).

8、一个直径是几百米的大圆，把这个圆的直径增加1米后，周长会增加—,米5取

3.14).

9、一张长方形的纸长15厘米，宽8厘米，在这张长方形之中做一个最大的圆，这个圆的

面枳是平方厘米伏取3.14).

59

10、.一个数的2比《除45的商少15,求这个数是

77

课后作业

1、计算：c；=

2、计算：湍=

3、计算：《+C；+C；+C；=

4、5个人中选出2人一起去买麦当劳，一共有种不同的选择方法.

5.5个人选出2人分别去买麦当劳和肯德基，一共有.种不同的选杼方法.

6、从3名男生和2名女生中选出两人参加数学竞赛，至少有1名女生参加，共有

种不同的选法.

7、4个数字1、2、3、4可以组成.个没有重兔数字的四位数.

8、（2012迎春杯高年级组复赛）如下图所示，广场中央有一座漂亮的喷泉，小明从A点出

发，沿喷泉周围的小路不重复地绕喷泉走一周，最终回到A点的走法共有科.（图

中的两个.圆及两圆之间的线段均表示小路，绕喷泉•周指小明行走路线为封闭路线且喷泉

在此路线内部）.

9、0、2、3、4可以组成;L个没有重复数字的三位数？

10、从1~10中选出两个数的和是3的倍数，一共有多少种选法?

11、袋子里有4个红球和3个绿球，从中任取两个球，都是红球的概率是多少？

第1讲计数模块总复习

六年级春季

颂本讲概述

枚举法、标数法、加乘原理及数字问题、排列组合、图形表格计数问题、几何计数

经典模块

七、枚举法:

1、小明决定去香山、颐和园、圆明园这三个景点旅游.要走遍这三个景点，他一共有

种不同的游览顺序.

【答案】

6种

【解析】

小明游览这三个旅游景点共有6种不同路线，如卜.图所示:

2、小黄人每个50元，功夫熊猫每个200元.冬冬一共有600元，如果把这些钱全部用来

买玩具，一共有多少种不同的买法？

【答案】

4种

【解析】

我们不防设小黄人工个，功夫熊猫），个，则可得方程501+200），=600.

解这个方程得["%或或广或广=0

y=0[y=1[y=2[y=3

综上所述，一共有4种不同的买法.

3、有15个玻璃球，要把它们分成两堆，一共有种不同的分法.这两堆球的个

数可能相差__________个.

【答案】

7种；可能相差13,11,9,7,5,3,1个

【解析】

两堆玻璃球没有次序之分，但这两堆玻璃球中一定有一堆较多而另一堆较少，或者两堆一样

多（实际上不会出现两堆一样多的情况，因为玻璃球总数15是奇数）.此时较少的一堆中至

少有1个球，至多有7个球，,我们根据两堆之和有15个球列出下表，从表格中看出，一共

有7种分球的方法，两堆中球的个数可能相差14-1=13个，13-2=11个，12-3=9个，

11-4=7个，10—5=5个，9-6=3个，8—7=1个.

较少一堆的球数1234567

r

较多一堆的球数141312111098

4、妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止.如果天数不限，可能的吃法一共有多

少种？

【答案】

8种

【解析】

7个鸡蛋，每天至少吃2个，所以肯定在1~3天的时间范围里吃完.

如果1天吃完，那只有1种可能：第一天吃了全部7个鸡蛋；

如果2天吃完，那么第一天可以吃2个、3个、4个或5个鸡蛋，第二天把剩下的吃完，也

就是分别吃5、4、3、2个，一共有4种情况；

如果3天吃完，那么每天至少吃2个，3天至少吃6个，还多余个，可以放在3天中的随

便哪一天吃，所以一共有3种情况：2、2、3：2、3、2；3、2、2.

，全部可能的吃法一共有I+4+3=8种.

5、在所有三位数中，各位数字之和不超过4的共有个.

