2025-2026学年湖南衡阳市衡州高级中学高一下册二调考试数学试题 含解析

/数学第Ⅰ卷（选择题58分）一、单选题（每题5分，共计40分）1.在复平面内，复数，则（）A. B. C. D.2.已知，．若，则（）A. B. C. D.63.如图，在平行四边形中，E为的中点，则（）A. B. C. D.4.用斜二测画法画一个边长为4的正三角形的直观图，则直观图的面积是（）A. B. C. D.5.已知复数满足，则的虚部为（）A. B. C.1 D.26.圆台的上下底面半径为2和3，圆台的高为，则圆台的体积为（）A. B. C. D.7.在中，，则（）A. B. C. D.8.已知圆锥的体积为，侧面积是底面积的3倍，则其底面圆的半径为（）A. B.2 C. D.二、多选题（每题6分，部分选对得部分分，选错得零分，共计18分）9.已知复数，，则（）A.是纯虚数 B.在复平面内对应的点位于第二象限C. D.10.已知平面向量、、，下列四个命题不正确的是（）A.若，则 B.单位向量都相等C.方向相反的两个非零向量一定共线 D.若，满足，且与同向，则11.已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（）A.B.当为中线时，C.当为高线时，D.当为角平分线时，第Ⅱ卷（非选择题92分）三、填空题（每题5分，共计15分）12.已知向量，若，则_____．13.如图，在正方体的所有棱所在直线中，与直线异面的共有____________条．14.在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是___________．四、解答题（15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分，共计77分）15.已知复数，求满足下列条件的实数的值：（1）为实数；（2）为纯虚数；（3）在复平面内对应的点位于第三象限．16.在中，内角所对的边分别为，，，已知已知.（1）求角的大小；（2）若，，求的值；（3）若，判断的形状．17.已知平面向量，，，且，（1）求在方向上的投影向量；（2）求与的夹角.18.如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．（1）求圆柱的侧面积和体积；（2）若，是的中点，点在线段上，求的最小值．19.在中，角所对的边分别为，且．（1）求的值；（2）已知．（i）若的外接圆半径为，，求的值；（ii）求的值．数学第Ⅰ卷（选择题58分）一、单选题（每题5分，共计40分）1.在复平面内，复数，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由共轭复数定义即可得.解答过程：由，则.2.已知，．若，则（）A. B. C. D.6答案：B解析：思路：根据平行向量坐标关系计算求解.解答过程：因为，且，则，即.3.如图，在平行四边形中，E为的中点，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：E为的中点，，是平行四边形，，.4.用斜二测画法画一个边长为4的正三角形的直观图，则直观图的面积是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先根据直观图画法得底不变，再研究高，最后根据三角形面积公式求结果.解答过程：根据斜二测画法的特征，可得底不变，为4，高为，所以直观图的面积是.故选：A5.已知复数满足，则的虚部为（）A. B. C.1 D.2答案：A解析：解答过程：，，故的虚部为.6.圆台的上下底面半径为2和3，圆台的高为，则圆台的体积为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：根据给定条件，利用圆台的体积公式计算得解.思路：圆台的体积为.故选：D7.在中，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由余弦定理计算即可求解.解答过程：在中，；由余弦定理，解得，即.故选：8.已知圆锥的体积为，侧面积是底面积的3倍，则其底面圆的半径为（）A. B.2 C. D.答案：A解析：思路：设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，然后根据题意列方程组，从而可求得结果．解答过程：设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，因为圆锥的体积是，其侧面积是底面积的3倍，所以即，解得．二、多选题（每题6分，部分选对得部分分，选错得零分，共计18分）9.已知复数，，则（）A.是纯虚数 B.