2025-2026学年吉林省吉林市第二中学高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学第Ⅰ卷说明：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；2、满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的运算结果等于（）A.720 B.70 C.120 D.1072.从5人中选出4人分别到吉林、沈阳、大连、哈尔滨四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去沈阳游览，则不同的选择方案共有（）A.48种 B.72种 C.96种 D.120种3.若函数在上可导，其导函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A.函数有极大值，无极小值 B.函数有极小值，无极大值C.函数有极大值和极小值 D.函数有极大值和极小值4.函数的单调减区间是（）A. B. C. D.5.若函数，则（）A. B.0 C.1 D.26.某校男女生人数之比为9：11，其中男生近视率为0.4，女生近视率为0.6，则该校学生的近视率为（）A. B. C. D.7.已知函数在处有极小值，则（）A. B. C.或 D.或8.若定义在区间D上的函数，，都有成立，则称为区间D上的“M函数”，若是区间上的“M函数”，则a的最小值为（）A. B. C. D.0二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列式子求导正确的是（）A. B.C. D.10.已知函数，则（）A.在单调递增B.有两个零点C.曲线在点处切线的斜率为0D.是偶函数11.下列说法正确的是（）A.某街道只有4个不同的邮筒，现将5封信投入邮筒寄走，共有种投法B.7个人计划同时去A，B，C，D四个城市旅游，有一个城市去1个人，其余城市各去2个人，则不同的旅行方案共有2520种C.从6名男生和4名女生中选4人参加比赛，若4人中必须既有男生又有女生，共有194种选法D.把5个不同颜色的小球投入4个不同的盒子里，每个盒子至少投1个球，不同的投法共有240种第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.展开式中的常数项为_____．（用数字作答）13.函数在上是增函数，则的取值范围是______．14.从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，在至少有一个为奇数的条件下，这两个数为一奇一偶的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.7名同学站成一排照相，求满足下列条件的排法数：（用数字作答）（1）甲乙两人都不站在排头．（2）甲不站在排头且乙不站在排尾．（3）甲与乙相邻，且都不与丙相邻．16.已知函数在处取得极值为.（1）求，的值；（2）求在点处的切线方程.17.已知．（1）求的值．（2）求的值．（3）求的值．18.一个不透明的袋子中有8个大小和形状完全一致的小球，其中标记数字1，2的小球各有3个，标记数字3的小球有2个，一次性从袋子中随机摸出3个小球．（1）求摸出的小球中，没有标记数字3的小球的概率；（2）记摸出的小球上标记的最大数字为X，求X的分布列及数学期望．19.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围．（3）对任意，恒成立，求的取值范围．

数学第Ⅰ卷说明：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；2、满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的运算结果等于（）A.720 B.70 C.120 D.107答案：C解析：解答过程.2.从5人中选出4人分别到吉林、沈阳、大连、哈尔滨四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去沈阳游览，则不同的选择方案共有（）A.48种 B.72种 C.96种 D.120种答案：B解析：思路：先确定去沈阳游览的人，再确定剩下三个城市游览的人，即可求解．解答过程：先从除甲、乙两人之外的3人中选1人去沈阳游览，共有种，再从剩余4人中选3人到其他三个城市游览，共有种，所以不同的选择方案共有种．故选：B3.若函数在上可导，其导函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A.函数有极大值，无极小值 B.函数有极小值，无极大值C.函数有极大值和极小值 D.函数有极大值和极小值答案：C解析：思路：先根据图像分析出导函数的增减区间，进而分析出极值即可选出答案.解答过程：由函数的图象可得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以函数有极大值，和极小值，C正确.4.函数的单调减区间是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：对函数求导，令导函数为负，求解不等式即可确定函数的单调减区间.解答过程：因为函数，求导得，令，因此，函数的单调减区间是，故A正确.5.若函数，则（）A. B.0 C.1 D.2答案：C解析：解答过程：因为，所以，则，解得.6.某校男女生人数之比为9：11，其中男生近视率为0.4，女生近视率为0.6，则该校学生的近视率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据全概率的公式进行求解即可.解答过程：设该校总学生人数为，则根据题意得.故选：D.7.已知函数在处有极小值，则（）A. B. C.或 D.或答案：A解析：解答过程：由题意得，由题可知，解得或．当时，，当时，或，当时，，即在和上单调递增，在上单调递减.此时在处取得极大值，不符合题意；当时，，当时，或，当时，，即在和上单调递增，在上单调递减.，此时在处取得极小值，符合题意.8.若定义在区间D上的函数，，都有成立，则称为区间D上的“M函数”，若是区间上的“M函数”，则a的最小值为（）A. B. C. D.0答案：A解析：思路：根据函数新定义推得在区间上恒成立，设，求导判断其单调性求出其最大值即得a的最小值.解答过程：因是区间上的“M函数”，则在区间上恒成立，即在区间上恒成立，设，则，当时，，当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减，则在时取得极大值，也是最大值，故a的最小值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列式子求导正确的是（）A. B.C. D.