【答案】

20

【解析】

按照从小到大的顺序枚举如下：100、101、102、103、110、111、112、120、⑵、130、200、

201、202、210、211、220、300、301、310、400.

八、标数法

6、一只甲虫沿着下图中的方格线从A爬到以每次只能向右爬一格或向上爬一格.

(i)这只甲虫可以选择条不同的路线；

(2)图中C点无法,通过，那么这只甲虫可以选择条不同的路线;

(3)图中C点必须通过，那么这只甲虫可以选择______一条不同的路线.

【答案】

(I)126(2)60(3)66

【解析】

(I)从4到B有9步，5步右，4步上，有C；=126种走法.

图中路线问题也可以采用标数法，如图.

515357)126〃

410203556

3C6101521

23456

11111

A----------►

(2)本题我们把过程分成AC、C8这两步，应用乘法原理.从4到C有4步，2步右，2

步上，有C：=6种走法.从C到8有5步，3步右，2步上，有C；=IO种走法.所以一共有

6x10=60种走法.

图中路线问题也可以采用标数法，如图.

（3）根据第（1）、（2）问，我们可用排除法，确定不经过C的走法一共有126-60=66种.

图中路线问题也可以采用标数法，如图.

7、（2011年金帆六秋）若按着如图的箭头所示的方向沿着街道走，那么从4点到4点的不

同路线有条（此题无图）.

【解析】

821

由加法原理，A点到各点的走法数如图所示，从4点到J点有55种走法.

8、如图，从4地沿网络线走到8地，规定只能朝右或朝上走，如果每次可以走一步或两步,

共有种不同的走法.

【答案】

207

九、加乘原理及数字问题

9、爸爸、妈妈带小高去吃西餐.餐厅里有米饭和面条2种主食，烤牛排、烤羊排和烤鸡排

3种主菜，奶油蘑菇汤1种汤，以及蛋糕和布丁2种甜点.如果小高想要点1种主食和1种

主菜，汤和甜点可点可不点，而且种类不限.请问：小高一共有多少种点菜方法？

【答案】

48种

【解析】

小高可点的菜分成四种：主食，主菜，汤，甜点，这四种菜之间是搭配的关系.

第一步，挑选主食.，餐厅里有米饭和面条这2种主食，必须从中选择一种，有2种选择方

法.第二步，挑选主菜.餐厅里有3种主菜，必须从中选择一种，有3种选择方法.第三步，

挑选汤.汤类虽然只有1种，但是可以点也可以不点，点与不点这恰好是2种选择方法.

第四步，挑选甜点.甜点有2种，既可以两个都选，又可以只选其一，还可以两个都不选.那

么甜点的选择有4种方法：蛋糕和布丁都点，二者都不点，只点蛋糕，只点布丁.

主食主菜汤甜点

III!

2x3x2x4=48

根据乘法原理，得小高一共有2x3x2x4=48种点菜方法.

10、从1，2,3,……，9,10中选出三个数，使得其中有且仅有两个数相邻，则不同的取

法共有多少种？

【答案】

56

【解析】

I、2相邻，共7种；2、3相邻，共6种；3、4相邻，共6种；……8、9相邻，共6种；9、

10相邻，共7种.综上所述，共56种.

我们可以利用插空法和乘法原理，共有C；x2=56种.

我们也可以用排除法解决，从10个数中任意选3个数共有配=12()种，其中任意两个数都

不相邻的有C=S6利、二个数都相邻的有C=X种.所以有且仅有两个数相邻的取法有

120-56-8=56

11、一些数字问题：

(1)0、1、2、3、4可以组成个没有重复数字的三位数.

(2)1个0、1个1、2个2、2个3能组成个不同的六位数.

(3)0~6共七个数字，可以组成很多没有重夏数字的四位数，3102是从小到大数的第

_________个.

（4）10（30-9999中含有数字5的自然数个.