在复平面内对应的点位于第二象限C. D.答案：AC解析：思路：根据复数的概念可判定A，利用复数的除法运算及几何意义可判定B，根据共轭复数的定义可判定C，利用复数的模长公式可判定D.解答过程：因为是纯虚数，所以A正确；因为，所以在复平面内对应的点位于第三象限，故B不正确；因为的共轭复数为，所以C正确；因为，所以D不正确．故选：AC10.已知平面向量、、，下列四个命题不正确的是（）A.若，则 B.单位向量都相等C.方向相反的两个非零向量一定共线 D.若，满足，且与同向，则答案：BD解析：思路：根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.解答过程：对于A，若，则，故A正确；对于B，单位向量的模为，但是方向不一定相同，故B错误；对于C，方向相同或相反的两个非零向量为共线向量，故C正确；对于D，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故D错误；故选：BD11.已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（）A.B.当为中线时，C.当为高线时，D.当为角平分线时，答案：ABD解析：思路：利用以及正弦定理可求，判断A；利用剩余两个条件可求，再利用余弦定理求出，利用判断B；利用等面积判断C；利用判断D.解答过程：由以及正弦定理可得，，得，故A正确；因为的面积为，所以，即，因为，所以，因为，所以，则，则，在中利用余弦定理可得，，则，当为中线时，，则，即，得，故B正确；当为高线时，，得，故C错误；当为角平分线时，则，由，得，则，故D正确.故选：ABD第Ⅱ卷（非选择题92分）三、填空题（每题5分，共计15分）12.已知向量，若，则_____．答案：2解析：解答过程：由题意得，，解得．13.如图，在正方体的所有棱所在直线中，与直线异面的共有____________条．答案：6解析：思路：根据异面直线定义分别列举即可求得答案.解答过程：与直线有公共点的棱均与直线不异面，有共6条，与直线异面的棱有，共6条.故614.在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是___________．答案：解析：思路：根据给定条件，利用复数的几何意义，结合相等向量的意义求解.解答过程：由点A，B，C对应的复数分别为，，，得，则，设，则，由，得，则，解得，所以点D表示的复数为.故四、解答题（15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分，共计77分）15.已知复数，求满足下列条件的实数的值：（1）为实数；（2）为纯虚数；（3）在复平面内对应的点位于第三象限．答案：（1）或（2）（3）解析：思路：根据复数的概念以及几何意义，建立方程与不等式，可得答案.（1）由题意，得，解得或．（2）由题意，得解得．（3）由，解得，所以．16.在中，内角所对的边分别为，，，已知已知.（1）求角的大小；（2）若，，求的值；（3）若，判断的形状．答案：（1）；（2）；（3）正三角形．解析：思路：（1）利用余弦定理求出的大小作答.（2）代入给定等式计算作答.（3）根据已知条件可得，再结合（1）确定三角形的形状作答.（1）在中，由及余弦定理得，而，所以.（2）由，及，得，所以.（3）由及，得，则，由（1）知，所以为正三角形.17.已知平面向量，，，且，（1）求在方向上的投影向量；（2）求与的夹角.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据向量平行及垂直的坐标表示及投影向量的定义可得；（2）根据向量的坐标运算分别求得与的坐标，利用向量数量积的定义及其坐标表示求得与夹角的余弦值，即可求得与的夹角.（1），，解得..，，..，.所以在方向上的投影向量为．（2）由（1）知，，，，，.设，的夹角为，则.，即向量与向量的夹角为．18.如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．（1）求圆柱的侧面积和体积；（2）若，是的中点，点在线段上，求的最小值．答案：（1），；（2）.解析：思路：（1）根据圆柱的侧面积和体积公式直接计算即可；（2）将三角形旋转到，使得和轴截面共面，根据三点共线时，取得最小值即可求解.（1）由题知，底面半径为2，母线长为4，所以圆柱的侧面面积，圆柱的体积.（2）记底面圆心为O，连接，因为底面半径为2，，将三角形旋转到，使得和轴截面共面，如图：则，当三点共线时，取得最小值.19.在中，角所对的边分别为，且．（1）求的值；（2）已知．（i）若的外接圆半径为，，求的值；（ii）求的值．答案：（1）（2）（i），；（ii）