答案：AD解析：解答过程：，所以A正确；是常数，所以，所以B不正确；，所以C不正确；，所以D正确.10.已知函数，则（）A.在单调递增B.有两个零点C.曲线在点处切线的斜率为0D.是偶函数答案：AC解析：思路：通过对函数求导，即可得出结论.解答过程：由题意，，在中，，∴当时，，∴曲线在点处切线的斜率为，C正确；A项，当时，，故在单调递增，A正确；B项，当时，，当时，，所以只有0一个零点，B错误；D项，函数的定义域为，不关于原点对称，∴不是偶函数，D错误.故选：AC.11.下列说法正确的是（）A.某街道只有4个不同的邮筒，现将5封信投入邮筒寄走，共有种投法B.7个人计划同时去A，B，C，D四个城市旅游，有一个城市去1个人，其余城市各去2个人，则不同的旅行方案共有2520种C.从6名男生和4名女生中选4人参加比赛，若4人中必须既有男生又有女生，共有194种选法D.把5个不同颜色的小球投入4个不同的盒子里，每个盒子至少投1个球，不同的投法共有240种答案：BCD解析：思路：对于A，只需考虑依次将5封信投入4个不同的邮筒即得；对于B，先确定去1个人的城市和那个人，再进行部分平均分组，最后全排即得；对于C，用方法总数减去对立事件方法数即得；对于D，可采用先分组分配再全排的方法即可.解答过程：对于A，将5封信投入4个不同的邮筒，每封信都有4种选择，故投法有种，故A错误；对于B，依题意，可在7个人中确定1个人，在A，B，C，D四个城市中确定1个城市，再将剩下的6个人平均分成3组，在剩下的3个城市进行全排，故不同的旅行方案共有种，故B正确；对于C，由题意，可考虑其对立事件，即4人中全是男生或者全是女生，有种选法，而从6名男生和4名女生中选出4人的方法数有种，故4人中必须既有男生又有女生的方法数为种，故C正确；对于D，依题意，应先将5个不同颜色的小球按照分组，再投入4个不同的盒子，故不同的投法有种，故D正确.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.展开式中的常数项为_____．（用数字作答）答案：解析：思路：根据题意，求得二项展开式的通项，结合通项，进而求得展开式中的常数项.解答过程：由二项式展开式的通项为，令，可得，故展开式中的常数项为．13.函数在上是增函数，则的取值范围是______．答案：解析：思路：根据条件得在上恒成立，利用二次函数的性质，即可求解.解答过程：因为，则，由题知在上恒成立，所以，解得，所以的取值范围是.14.从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，在至少有一个为奇数的条件下，这两个数为一奇一偶的概率为______．答案：解析：思路：利用条件概率公式计算即可.解答过程：设选取两个不同的数，其中至少有一个为奇数为事件，这两个数为一奇一偶为事件，则，，则在至少有一个为奇数的条件下，这两个数为一奇一偶的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.7名同学站成一排照相，求满足下列条件的排法数：（用数字作答）（1）甲乙两人都不站在排头．（2）甲不站在排头且乙不站在排尾．（3）甲与乙相邻，且都不与丙相邻．答案：（1）（2）3720（3）960解析：思路：（1）根据特殊位置优先法先安排甲和乙，再考虑其他同学即可；（2）依题意将情况分成“甲站在排尾”或“甲不站在排头且不站在排尾”两类情况，先考虑甲与乙的站位，再排其他同学即可；（3）利用相邻元素“捆绑法”与不相邻元素“插空法”即可求得.（1）依题意，只需在除了排头外的6个位置中选2个给甲和乙，然后让另外5人在剩下的5个位置上进行全排，则排法数为种；（2）将情况分成两类：①甲站在排尾，有种排法；②甲不站在排头且不站在排尾，则先在中间5个位置选1个给甲，然后在除去甲的站位与排尾两个站位外的5个位置选1个给乙，最后让另外5人在剩下的5个位置上进行全排，故有种排法.由分类加法计数原理，可得排法数为种；（3）先将甲与乙“捆绑”，考虑内部排序，再将这个大元素与丙在另外4人留下的5个空位上进行排列，最后让这4人在预留的4个位置上进行全排，故有种排法.16.已知函数在处取得极值为.（1）求，的值；（2）求在点处的切线方程.答案：（1）（2）解析：思路：（1）求导后结合极值定义计算即可得；（2）利用导数的几何意义计算即可得.（1），依题意，，，解得；检验：当时，，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故是该函数的极值点，符合题意，故；（2），，，，故切线方程为：，整理得.17.已知．（1）求的值．（2）求的值．（3）求的值．答案：（1）（2）0（3）12解析：思路：（1）根据二项展开式的结构即求的系数；（2）分别对二项式赋值，联立两式，计算即得；（3）对二项展开式两边求导，再代值计算即得.（1）由题意，可知为展开式中的系数，即，故；（2）在中，令，得；再令，可得，两式相减，得；（3）由两边求导，可得，令，得.18.一个不透明的袋子中有8个大小和形状完全一致的小球，其中标记数字1，2的小球各有3个，标记数字3的小球有2个，一次性从袋子中随机摸出3个小球．（1）求摸出的小球中，没有标记数字3的小球的概率；（2）记摸出的小球上标记的最大数字为X，求X的分布列及数学期望．答案：（1）（2）解析：123思路：（1）利用古典概型概率公式与组合数公式计算即得；（2）首先确定的所有可能取值，然后分别计算取每个值时的概率，根据计算结果列出分布列，并计算出数学期望即可.（1）在8个小球中，有2个标记数字为3的小球.则摸出的3个小球中没有标记数字3的小球的概率为.（2）依题意，的可能取值为1，2，3.若，则必须摸出3个标记数字为1的小球，则；若，则摸出小球的情况有3种：①摸出3个标记数字为2的小球，此时；②摸出2个标记数字为2的小球与1个标记数字为1的小球，此时；③摸出1个标记数字为2的小球与2个标记数字为1的小球，此时；则.由（1）可得.综上，的分布列见下表：123则.19.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围．（3）对任意，恒成立，求的取值范围．答案：（1）当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）（3）解析：思路：（1）求函数的导函数，由求函数的单调递增区间，由求函数的单调递减区间；（2）由可得，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.（3）由不等式整理得到，再通过分析的单调性