【答案】

（1）48（2）150（3）261（4）3168

【解析】

（I）利用乘法原理，首位数字不能为0,共有4x4x3=48个没有重发数字的三位数.

（2）因为首位数字不能为0,所以先排1个0,共有CxCxC：=150个不同的六位数.

（3）千位数字分别是1和2时，都比3012小，这样的四位数共有£x2=240个.当千位

数字是3,百位数字是。时，也比3102小，这样的四位数有&=20个.所以3102是从小

到大的第240+20+1=261个数.

<4）利用排除法，不含数字5的四位数有8x9*9x9-5832个，所以含有数字5的自然数

有9000-5832=3168个.

12、从1~2（）中选出两个数，和是5的倍数，一种多少种选法？

【答案】

38

【解析】

1〜20除以5的余数为0、1、2、3、4的各有4个，两数之和是5的倍数，这两个数除以5

的余数有这三类情况：（1）余数都是0,C：=6种;（2）一个余数是1，一个余数是4,C：xC：=16

种：（3）一个余数,是2,一个余数是3,C：xC：=16种.所以总共6+16+16=38种.

13、从卜20中选出两个数，乘积是9的倍数，一共种选法.

【答案】

43

【解析】

1~20中3的倍数有6个（其中9的倍数有2个），那么乘积是9的话，可以选一个9的倍

数和一个非三的倍数C；xC\=28,或者两个3的倍数C：=15,则总共28+15=43种.

14、银行ATM机取款时需要输入银行卡密码后才能进入下一步操作，密码是000000到

999999中某一个六位数码.小勇取钱时忘记了密码，只记得密码中有1、3、5、7、9并且

没有别的数字.如果不限制输错密码的次数，他至少输入次密码才能保证进入下

一步.

【答案】

1800

【解析】

首先选出一个重复数字，共5种方法，然后排列，共有父=360种方法，共有5x360=18(X)

种.

15、在所有的三位数中，能够被9整除，而且三个数字恰好能构成等差数列(可以改变顺

序，如567、756)的共有个.

【答案】

37

【解析】

枚举法

三个数字的和为中间数的3倍・，所以三个数的中间数只能是3或6或9,以数字3为中间数

的数组为(036),(1,3,5),(234),(3,3,3),共能组成17个不同的三位数.同理，可算出

中间数字是6、9的情况下分别有19个和1个符合要求的三位数，最终一共算得37个.

十、排列组合

16、计算：(1)=；(2)弋=；(3)；

(4)C；+C；+C；+C；+C；+C：=.

【答案】

(1)20(2)120(3)45(4)32

【解析】

(I)C；=W+A；=(6x5x4)+(3x2xl)=20：

(2).=6x5x4=120；

(3)GL；=(10X9)+(2X1)=4S：

(4)以+C；+C；+C；+《+C=25=32.

17、用0、1、2、3、4这五个数字能组成个没有重复数字的四位偶数.

【答案】

60

【解析】

四位偶数按照末位是0和不是0分为两类：

末位是。时，另位三位从川个数字中选择有A；=24种；

末位是2或4时，千位有3种选择，百位和十位从余下三个数字中选择有A；=6利I共

2x3x6=36种.

综上所述，一共有24+36=60个没有重复数字的四位偶数..

18、有甲、乙、丙、丁四人过河，河上有一条小船，每次只能坐两个人，这样每次就必须

有一人把船划回来接剩下的人.那么四人过河有方式.

【答案】

108

【解析】

先四人中选两人过，然后两人中一人回来；然后三人中选两人过，之后对岸三人中一人回来；

最后两人过去.所以总共有C：xC；xC；xC；XC；=6x2x3x3x1=108.

十一、图形表格计数问题

19、将1、2、3、4、5这五个数字填入下面的五个方格中，使得阴影方格中填入的数大于

相邻方格中的数，共有种填法.

【答案】

16

【解析】

加乘原理.

当黑格填4、5时，黑.格芍2种填法，白格有6种填法；当黑格填3、5时，黑格有2种填

法，（黑格确定后）白格也有2种填法.所以共有2x6+2x2=16.

20、从1~9选出7个数字分别填入图中7个圆圈中，使得每条线段两端点处所填的数，上

面比下面的，大，那么符合要求的共种.

【答案】

2880

【解析】

从1~9中选出7个数字有C：=36种，7个数字选好之后（可以拿个例子来说，比如l~7）,I

填在最下面，从2~7这6个中选3个填在右边，有C；种选法，这时左边的3个数和右边的

3个数各有2种填法.所以一共有CC：xC；x2x2=2880.

21、如图，一个6x6的方格表，现将数字1~6填入空白方格中，使得每一行、每一列中,

1~6都恰好出现一次.图中已经填好了一些数字，那么剩余空格共有多少种满足要求的填

法？

123456

25

34

43

52

654321

【答案】

16

【解析】

中间2x2的方格中只能填2和5,旁边的斜线只能填1和6,四个角的空白部分只能•填3和

4.分别填：

3和4共2种填法；2和5共2种填法；1和6共4种填法.所以共2x2x4=16种填法.

十二、几何计数

22、图中共有个长方形.

【答案】

153

【解析】

图1中正方形数量二图2中正方形数量+图3中正方形数量一图4中正方形数量.

+C^xCj-C；xC；=6x21+15x3—6x3=153.

23、在一个平面上画3个三角形、1个圆、1条直线，最多可以把平面分成个部

分.

【答案】

46

【解析】

先画直线，把平面分成2个部分，再依次画3个三角形和1个圆，每个图形分别新增2、

2+6=8、2+6+6=14、2+6+6+6=20个交点，交点数与新增段数相同，每段可以增加

一个部分，所以一共有2-2+8+14+20=46个部分.

进门考

1、一个三位小数四舍五入到百分位是0.70,这些小数中最小的是.

【答案】

0.695

【解析】

根据四舍五入，最小的三位小数且四舍五入到百分位是0.70,则这个数最小是0.695.

2、1与士3的差加上0.8与I上的商，所得的和是__________.

55

【答案】

4-

5

【解析】

312

1一一+0.8—=4一.

555

3、两个自然数的倒数的和是U,这两个自然数中较小的是.

3

3+811

+

LL-=--所以这两个自然数中较小的是

243X8383.

1111

4、-+-+-+—+—=

2481632

【答案】

31

32

【解析】

248163223232

5、甲乙两人加工一批零件，甲加工零件个数的士，等于.乙加工个数的士，______加工零件

45

个数多.

【答案】

乙

【解析】

甲、乙加工零件的个数比是4:5,所以乙加工零件个数多.

6、能同时被2、3、5整除的最小四位数是.

【答案】

1020

【解析】

[2,3,5]=30,所以能整」除2、3、5整除的最小四位数是1020.

7、一种商品提价10%后，再按新的价格降低10%出售，这时的价格与原来的相比，价格是

了(填“提高”或者“降低”).

【答案】

降低

【解析】

假设商品原价是“1”,提价10%后是“1.1”,再降低10%为1.1X(1-10%)=0.99.因为1>0.99,

所以这时的价格与原来的相比，价格是降低了.

8、一个直径是几百米的大圆，把这个圆的直径增加1米后，周长会增加米供取

3.14).

【答案】

3.14

【解析】

设原来大圆的直径是d,根据圆的周长公式可得，它们的周长差是

3.14x(d+l)—3.14xd=3.14米，即周长增力口3.14米.

9、一张长方形的纸长15厘米，宽8厘米，在这张长方形之中做一个最大的圆，这个圆的

面积是平方厘米伏取3/4）.

【答案】

50.24

【解折】

长方形的宽是8厘米,所以圆的直径最大是8厘米，此时圆的面积是3.14x（8xg）=50.24平

方厘米.

10、一个数的』比£除45的商少15,求这个数是.

77

【答案】

28

【解析】